高中数学-2.5-从力做的功到向量的数量积课件-北师大版必修4

成才之路·数学(shùxué)路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修(bìxiū)4第一页，共49页。平面(píngmiàn)向量第二章第二页，共49页。§5从力做的功到向量(xiàngliàng)的数量积第二章第三页，共49页。课堂典例讲练2易错疑难辨析3课后强化作业4课前自主预习1第四页，共49页。课前自主预习第五页，共49页。水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理(yuánlǐ)来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容.第六页，共49页。夹角(jiājiǎo)0°≤θ≤180°θ＝0°θ＝180°θ＝90°垂直(chuízhí)第七页，共49页。|a||b|cosθ

a·b

|a||b|cosθ

|b|cosθ

|a|cosθ

第八页，共49页。3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：(1)若e是单位向量，则e·a＝________＝__________.(2)若a⊥b，则__________；反之，若__________，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔__________.(3)|a|＝__________.(4)cosθ＝__________(|a|·|b|≠0)．(5)对任意两个(liǎnɡɡè)向量a，b，有|a·b|≤|a|·|b|.当且仅当_________时等号成立．a·e

|a|cosθ

a·b＝0a·b＝0a·b＝0a∥b

第九页，共49页。4．向量数量积的运算律给定向量a，b，c和实数(shìshù)λ，有以下结果：a·b＝________；(λa)·b＝__________＝__________；a·(b＋c)＝__________.b·a

λ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c

第十页，共49页。1.已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝()A．2 B．－2C．4 D．－4[答案(dáàn)]D[解析]由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.第十一页，共49页。[答案(dáàn)]C第十二页，共49页。[答案(dáàn)]A第十三页，共49页。第十四页，共49页。4．(2013·新课标Ⅰ理，13)已知两个(liǎnɡɡè)单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝______.[答案]2第十五页，共49页。第十六页，共49页。课堂典例讲练第十七页，共49页。[思路分析]已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何(jǐhé)意义求解即可．向量数量积的定义(dìngyì)及几何意义第十八页，共49页。第十九页，共49页。第二十页，共49页。(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影(shèyǐng)；(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.第二十一页，共49页。[思路分析]先由已知条件分析出a，b，c的位置(wèizhi)关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．平面向量(xiàngliàng)数量积的运算第二十二页，共49页。第二十三页，共49页。[规律总结]向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化(zhuǎnhuà)为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2＝|a|2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.第二十四页，共49页。已知|a|＝3，|b|＝4，θ＝120°(θ为a与b的夹角)，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(a＋b)·(a＋b)；(4)(a－2b)·(3a＋b)．[分析(fēnxī)]将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b＝|a|·|b|cosθ求．第二十五页，共49页。[解析](1)原式＝|a|·|b|·cosθ＝12×cos120°＝－6；(2)原式＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7；(3)原式＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cosθ＝9＋16＋2×(－6)＝13.(4)原式＝3a2－5a·b－2b2＝3|a|2－2|b|2－5·|a|·|b|·cosθ＝27－32－5×(－6)＝25.[点评](1)考查向量数量积定义(dìngyì)；(2)相当于平方差公式；(3)相当于完全平方公式；(4)用到数量积的运算及数乘向量的运算．第二十六页，共49页。向量(xiàngliàng)的夹角第二十七页，共49页。第二十八页，共49页。第二十九页，共49页。第三十页，共49页。[规律总结]本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法(fāngfǎ)，借助图形直接求得．第三十一页，共49页。已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦(yúxián)值．[解析]a·b＝2×1×cos60°＝1，|m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4×22＋4×1＋1＝21，|n|2＝|a－4b|2＝|a|2－8a·b＋16|b|2＝22－8×1＋16×1＝12，第三十二页，共49页。第三十三页，共49页。求向量(xiàngliàng)的模第三十四页，共49页。第三十五页，共49页。第三十六页，共49页。第三十七页，共49页。[答案(dáàn)]B第三十八页，共49页。第三十九页，共49页。[思路分析](1)将a＋tb的模表示(biǎoshì)为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2)要证b⊥(a＋tb)，只需证b·(a＋tb)＝0.用向量数量积解决垂直(chuízhí)问题第四十页，共49页。第四十一页，共49页。第四十二页，共49页。[规律总结]本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用(lìyòng)向量数量积的运算，将a＋tb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b·(a＋tb)＝0，求解时利用(lìyòng)a与b共线且同向的条件，确定t的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．第四十三页，共49页。已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则当k为何值时，向量(xiàngliàng)ka－b与a＋2b垂直？[分析]利用c⊥d⇔c·d＝0，构造关于k的方程组求解．第四十四页，共49页。第四十五页，共49页。易错疑难辨析第四十六页，共49页。第四十七页，共49页。[辨析]错误的原因在于认为a与b的夹角为∠C.其实两向量的