2022届河南省安阳市高三下学期 (二模)阶段性测试(四)数学(文)试题解析

2022届河南省安阳市高三下学期（二模）阶段性测试（四）数学（文）

试题

一、单选题

1．设集合AxZx1x50，则集合A的子集个数为（）

A．16B．32C．15D．31

答案：B

先化简集合A，再利用集合的子集概念.

解：因为集合AxZx1x501,2,3,4,5，

所以集合A的子集个数为2532，

故选：B

32i

2．223i（）

i

A．23iB．23iC．23iD．23i

答案：C

直接利用复数的除法运算和模的公式化简求值.

解：解：原式=.

故选：C

3．已知等比数列a的前n项和为S，若aa20，S10，则其公比q为（）

nn134

11

A．B．1C．D．2

22

答案：A

aa

依题意可得aa10，再根据q24计算可得；

24aa

13

解：解：因为aa20，S10，即aaaa10，所以aa10，所以

134123424

aa101

q24；

aa202

13

故选：A

4．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某三棱锥的正视图和俯视图，若该三棱

33

锥的侧视图面积为，则该三棱锥的体积为（）

2

A．22B．23C．25D．4

答案：B

作出三棱锥的直观图，求出三棱锥的底面积和高，利用锥体的体积公式可求得结果.

解：作出三棱锥PABC的直观图如下图所示，

1

由图可知，三棱锥PABC的底面积为S436，

△ABC2

133

设三棱锥PABC的高为h，则该三棱锥的侧面积为3h，可得h3，

22

11

因此，VSh6323.

PABC3△ABC3

故选：B.

5．已知函数fx2cos2x在区间0,上单调递减，且其图象过点0,1，则的值可能为

4

（）

A．B．C．D．

3663

答案：D

根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.

解：由0x，可得2x，

42

因为函数fx2cos2x在区间0,上单调递减，

4

可得2k且2k,kZ，解得2k2k,kZ，

22

1

又由函数fx的图象过点0,1，可得2cos1，即cos，

2

2

解得2k或2k,kZ，

33

当k0时，可得，所以的值可能为.

33

故选：D.

1

6．设数列a满足a，且2aaa3anN*，则a（）

n14n1nnn14

1111

A．B．C．D．

223282128

答案：C

1

根据a，2aaa3anN*，分别求出a，a，a的值即可.

14n1nnn1234

1

解：∵a，2aaa3anN*,

14n1nnn1

111

∴2a3a，解得a，

4242210

111

∴2a3a，解得a，

103103328

111

∴2a3a，解得a，

284284482

故选：C.

7．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为

512B，则密码一共有2512种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2512次运算.现在有一台计

算机，每秒能进行1.251013次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约

为（）（参考数据：lg20.3，103.16）

A．6.3210141sB．6.3210140sC．3.1610141sD．3.1610140s

答案：D

2512

根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.

1.251013

2512

解：设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有x；

1.251013

2512

两边取常用对数，得lgxlglg2512lg1.251013；

1.251013

lgx512lg2lg1.2513512lg23lg511

512lg231lg211515lg214140.5；

所以x10140.510140100.53.1610140.

故选：D.

8．已知动圆C:xa2y3a2216aR截直线l:xby30所得弦长为定值，则b

（）

21

A．3B．2C．D．

33

答案：D

根据题意，由圆心到直线l:xby30的距离为定值求解.

解：因为动圆C:xa2y3a2216aR截直线l:xby30所得弦长为定值，且半径为

4，

所以圆心到直线l:xby30的距离为定值，

ab3a23a3b12b3

即d为定值（与a无关），

1b21b2

1

所以b，

3

故选：D

9．已知矩形ABCD中，AB2BC6，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM

翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（）

32322

A．32B．C．D．

242

答案：B

如图，连接AN,DM,相交于点O,求出点A的运动轨迹即得解.

解：解：如图，连接AN,DM,相交于点O,

由题得四边形AMND是边长为3的正方形，AN32,

现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，

3

则此过程中，点A的运动轨迹是以点O为圆心，以2为半径的半圆，

2

313

所以点A的运动轨迹长度为22=2.

