2022年(理科)(乙卷)试卷真题+答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．（5分）设全集U{1,2,3,4,5}，集合M满足M{1,3}，则()

U

A．2MB．3MC．4MD．5M

2．（5分）已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则()

A．a1，b2B．a1，b2C．a1，b2D．a1，b2

3．（5分）已知向量a，b满足|a|1，|b|3，|a2b|3，则ab()

A．2B．1C．1D．2

4．（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为

11

研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b}:b1，b1，

n121

1

1

2

1

b1，，依此类推，其中N*(k1，2，)．则()

31k

11

2

3

A．bbB．bbC．bbD．bb

15386247

5．（5分）设F为抛物线C:y24x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF||BF|，则|AB|()

A．2B．22C．3D．32

6．（5分）执行如图的程序框图，输出的n()

A．3B．4C．5D．6

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第1页（共22页）

7．（5分）在正方体ABCDABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，则()

1111

A．平面BEF平面BDDB．平面BEF平面ABD

1111

C．平面BEF//平面AACD．平面BEF//平面ACD

11111

8．（5分）已知等比数列{a}的前3项和为168，aa42，则a()

n256

A．14B．12C．6D．3

9．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的

体积最大时，其高为()

1132

A．B．C．D．

3232

10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙

比赛获胜的概率分别为p，p，p，且ppp0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则()

123321

A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11．（5分）双曲线C的两个焦点为F，F，以C的实轴为直径的圆记为D，过F作D的切线与C交于M，

121

3

N两点，且cosFNF，则C的离心率为()

125

531317

A．B．C．D．

2222

12．（5分）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)g(2x)5，g(x)f(x4)7．若yg(x)

22

的图像关于直线x2对称，g(2)4，则f(k)()

k1

A．21B．22C．23D．24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

14．（5分）过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为．

3

15．（5分）记函数f(x)cos(x)(0，0)的最小正周期为T．若f(T)，x为f(x)的

29

零点，则的最小值为．

16．（5分）已知xx和xx分别是函数f(x)2axex2(a0且a1)的极小值点和极大值点．若xx，

1212

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第2页（共22页）

则a的取值范围是．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(AB)sinBsin(CA)．

（1）证明：2a2b2c2；

25

（2）若a5，cosA，求ABC的周长．

31

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第3页（共22页）

18．（12分）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点．

（1）证明：平面BED平面ACD；

（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角

的正弦值．

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第4页（共22页）

19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，

随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数

据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

i

材积量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

i

101010

并计算得x20.038，y21.6158，xy0.2474．

iiii

i1i1i1

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

n

(xx)(yy)

ii

附：相关系数ri1，1.8961.377．

nn

(xx)2(yy)2

ii

i1i1

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第5页（共22页）

3

20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,2)，B(,1)两点．

2

（1）求E的方程；

（2）设过点P(1,2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足

MTTH．证明：直线HN过定点．

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第6页（共22页）

21．（12分）已知函数f(x)ln(1x)axex．

（1）当a1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（2）若f(x)在区间(1,0)，(0,)各恰有一个零点，求a的取值范围．

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第7页（共22页）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选

修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos2t,

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数）．以坐标原点为极点，x轴

y2sint

正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin()m0．

3

（1）写出l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

333

23．已知a，b，c都是正数，且a2b2c21，证明：

1

（1）abc；

9

abc1

（2）．

bcacab2abc

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第8页（共22页）

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．（5分）设全集U{1,2,3,4,5}，集合M满足M{1,3}，则()

U

A．2MB．3MC．4MD．5M

【解析】因为全集U{1,2,3,4,5}，M{1,3}，所以M{2,4,5}，所以2M，3M，4M，5M．

U

故选：A．

【评注】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．

2．（5分）已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则()

A．a1，b2B．a1，b2C．a1，b2D．a1，b2

【解析】因为z12i，且zazb0，所以(12i)a(12i)b(1ab)(22a)i0，

1ab0

所以，解得a1，b2．故选：A．

22a0

【评注】本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．

3．（5分）已知向量a，b满足|a|1，|b|3，|a2b|3，则ab()

A．2B．1C．1D．2

【解析】因为向量a，b满足|a|1，|b|3，|a2b|3，

所以|a2b|(a2b)2a24ab4b214ab433，两边平方得，134ab9，

解得ab1，故选：C．

【评注】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．

4．（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为

11

研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b}:b1，b1，

n121

1

1

2

1

b1，，依此类推，其中N*(k1，2，)．则()

