综合练习01-（教师版）

综合练习01(考试范围：必修二考试时间：120分钟满分：150分)一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的..抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=〃第一枚硬币正面朝上〃，事件42=〃第二枚硬币反面朝上〃，则下列结论中正确的为()A.A1与互为对立事件 B.4与4互斥c.4与&相等 D.P(4)=P(4)【答案】D【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件A包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件人包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，所以A与4不互斥，也不对立，也不相等，P(A)=P(4)=J,所以ABC错误，D正确，故选：D2.下列命题正确的是()A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.所以A4'=2A3=3(x/L故答案为：30a/34rr4rrI.在平面直角坐标系X0y中，角均以X轴正半轴为始边.已知角6的终边在直线y=2x上，贝ljtane=;已知角a与角£的终边关于直线y=2x对称，且角a与单位圆的交点坐标为（噜，噜），则COSP=.【答案】2一回10【分析】设角e终边上一点的坐标为P（a，2a）,根据三角函数的定义，求得tan氏设点A关于y=2x的对称点为3（%,y）,求得点8（-噜,噜），结合三角函数的定义，即可求解.【详解】由题意，角均以X轴正半轴为始边，且角e的终边在直线y=2x上，设角。终边上一点的坐标为P（a，2。），根据三角函数的定义，可得tan9=—=2,a又由角a与单位圆的交点坐标为A（噜,噜），设点4匹，叵）关于y=2x的对称点为B（x,y）910 10可得yh 1。可得yh 1。=2x2Vioy -10_3a/I0XH 102，解得—喘二嘤,3M2x 10即角夕的终边上一点的坐标为8（-噜，噜）,根据三角函数的定义，可得cos/?=Vio-io-根据三角函数的定义，可得cos/?=Vio-io-故答案为：2；Vio-io-四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤..〃自媒体〃是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式某〃自媒体〃作者2020年度在〃自媒体〃平台/上发布了200条事实和新闻，现对其点击量进行统计，如表格所示：点击量（万次）[0,1](1,50](50,100J(100,200]条数201006020（0）现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万次的条数;（0）为了鼓励作者，平台/在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：点击量（万次）[0,1](1,50](50,100](100,200J奖金（元）02005001000若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数.【答案】（0）4条；（回）7000元.【分析】（回）根据样本容量比与总体容量比相等计算；（0）利用2020年的频率估计2021的频率，得各范围内的条数，从而可计算奖金.【详解】（0）设被抽取的点击量（万次）在01],（1,50],（50,100],（100,200]的事实和新闻的条数分别为加,nilm n p q 10,p,q,则—==—=—= ,201006020200所以根=l,〃=5,p=3M=1,则点击量超过50万次的条数为4条；（0）由题意知,根据2020年度的频率估计得出:奖金（元）02005001000条数（元）21062则200x10+500x6+1000x2=7000,所以估计该作者在2021年5月可以得到的奖金为7000元..在上钻。中，内角A,B,。所对的边分别为b,c,已知〃=4,c=6,3=30。.（1）求sinC的值；（2） =且NAOC=120。，求正实数4的值.【答案】（1）叵;（2）14 2【分析】⑴利用余弦定理求出边b的值，再用正弦定理即可作答;⑵由给定条件结合特征求出长即可得解.【详解】（1）在二ABC中，由余弦定理知，〃=/+°2—2q℃os笈=7,即。=J7,由正弦定理知，sinC=9"=必；b14（2）因点。在边3C上，且ZAZ）C=120。，则ZAZM=60。，而3=30。，则有△ABQ为直角三角形，BD=^-=^—=2,又BD=ABC，BC=4,cosBcos30所以/=；.19.如图，在三棱柱43。一4瓦。1,b为NC中点.（1）求证：A4〃平面出（2）若此三棱柱为正三梭柱，且=4c，求/MG的大小.7T【答案】（1）证明见解析（2）-【分析】（1）取4G中点E,连接片石，EF,AE,推导出四边形瓦七4是平行四边形，进一步得到平面AB】E//平面BFC一再利用面面平行的性质，证明人用〃平面BFC；即可.（2）设4c=3,则例=2,分别求出BF,BCl9GF,利用余弦定理能求出/F3G的大小.【详解】（1）证明：取AC中点E,连接用E,EF,AE,;在三棱柱中，E,b是中点，则跖//"/=/B4,.•・四边形9*4是平行四边形，，耳后//3尸,gEu平面3/g,3尸u平面BFC］,平面BFC1,E,尸是中点，「.EG/JAb,・•・四边形AbGE是平行四边形，石“CL，AE仁平面B"；,C/u平面8尸G，.