222

故选：B

x2y2

10．已知双曲线C:1a0,b0的左右顶点分别为M，N，点P为C上异于M，N的一

a2b2

1

点，若直线PM，PN的斜率之积为，且C的焦距为46，则双曲线C的实轴长为（）

3

A．62B．43C．26D．32

答案：A

设双曲线的左右顶点的坐标分别为Ma,0，Na,0，Px,y，利用直线PM，PN的斜率之积

00

1b21

为和点P在双曲线上可得，然后和c26联立方程即可求出.

3a23

解：设双曲线的左右顶点的坐标分别为Ma,0，Na,0，Px,y，

00

yyy2

则kk000，

PMPNxaxax2a2

000

x2y2b2x2a2

∵点P为双曲线C上异于M，N的一点，∴001，即y20，

a2b20a2

b2x2a2

0

∴b21，

kka2

PMPNx2a2a23

0

又∵双曲线C的焦距为46，∴c26，

∴b2c2a2243b2，解得b6，

∴ac2b224632，

∴双曲线C的实轴长为62.

故选:A.

x2,x0

11．已知函数fx，若xR，fmx29f43x0恒成立，则实数m的取值范

x2,x0

围为（）

27

A．21,B．13,C．,D．15,

16

答案：C

根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于

fmx2f9x12，即mx29x120恒成立，再分m0和m0两种情况讨论，当m0时

m0

，即可求出参数m的取值范围；

Δ0

x2,x0

解：解：因为fx，所以函数图象如下所示：

x2,x0

由函数图象可知函数为定义域R上单调递减的奇函数，当x0时fxx2，则

f3x3x29x29fx，当x0时fxx2，则f3x3x29x29fx，所以

f3x9fx，因为xR，fmx29f43x0恒成立，即xR，

fmx29f43x9f3x4f9x12恒成立，所以mx29x12恒成立，即

27

mx29x120恒成立，当m0，显然不成立，当m0时，则，解得m，

16

27

即m,；

16

故选：C

12．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质

在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线y22pxp0的焦点F发出的两条光线a，b分

别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线a和b

43

之间的距离为，则p（）

3

A．1B．2C．3D．4

答案：B

133

Ap,pBp,3p43

写出直线AF、BF的方程，求出，，由yy，解出p.

632BA3

p

解：抛物线y22pxp0的焦点F,0.

2

pp

由OFA60,所以直线AF的方程为y03x，即y3x，

22

p

y3x21313

pAp,p

联立2，得3x2px，解得：xp或xp，可得：.

26263

y22px

pp

同理直线BF的方程为y03x，即y3x，

22

p

y3x3

联立2，解得：Bp,3p.

2

y22px

2343

所以yyp，解得：p2.

BA33

故选：B

二、填空题

13．为了解某地高三学生假期在家自主学习的时间，研究人员随机抽取了100名学生作调查，所得

数据统计如图所示，则这组数据的中位数估计为______．

35

答案：

6

求出时间在[3,4),[4,5),5,6,[6,7),[7,8]的频率，再由中位数的性质列出方程得出这组数据的中位数.

解：设这组数据的中位数估计为x，时间在[3,4),[4,5),5,6,[6,7),[7,8]的频率分别为

35

0.1,0.15,0.3,0.25,0.2，则0.10.150.3(x5)0.5，解得x.

6

35

故答案为：

6

14．已知ABC的外心为O，若ABAC2AO，且OAAB，则B___________.

答案：60°

3

根据向量的运算，结合条件ABAC2AO，可知O为BC的中点，再结合OAAB，可得OAB

为等边三角形，由此可求答案.

解：设ABC的边BC的中点为D,

则ABAC2AD,又ABAC2AO，

即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，

则OADB,又OAAB，

故OAB为等边三角形，故OBA60,即B60，

故答案为：60°

15．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方

案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，

则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有

47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.

