2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学

试题

一、单选题

1．已知集合A{2,1,0,2},B{0,1,2}，则AB（）

A．{2,1}B．{2,0}C．{0,1}D．{0,2}

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.

【详解】集合A{2,1,0,2},B{0,1,2},

故AB{0,2}，

故选：D

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则z（）

A．2iB．2iC．12iD．12i

【答案】D

【分析】利用复数的几何表示即得.

【详解】∵复数z对应的点的坐标是(1,2)，

∴z12i.

故选：D.

3．sin45（）

221

A．B．C．1D．

2222

【答案】B

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

2

【详解】sin45sin45.

2

故选：B

4．已知函数f(x)x2,xR，则（）

A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数

C．f(x)既是奇函数又是偶函数D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.

【详解】由题意，xR,fxx2x2fx，即函数为偶函数.

故选：B.

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5．sincos（）

11

A．sin2B．cos2C．sin2D．cos2

22

【答案】A

【分析】利用二倍角公式即得.

1

【详解】由二倍角公式可得，sincossin2.

2

故选：A.

6．函数yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为（）

A．(1,0)B．0,1C．(1,2)D．(2,3)

【答案】C

【分析】结合图象确定正确选项.

【详解】由图象可知，当x1,2时，fx0.

故选：C

7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降

雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（）

A．0.24B．0.14C．0.06D．0.01

【答案】C

【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.

【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06.

故选：C

8．下列函数中，在区间(0,)上单调递减的是（）

1

A．f(x)xB．f(x)C．f(x)logxD．f(x)sinx

x2

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.

【详解】f(x)x在(0,)上单调递增，故A不符题意；

1

f(x)在(0,)上单调递减，故B符合题意；

x

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f(x)logx在(0,)上单调递增，故C不符题意；

2

f(x)sinx在(0,)上不单调，故D不符题意.

故选：B.

9．如图，在直三棱柱ABCABC中，ABC是等腰直角三角形．若ABAC4,AA3，

1111

则该直三棱柱的体积为（）

A．6B．12C．18D．24

【答案】D

【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.

【详解】因为在直三棱柱ABCABC中，ABC是等腰直角三角形，

111

ABAC4,AA3，则BAC为直角，

1

11

故可得：VSAAABACAA44324,

ABCABCABC11

11122

故选：D

10．已知向量a(1,0),b(1,1)，则ab（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.

【详解】ab11011.

故选：B.

11．“四边形ABCD为矩形”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不

必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】若四边形ABCD是矩形，则它是平行四边形，

反之,若四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD不一定是矩形，

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所以“四边形ABCD为矩形”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分不必要条件.

故选：A.

12．函数f(x)log(x3)的定义域为（）

2

A．(3,)B．(0,)C．(,3)D．(,0)

【答案】A

【分析】由真数大于0可得.

【详解】由x30，得x3.

故选：A

13．如图，已知四边形ABCD为矩形，则ABAD（）

A．BDB．DBC．ACD．CA

【答案】C

【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.

【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知ABADAC.

故选：C

14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所

示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．

从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是

（）

A．0.25B．0.3C．0.5D．0.75

【答案】C

【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，

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21

所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.

222

故选：C

15．设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）

A．若m∥,n∥，则m∥nB．若m,n，则m∥n

C．若m∥,m∥，则∥D．若m∥,m，则∥

【答案】B

【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.

【详解】在正方体ABCDEFGH中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A

不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为

，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.

故选：B

16．在ABC中，a1,c2,B60，则b（）

A．1B．2C．2D．3

【答案】D

【分析】根据由余弦定理，可得b2a2c22accosB，代入数据即得.

1

【详解】由余弦定理，得b2a2c22accosB12222123，

2

b3.

故选：D.

17．已知a，b是实数，且ab，则（）

11

A．abB．a2b2C．D．|a||b|

ab

【答案】A

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

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【详解】由于ab，所以ab，A选项正确.

a1,b1,a2b2,ab，BD选项错误.

11

a2,b1,，C选项错误.

ab

故选：A

18．已知x0,y0，且xy1，则xy的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】由基本不等式即可求得答案.

【详解】因为x,y0，所以xy2xy2，当且仅当xy1时取“=”.

故选：B.

19．已知函数f(x)2x，x[0,)，则f(x)（）

A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值

【答案】C

【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.

【详解】fx2x在0,上是增函数，

所以最小值为f0，没有最大值.

故选：C

20．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为K(n)，如K(1)1，则K(2022)（）

A．2022B．2020C．1011D．1010

【答案】C

【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.

2022

【详解】由题意，不超过2022的正奇数有1011个.

2

故选：C.

二、填空题

21．计算：lg2lg5=___________．

【答案】1

【详解】lg2lg5lg101.

故答案为1

22．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：

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甲8.17.98.07.98.1

乙7.98.08.18.57.5

记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为S2,S2，则：S2______S2（填“>”，

甲乙甲乙

“=”或“<”）．

【答案】

【分析】计算出S2,S2，由此确定正确答案.

甲乙

8.17.98.07.98.1

【详解】甲的得分平均值为8.0，

5

10.04

S20.124.

甲55

7.98.08.18.57.5

乙的得分平均值为8.0，

5

10.52

S20.1220.522，

乙55

所以S2S2.

甲乙

故答案为：

23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标

（℉），两种温标间有如下对应关系：

摄氏温标（℃）…01020304050…

华氏温标（℉）…32506886104122…

根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：

①25℃对应77℉；

②20℃对应4℉；

③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．

其中所有正确推断的序号是_____________．

【答案】①②③

【分析】根据条件可得y1.8x32，然后逐项分析即得.