・.AE//平面瓦《，4EQAE=E,.•・平面AgE//平面5尸G，平面人用石，・・・做//平面跳G.（2）设4G=近，则4A=2,在正AABC中，BF=K^=—,在RtABCG中，BCf，CG=2,••.BG=V2+4=V6,aC/=J；+4=|加,3二9..cos/FBC、=BF?+BC；-FC；二可-54ZB』 2x回逐2・2JT:.NFBC］的大小为飞.jJ20.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间［40,50）、［50,60）、…、［80,90）、[90,100].A频率（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（3）从评分在［40,60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50,60）的概率.3【答案】(1)a=Q006；(2)0.68；(3)—.【分析】(1)可根据频率分布直方图得出结果；(2)可通过后三组的频率之和得出结果；(3)本题首先可令5名受访职工依次为4、4、&、⑸、B2,然后列出随机抽取2人的所有可能情况以及抽取2人的评分都在［50,60)的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】(1)(0.004+^+0.018+0.022x2+0.028)x10=1,解得々=0.006.(2)由频率分布直方图易知：50名受访学生评分不低于70的频率为(。.028+0.022+。.018卜10=0.68,故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为0.68.(3)受访学生评分在［50,60)的有50x0.006x10=3人，依次为A、A2、,受访学生评分在［40,50)的有50x0.004x10=2人，依次为用、与，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：｛A，4｝、｛44｝、｛A，4｝、｛4,4｝、｛&，&｝、｛4,4｝、｛4,修、优闻、｛&不｝、仍鸣｝,因为所抽取2人的评分都在［50,60)的结果有3种,依次为｛&4｝、｛4闯、｛4闯，3所以此2人评分都在［50,60)的概率2=而.21.如图，在四棱锥P-Z8S中，底面Z3CD为正方形，物团底面pa=AB=^,£为P3的中点，歹为线段8C上的点，且P(1)求证：平面/E/烟平面P3C；(2)求点/到平面PC。的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）一.2【分析】（1）根据题意可得4况平面P3C,进而可证明平面力小1平面P5a（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：因为刃团底面48C。BCu底面48c。，所以又因为底面N8C。为正方形，所以又因为48U平面以u平面且24BA=A,所以BC0底面用8,又因为ZEu平面P54所以BC_LA£,因为£为总的中点，所以尸3_LAE,又因为P8u平面必GBCu平面必C,所以/£0平面%C,因为4£u平面/£尸，所以平面4£/同平面P3C；（2）解：因为AD〃BC,AD=BC,所以/_p°=匕“°,又匕一口可…如所以^b-pcd=^p-acd=Tx-x4x4x4=2—,因为SPCD=—x4^2x4=8&,32 3 2设点B到平面PCD的距离为h,所以"=率0=20,»PCD由知点尸到平面QCO的距离为=4 4 222.某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计某班有50名同学，总分都在区间［600,700］内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的〃频率分布〃折线图.（1）估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校7的〃强基计划〃入围资格.高校丁的〃强基计划〃校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+,A,B,。四个等级，两科中至少有一科得到A+,且两科均不低于3,才能进入第二轮，第二轮得到''通过〃的同学将被高校7提前录取,已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高2 111于690分的同学在每科笔试中取得A+，A,B,C的概率分别为:，小石，石；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+,A,B,C的概率分别为，:，!，），!；进入第二轮的同学，若两科笔试3 4 6 4成绩均为A+,则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+,则要参加面试，总分高于2 2690分的同学面试〃通过〃的概率为彳，总分不超过690分的同学面试〃通过〃的概率为三，面试〃通过〃的同学也将被高校丁提前录取,若该班级考分前10名都已经报考了高校7的〃强基计划〃，且恰有2人成绩高于690分.求①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率P,；②该班恰有两名同学通过〃强基计划〃被高校7提前录取的概率4.