31k

11

2

3

A．bbB．bbC．bbD．bb

15386247

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第9页（共22页）

【解析】N*(k1，2，)，可以取1，

kk

1131518

则b12，b1，b1，b1，

11212313415

111

111

11

11

1

1

113121134

b1，b1，b1，

51861137121

111

111

111

111

111

111

111

111

11

11

1

1

155

b1，

8134

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

bb，故A错误；bb，故B错误；bb，故C错误；bb，故D正确．故选：D．

15386247

【评注】本题考查命题真假的判断，巧妙地把人造行星融入高考数学题，培养学生爱国热情，考查运算求

解能力，是基础题．

5．（5分）设F为抛物线C:y24x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF||BF|，则|AB|()

A．2B．22C．3D．32

【解析】F为抛物线C:y24x的焦点(1,0)，点A在C上，点B(3,0)，|AF||BF|2，

由抛物线的定义可知A(1，2)(A不妨在第一象限），所以|AB|(31)2(2)222．故选：B．

【评注】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．

6．（5分）执行如图的程序框图，输出的n()

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第10页（共22页）

A．3B．4C．5D．6

【解析】模拟执行程序的运行过程，如下：

输入a1，b1，n1，

计算b123，a312，n2，

321

判断|2|0.250.01，

224

计算b347，a725，n3，

721

判断|2|0.040.01；

5225

计算b71017，a17512，n4，

1721

判断|2|0.01；

122144

输出n4．故选：B．

【评注】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．

7．（5分）在正方体ABCDABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，则()

1111

A．平面BEF平面BDDB．平面BEF平面ABD

1111

C．平面BEF//平面AACD．平面BEF//平面ACD

11111

【解析】对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF//AC，又ACBD，ACDD，BDDDD，

11

且BD，DD平面BDD，AC平面BDD，则EF平面BDD，又EF平面BEF，

11111

平面BEF平面BDD，选项A正确；

11

对于B，由选项A可知，平面BEF平面BDD，而平面BDD平面ABDBD，在该正方体中，试想D

11111

运动至A时，平面BEF不可能与平面ABD垂直，选项B错误；

111

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第11页（共22页）

对于C，在平面ABBA上，易知AA与BE必相交，故平面BEF与平面AAC不平行，选项C错误；

111111

对于D，易知平面ABC//平面ACD，而平面ABC与平面BEF有公共点B，故平面BEF与平面ACD不

111111111

可能平行，选项D错误．故选：A．

【评注】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．

8．（5分）已知等比数列{a}的前3项和为168，aa42，则a()

n256

A．14B．12C．6D．3

a(1q3)

【解析】设等比数列{a}的公比为q，q0，由题意，q1．前3项和为aaa1168，

n1231q

11

aaaqaq4aq(1q3)42，q，a96，则aaq5963，故选：D．

25111216132

【评注】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．

9．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的

体积最大时，其高为()

1132

A．B．C．D．

3232

【解析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，

2a2

则ra，该四棱锥的高h1，该四棱锥的体积

22

a2a2a2

1

1a24a2a2a244424143a2a2

Va21(1)()3()3，当且仅当1，即

32344233332742

4a223

a2时，等号成立，该四棱锥的体积最大时，其高h11，故选：C．

3233

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第12页（共22页）

【评注】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．

10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙

比赛获胜的概率分别为p，p，p，且ppp0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则()

123321

A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【解析】A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；

设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P，棋手在第二

甲乙

盘与丙比赛连赢两盘的概率为P，

丙

P2pp1pp1p2pp2pp4ppp，

甲123321213123

P2pp1pp1p2pp2pp4ppp，

乙213311223123

P2pp1pp1p2pp2pp4ppp，

丙312211323123

PP2ppp0，PP2ppp0，

丙甲231丙乙132

所以P最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．故选：D．

丙

【评注】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用．

11．（5分）双曲线C的两个焦点为F，F，以C的实轴为直径的圆记为D，过F作D的切线与C交于M，

121

3

N两点，且cosFNF，则C的离心率为()

125

531317

A．B．C．D．

2222

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第13页（共22页）

x2y2

【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为1(a0,b0)，

a2b2

设过F的切线与圆D:x2y2a2相切于点P，则|OP|a，OPPF，又|OF|c，所以

111

PFOF2OP2c2a2b，过点F作FQMN于点Q，所以OP//FQ，又O为FF的中点，

1122212

34

所以|FQ|2|PF|2b，|QF|2|OP|2a，因为cosFNF，FNF，所以sinFNF，

112125122125

QF5a3a3a

所以|NF|2，则|NQ||NF|cosFNF，所以|NF||NQ||FQ|2b，

2sinFNF22122112

12

3a5ab3

由双曲线的定义可知|NF||NF|2a，所以2b2a，可得2b3a，即，

1222a2

cb2913

所以C的离心率e11．

aa242

情况二：当直线与双曲线交于一支时，

如图，记切点为A，连接OA，则|OA|a，|FA|b，

1

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第14页（共22页）

35a3a

过F作FBMN于B，则|FB|2b，因为cosFNF，所以|NF|，|NB|，

222125222

5a3acb215

|NF||NF|(2b)a2b2a，即a2b，所以e11，A正确．故选：

2122aa242

AC．

【评注】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属

于中档题．

12．（5分）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)g(2x)5，g(x)f(x4)7．若yg(x)