【详解】设摄氏温标为x℃，对应的华氏温标为y℉,

503268328632

根据表格数据可知1.8,1.8,1.8,

100200300

y32

∴1.8，即y1.8x32，

x0

∴x25℃时，y77℉，x20℃时，y4℉，故①②正确；

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由y1.8x32x，可得x40，即摄氏温标40℃对应的华氏温标为40℉，故③正

确.

故答案为：①②③.

三、双空题

2x,x0,

24．已知函数fx则f(1)________；方程f(x)1的解为________．

x,x0,

【答案】－21

【分析】根据分段函数的性质求解即可.

【详解】f(1)2×(－1)＝－2；

x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则x1，解得x＝1.

故答案为：－2；1.

四、解答题

25．已知函数f(x)x2mx1（m是常数）的图象过点(1,2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求不等式f(x)2x1的解集．

【答案】(1)f(x)x21；

(2)(0,2).

【分析】（1）把点代入解析式可得m0，即得；

（2）利用一元二次不等式的解法即得.

(1)

由题意，f(1)m22，

所以m0．

所以f(x)的解析式为f(x)x21．

(2)

不等式f(x)2x1等价于x22x0．

解得0x2．

所以不等式f(x)2x1的解集为(0,2)．

26．已知函数f(x)sinx．

3

(1)写出f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间0,上的最大值．

2

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【答案】(1)2

(2)1

2

【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；

（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.

(1)

2

f(x)的最小正周期为：T2.

1

(2)

因为0x，所以x．

2336

当x，即x时，f(x)取得最大值1．

3622

27．阅读下面题目及其解答过程．

ABCDABCD

如图，已知正方体1111．

ACBD

（Ⅰ）求证：1；

DDABC

（Ⅱ）求证：直线1与平面1不平行．

BD,BD

解：（Ⅰ）如图，连接11．

ABCDABCD

因为1111为正方体，

DD

所以1平面ABCD．

所以①___________．

因为四边形ABCD为正方形，

所以②__________．

DDBDD

因为1，

所以③____________．

ACBD

所以1．

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ACBDOBO

（Ⅱ）如图，设，连接1．

DD//ABC

假设1平面1．

DDDDBBABCDDBB

因为1平面11，且平面1平面11④____________，

所以⑤__________．

DD//BB

又11，

BBO,BBDD

这样过点1有两条直线11都与1平行，显然不可能．

DDABC

所以直线1与平面1不平行．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个

选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只

需填写“A”或“B”）．

空格序号选项

①DDACDDBD

A．1B．1

②A．ABBCB．ACBD

③BDABCACDDBB

A．1平面1B．平面11

④BOBB

A．1B．1

⑤DD//BODDBO

A．11B．1与1为相交直线

【答案】（Ⅰ）①A②B③B；（Ⅱ）④A⑤A

【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案.

【详解】要证明ACBD，可通过证明AC平面DDBB来证得，

111

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要证明AC平面DDBB，可通过证明ACBD,DDAC来证得，

111

所以①填A，②填B，③填B.

平面ABC与平面DDBB的交线为BO，所以④填A，

1111

由于DD//平面ABC，因为DD平面DDBB，且平面ABC平面DDBBBO，

111111111

根据线面平行的性质定理可知，DD//BO，所以⑤填A.

11

4x

28．给定集合D(,0)(0,)，f(x)为定义在D上的函数，当x0时，f(x)，

x24

且对任意xD，都有___________．

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使f(x)存

在且唯一确定．

条件①：f(x)f(x)1；

条件②：f(x)f(x)1；

条件③：f(x)f(x)1．

解答下列问题：

（1）写出f(1)和f(1)的值；

（2）写出f(x)在(0,)上的单调区间；

（3）设g(x)f(x)m(mR)，写出g(x)的零点个数．

【答案】答案详见解析

【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当x0时，fx的表达式，然

后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意fx的定义域为D(,0)(0,)，

4x

当x0时，f(x).

x24

对于条件③，对任意xD，都有f(x)f(x)1，

以x替换x，则fxfx1，这与f(x)f(x)1矛盾，所以条件③不合题意.

4x4x

若选条件①，当x0时，x0，fx1fx11.

x24x24

4449

（1）f1,f11.

145145

4x

（2）对于函数hxx0，

x24

4x4xxx24xx24

任取xx0，hxhx1241221

1212x24x24x24x24

1212

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xx24xx2x4xxxxx4xx

41211224122121

x24x24x24x24

1212

xx4xx

41221，

x24x24

12

其中xx0，当xx2时，xx40，hxhx0,hxhx，

2112121212

所以hx在,2上递减.

当2xx0时，xx40，hxhx0,hxhx，

12121212

所以hx在2,0上递增.

所以在区间,0，h2hx0,1hx0.

同理可证得：hx在0,2上递增，在2,上递减，0hxh2,0hx1.

4x

当x0时，fx11hx，

x24

由上述分析可知，fx在0,2上递增，在2,上递减.且1fx2.

（3）g(x)f(x)m0,mfx，

由（2）的分析可画出fx的大致图象如下图所示，

所以，当m1或0m1或m2时，g(x)的零点个数是0；

当m1或m2时，g(x)的零点个数是1；

当1m0或1m2时，g(x)的零点个数是2．

若选条件②，当x0时，x0，

1x24

由f(x)f(x)1得fx，

fx4x

第12页共