【答案】(1)653.6；(2)①②警.9 6561【分析】(1)根据公式可直接计算平均分；(2)总分大于等于680分的同学有5人，有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，①利用对立事件的概率公式和相互独立事件概率的乘法公式即可求得4;②利用相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率求出鸟.【详解】(1)由频率分布折线图可知：该班平均分估计为x=(610x0.004+630x0.007+650x0.02+670x0.014+690x0.005)x20=653.6；(2)总分大于等于680分的同学有50x0.005x20=5人，由已知，其中有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，① ① =1-P(A+A++A+A+B)=1-c21c21 4212—2x—x2x—x——=1 =一36 312 99992总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率1=(；9②设总分高于690分的同学被高校7提前录取的事件为“，总分不超过690分的同学被高校丁提前录取的事件为N,P(M)=P(A+A+)+-P(A+A+A+B)=[-3 \3P(7V)=P(A+AP(7V)=P(A+A+)+|p(A+A+A+B)=f12x—x——F2x—x—34 36J12(1 2一95169)9P?=9Jy+3x9J2、1x19J2? 2(-+2x—12(23x-1——、2I9J1372 84 11762632656165616561"6561263226326561该班恰有两名同学通过〃强基计划〃被高校7提前录取的概率4=对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题..已知i为虚数单位，复数j的共辗复数为()1-2A・i+2 B.z—2 C.—2—i D・2—i【答案】B【分析】利用复数的除法可将复数三表示为一般形式，利用共轨复数的定义可得出结果.1-255x(-2-/) 5【详解】—;=/°\/「2-i,因此，复数一的共甄复数为-2+九i-2(-2+2)(-2—) i-2故选：B.【点睛】本题考查共筑复数的计算，解答的关键就是利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题..已知弓，4是夹角为60°的两个单位向量，a=e1-e2,b=e^me2,若〃J_8，则实数m二()-11TOC\o"1-5"\h\zA.—1 B.1 C.— D.—3 3【答案】B【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出团的值.【详解】国已知,，G是夹角为60°的两个单位向量,.~~• 1回6•%=lelecos60°=—而a=e1-e2,b=e1+me?，_ .2 2 1若 则ab=(-e2)•(+me2)=,-me2-e2-e2-e}=1-/7?+—(m-1)=0,则m=l,5.某人从出发点A5.某人从出发点A向正东走后到3,然后向左转150。再向前走3m到C,测得A5C的面积为乎m2,此人这时离出发点的距离为(A.3mB.V2mC.2GmD.V3mA.3mB.V2mC.2GmD.V3m【答案】D【分析】由题意可得NA5C=30。，再由一ABC的面积为上gn?,求出A3的长，然后利用余弦定理求出4AC即可【详解】如图，由题意可得NABC=30。，因为aABC的面积为Win?,BC=3m,AB=xm,4所以S=^-ABBCsinZABC=-x=-,解得工=百，2 4 4由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=3+9-2xV3x3x—=3,2所以AC=6m,故选：D.在£区域引病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人〃，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数5V3；②平均数工<3,且标准差s<2；③平均数亍（3,且极差相（2；④众数等于1,且极差相44.其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（）A.①②B.①③C.③④D.②④【答案】C【分析】通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.【详解】①错，举反倒：0,0,0,0,2,6,6；其平均数元=243,不符合题意；②错，举反倒：。,3,3,3,3,3,6；其平均数1且3=序2,不符合题意；③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即众6,则极差大于6-豆6-亍23,故假设不成立，故一定符合上述指标;④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即第6,则极差不小于6-1=5,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立，故一定符合上述指标.故选：C.已知“。是面积为学的等边三角形，其顶点均在球。的表面上，当点P在球。的表面上运动时，三棱锥尸-的体积的最大值为手,则球。的表面积为（A.16»27%C.A.16»27%C. 4B.——3【答案】A【分析】作出图形，结合图形知，当点尸与球心。以及的3。外接圆圆心M三点共线且P与团ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥尸-ABC的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥尸-ABC的高h,并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用用Q4M,求出球。的半径凡最后利用球体的表面积公式可求出答案.【详解】如图所示,设点M为..ABC外接圆的圆心,当点P、O、M三点共线时，且P、M设点M为..ABC外接圆的圆心,P-ABC的体积取得最大值.因为的面积为攻，所以边长为3,4由于三棱锥P-ABC的体积的最大值为得加=3,3 4 4易知SM团平面ABC,则三棱锥P—4BC为正三棱锥，的外接圆直径为2AM=-V=2石，所以4加=百，