答案：11710

由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用

最小，从而可求出其最小值

解：方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，

5000

方案二：满5000元减1000元，按原价计算16.7，则满5000元至少凑齐17人，

300

4100

173001000510010004100，则单人票价为241，

17

10000

满10000元时，33.3，则需34人，单人票价为241元，

300

15000

满15000元时，50，人数不足，

300

因为241270，

所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，

所以总费用为343002000133000.911710（元），

故答案为：11710

x23xm,x0,

16．已知函数fxm有3个零点，则实数m的取值范围为______．

x1,x0

x1

答案：[0,1)0≤m＜1

根据m的范围分类讨论f(x)的零点即可.

解：①m＝0时，，令f(x)＝0，则x＝0或x＝－3或x＝1，即f(x)有三个零点，

满足题意；

②m≠0时，令f(x)＝0，

m

则x＞0时，x10，则x21m()，

x1

x≤0时，x23xm0()，

显然x≤0时的方程()最多有两个负根，而x＞0时的方程()最多只有一正根，

为了满足题意，则x＞0时必有1根，则1－m＞0，且根为x＝1m，∴m＜1；

Δ094m09

x≤0时方程必然有两个负根，则0m，

m0m04

∴0＜m＜1；

综上所述，m∈0,1.

故答案为：0,1.

三、解答题

17．“双减”政策实施后，小学生的周末体育锻炼时间得到增加，为了解低年级（一、二、三年级）

和高年级（四、五、六年级）学生的周末体育锻炼时间是否有差异，研究人员随机调查了100名小

学生，所得数据统计如下表所示．已知从这100人中随机抽取1人，抽到周末体育锻炼时间超过

3

120min的学生的概率为．

4

周末体育锻炼时间超过120min不超过120min

低年级m20

高年级45n

(1)求m，n的值；

(2)是否有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时何有差异？

附表及公式：

PK2k0.1000.0500.0100.001

0

k2.7063.8416.63510.828

0

nadbc2

K2，nabcd．

abcdacbd

答案：(1)m30，n5

(2)是

33

（1）根据抽到周末体育锻炼时间超过120min的学生的概率为，得到m45100，即可求出

44

m，再根据列联表的性质得到n；

（2）由（1）完善列联表，计算卡方，与参考值比较，即可判断；

(1)

3

解：依题意，m4510075，解得m30，故n10075205；

4

(2)

解：由（1）可得22列联表如下所示：

周末体育锻炼时间超过120min不超过120min合计

低年级302050

高年级45550

合计7525100

10030545202

所以K21210.828，

50507525

故有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时间有差异．

18．如图所示，已知△ABC为等边三角形，点M，N分别是线段AB，AC上靠近A的三等分点．现

沿MN进行翻折，使得点A到达A的位置，点R在线段AB上，BR2AR．

(1)求证：RM∥平面ACN；

(2)若△ABC的边长为6，AB26，求四棱锥ABCNM的体积．

答案：(1)证明见解析；

(2)8.

（1）连接AA，证明RM∥AA，原题即得证；

（2）取MN的中点P，BC的中点Q，连接AP，PQ，BP，证明AP平面BCNM，即得解.

(1)

解：如图，连接AA．

由题可知BM2AM，又因为BR2AR，故RM∥AA，

又RM平面ACN，AA平面ACN，所以RM∥平面ACN.

(2)

解：如图，取MN的中点P，BC的中点Q，连接AP，PQ，BP．

由题意可知△AMN是边长为2的等边三角形．所以APMN，且AP3．

易知BQ3，PQ23，所以BPBQ2PQ221．

因为BP2AP2AB2．所以APBP．

因为BP,MN平面BCNM．

又因为BPMNP，所以AP平面BCNM．

111

所以四棱锥ABCNM的体积为VSAP262338．

3梯形BCNM32

19．如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b1cosC3csinABC．

(1)求角C：

21

(2)若a5，c7，延长CB至M，使得cosAMC，求BM．

7

答案：(1)C;

3

(2)5.