22

的图像关于直线x2对称，g(2)4，则f(k)()

k1

A．21B．22C．23D．24

【解析】yg(x)的图像关于直线x2对称，则g(2x)g(2x)，f(x)g(2x)5，

f(x)g(2x)5，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，g(2)4，f(0)g(2)5，得f(0)1．由

g(x)f(x4)7，得g(2x)f(x2)7，代入f(x)g(2x)5，得f(x)f(x2)2，故f(x)

关于点(1,1)中心对称，f(1)f(1)1，由f(x)f(x2)2，f(x)f(x)，得f(x)f(x2)2，

f(x2)f(x4)2，故f(x4)f(x)，f(x)周期为4，由f(0)f(2)2，得f(2)3，又

22

f(3)f(1)f(1)1，所以f(k)6f(1)6f(2)5f(3)5f(4)11(1)516(3)24，故选D．

k1

【评注】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

10

【解析】方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，

从5人中选3人有以下10个基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁；

甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第15页（共22页）

3

故甲、乙被选中的概率为．

10

方法二：

由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C310，

5

甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C13，

3

C13

根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P3．

C310

5

【评注】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．

14．（5分）过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为x2y24x6y0（或

8141616

x2y24x2y0或x2y2xy0或x2y2x2y0)．

3355

F0

【解析】设过点(0,0)，(4,0)，(1,1)的圆的方程为x2y2DxEyF0，即164DF0，解得F0，

2DEF0

D4，E6，所以过点(0,0)，(4,0)，(1,1)圆的方程为x2y24x6y0．

同理可得，过点(0,0)，(4,0)，(4,2)圆的方程为x2y24x2y0．

814

过点(0,0)，(1,1)，(4,2)圆的方程为x2y2xy0．

33

1616

过点(4,0)，(1,1)，(4,2)圆的方程为x2y2x2y0．

55

814

故答案为：x2y24x6y0（或x2y24x2y0或x2y2xy0或

33

1616

x2y2x2y0)．

55

【评注】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．

3

15．（5分）记函数f(x)cos(x)(0，0)的最小正周期为T．若f(T)，x为f(x)的

29

零点，则的最小值为3．

2

【解析】函数f(x)cos(x)(0，0)的最小正周期为T，

23

若f(T)cos()cos，0，则，所以f(x)cos(x)．

266

因为x为f(x)的零点，所以cos()0，故k，kZ，所以9k3，kZ，

996962

因为0，则的最小值为3．故答案为：3．

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第16页（共22页）

【评注】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．

16．（5分）已知xx和xx分别是函数f(x)2axex2(a0且a1)的极小值点和极大值点．若xx，

1212

1

则a的取值范围是(0,)．

e

【解析】对原函数求导f(x)2(axlnaex)，分析可知：f(x)在定义域内至少有两个变号零点，

对其再求导可得：f(x)2ax(lna)22e，

当a1时，易知f(x)在R上单调递增，此时若存在x使得f(x)0，则f(x)在(,x)单调递减，(x,)

0000

单调递增，此时若函数f(x)在xx和xx分别取极小值点和极大值点，应满足xx，不满足题意；

1212

当0a1时，易知f(x)在R上单调递减，此时若存在x使得f(x)0，

00

e

则f(x)在(,x)单调递增，(x,)单调递减，且xlog，

000a(lna)2

此时若函数f(x)在xx和xx分别取极小值点和极大值点，且xx，故仅需满足f(x)0，

12120

ee1e1e11

即：elogalnalnalnalnlna1ln(lna)2，解得：0a，

lnaa(lna)2(lna)2(lna)2lnae

1

综上所述：a的取值范围是(0,)．

e

【评注】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(AB)sinBsin(CA)．

（1）证明：2a2b2c2；

25

（2）若a5，cosA，求ABC的周长．

31

【解析】（1）证明：ABC中，sinCsin(AB)sinBsin(CA)，

所以sinC(sinAcosBcosAsinB)sinB(sinCcosAcosCsinA)，

所以sinAsinBcosCsinAcosBsinC2cosAsinBsinC，

即sinA(sinBcosCcosBsinC)2cosAsinBsinC，

所以sinAsin(BC)2cosAsinBsinC，

由正弦定理得a22bccosA，

由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以2a2b2c2；

2022年高考数学乙卷试卷（理科）第17页（共22页）

25a225

（2）当a5，cosA时，b2c225250，2bc31，

31cosA25

31

所以(bc)2b2c22bc503181，解得bc9，所以ABC的周长为abc