sin—3设球°的半径为R,则R2=OA2=AM2^(PM-POY=3+(3—A)2,解得R=2,所以球的表面积为S=4iR2=16故选：A.在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD=4,AD=BC=0E为CO的中点，产为线段8C上的点，则£歹.3厂的最小值是()TOC\o"1-5"\h\z9 4A.0 B.— C.D.15 5【答案】B【分析】以A3为1轴，A3的中垂线为>轴建立平面直角坐标系，设放=2。=/(-1,2)=(-12)(0<r<D,用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值.【详解】由题意等腰梯形A8CO【详解】由题意等腰梯形A8CO的高为如图，以为工轴，43的中垂线为V轴建立平面直角坐标系，则氏。，2),C(l,2),B(2,0),设BF=tBC=r(-l,2)=(-r,2t)(0<r<1),则尸(2—c2。,EF=Q—t,2t—2)，3gEF•BF=-r(2T)+2t(2t-2)=5t2-6t=5("二产一一，3 9所以1=5时，所/取得最小值一、.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.下列关于平面向量的说法中正确的是()A.已知q,匕均为非零向量，若％ib，则存在唯一实数之，使得〃=肪B.在..ABC中，若= + 则点。为8C边上的中点乙 乙C.已知4，/?均为非零向量，若,+。|=,一0,则q_L〃D.若q,c=/?・c月.cwO，则【答案】ABC【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，B选项，= + = + 根据向量加法的运算可知点。为8c边上的中点，B选项正确.C选项，由,+0=卜-0两边平方并化简得〃.。=0，所以入C选项正确.D选项，a.c=b・c是一个数量，无法得到两个向量。/相等，D选项错误.故选：ABC一个袋子中装有大小和质地相同的3个白球和1个红球，从中随机抽取2个球，其中结论正确的是()A.一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是JB.每次抽取1个，不放回抽取两次，样本点总数为16C.每次抽取1个，有放回抽取两次，样本点总数为16D.每次抽取1个，不放回抽取两次，〃第一次取出白球〃与〃第二次取出红球〃相互独立【答案】AC【分析】A应用古典概率求法求概率，B、C应用分步计数及组合数求样本点总数，D根据独立事件的定义及不放回试验的特点判断事件是否独立.r'C11【详解】A：取出的两个球中恰有一个红球的概率P=M= 正确；B：每次抽取1个，不放回抽取两次，样本点总数C；C；=12,错误；C：每次抽取1个，有放回抽取两次，样本点总数C：C：=16,正确；D：每次抽取1个，不放回抽取两次，〃第一次取出白球〃与〃第二次取出红球〃不相互独立，错误.故选：AC.在4ABe中，角A,B,。的对边分别是b,。，则能确定3为钝角的是()B・ABBC<0A.sin2A+sin2B・ABBC<0D.0<tan/ltanC<1D.0<tan/ltanC<1C.一<cosA.b【答案】CD【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量运算、三角恒等变换确定正确选项.2 2【详解】A选项，由正弦定理得十'―">0=>8为锐角.2acB选项，ABBC=AB-BC-cos(兀—B)=—AB-3C 3为锐角.C选项，由余弦定理得"2,，+/<〃，cos5=〃2+c2-"2<0=>3为钝角.b2bc 2acD选项，0<tanAtanC<l,0<W字”;<1,由于三角形中，最多只有一个钝角，所以cosAcosCcosA>0,cosC>0,则sinAsinCvcosAcosC,cos(A+C)>0,即-cosB>0,cosB<0,b为钝角.故选：CD.将边长为2的正方形ABC。沿对角线BD折成直二面角A-如-C,如图所示，点£,尸分别为线段BC,的中点，则()A.EFLBCB.四面体A-BCD的表面积为4+26C.四面体A-BCD的外接球的体积为还兀3D.过所且与3。平行的平面截四面体A-5CD所得截面的面积为近【答案】BCD【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断.【详解】设。是3。的中点，则。A。氏0co。两两相互垂直，二面角A—5D—C为之二面角，OC,5D=OC_L平面450=0。，。/，A选项，连接尸，BF=正+E=6CF=+4=G，BC=2,所以三角形8尸。不是等腰三角形，而£是3。的中点，所以即与不垂直，A选项错误.B选项，AC1（可+（可=2,所以三角形A3C和三角形ADC是等边三角形，所以四面体A-5CD的表面积为22+2x^x22=4+26，B选项正确.4C选项，由于。4=OB=OC=QD,所以。是四面体A-BCD外接球的球心，外接球的半径为血，体