1

（1）将正弦定理代入条件整理得1cosC3sinC，从而有sin(C)，根据C角的范围可得

62

C角大小；

（2）在ABC中，由余弦定理求得AC，然后在△ACM中，由正弦定理求得CM，进一步计算可

得BM．

(1)

解：（1）因为b(1cosC)3csinABC，

由正弦定理得sinABC(1cosC)3sinCsinABC，

因为ABC(0,)，所以sinABC0，

1

所以1cosC3sinC，即3sinCcosC1，所以sin(C)，

62

5

又因为0C，所以C，所以C，所以C．

666663

(2)

在ABC中，由余弦定理可得AC22510ACcos49，

3

解得AC8(舍去AC3)，

32112757

在△ACM中，sinCAMsin(CM)sin(CM)，

272714

CMAC

由正弦定理可得，

sinCAMsinAMC

CM8

即5727，

147

解得CM10，

所以BM10BC5．

x2y2

20．已知椭圆C:1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．

43

(1)若线段AB的中点为1,1，求直线AB的方程；

(2)若F恰好是△ABP的重心，且AF，PF，BF依次成等差数列，求点P的坐标．

答案：(1)3x4y70

33

(2)1,或1,

22

（1）判断点1,1在椭圆内部，然后根据点差法求得直线斜率，可得直线方程；

（2）根据三角形重心坐标公式可得xxx3，再根据AF，PF，BF依次成等差数列，可

123

得xx2x，由此可解得答案.

123

(1)

x2y211

由题意，将1,1坐标代入C:1中，满足1，

4343

故点1,1在椭圆内部，

又线段AB的中点为1,1，可知直线AB的斜率存在，

设Ax,y，Bx,y，

1122

x2y2x2y2yy3xx

则111，221，两式相减整理得：1212，

4343xx4yy

1212

yy33

由已知可得xxyy2，则12，所以AB的斜率为，

1212xx44

12

3

直线AB的方程为y1x1，即3x4y70；

4

(2)

由已知可得F1,0，设Px,y，

33

xxx

因为F恰好是△ABP的重心，所以1231，即xxx3，

3123

因为AF，PF，BF依次成等差数列，所以2PFAFBF．

x2x2x

AFx12y2x123111221，

111422

xx

同理BF22，PF23．

22

xx

所以4x2122，可得xx2x，

322123

于是xxx3x3，得x1，

12333

3

将x1代入椭圆方程得y，

332

33

所以点P的坐标为1,或1,．

22

21．已知函数fxaxblnxc，其中a、b、c0．

(1)若ab0，讨论函数fx的单调性；

a24b24bc

(2)若函数fx存在极小值m，分析判断m与0的大小关系．

4b

答案：(1)答案见解析

a24b24bc

(2)m0

4b

ax1

（1）求得fx，其中x0，分a0、a0两种情况讨论，分析导数的符号变化，由

x

此可得出函数fx的单调递增区间和递减区间；

bb

（2）分析可知a0，b0，求得mfbblnc，可出

aa

a24b24bcb1a2b1

mbln，令tt0，gtlnt，利用导数求出函数gt

4ba4ba4t2

的最值，即可得出结论.

(1)

1ax1

解：依题意fxaxlnxc，故fxa1，x0．

xx

若a0，当0x1时，fx0，当x1时，fx0，

所以fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增；

若a0，当0x1时，fx0，当x1时，fx0，

所以fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减.

综上所述，当a0时，fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增；

当a0时，fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减.

(2)

baxb

解：fxa，x0．

xx

因为fx存在极小值，所以a0，b0，

b

当0x时，fx0，此时函数fx单调递减，

a

b

当x时，fx0，此时函数fx单调递增，

a

bb

则mfbblnc．

aa

a24b24bcba2b1a2

所以mbblncbcbln．

4ba4ba4b

b1112t21

令tt0，gtlnt，则gt，

a4t2t2t32t3

222

令gt0，得t，当0t时，gt0；当t时，gt0.

222

22

0,,

所以gt在上单调递减，在上单调递增，

22

2211

gtgln1ln20

故，

2222

ba24b24bc

又因为b0，故bg0，即m0．

a4b

a24b24bc

【点睛】关键点点睛：本题第（2）问在于分析出m的符号，在变形得出

4b

a24b24bcb1a2b

mbln，需要令tt0，利用构造函数的方法来求出对应函

4ba4ba

数的最值，根据最值的正负来得出结论.

22．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为