高考数学一轮复习专题：97-抛物线课件

9.7抛物线基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离

的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的

，直线l叫做抛物线的

.知识梳理焦点相等准线2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋

，也称为抛物线的焦半径.2.y2＝ax的焦点坐标为

，准线方程为x＝－

.3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝

，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝

(α为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(

)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－

.(

)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(

)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝

，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(

)××√×思考辨析

考点自测A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0) D.(1,0)答案解析1.(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为

，∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0).

A.9 B.8 C.7 D.6答案解析2.(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案解析A. B.[－2,2]C.[－1,1]

D.[－4,4]几何画板展示4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________.设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案解析y2＝－8x或x2＝－y5.(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________.2答案解析抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－

，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋

＝4，解得p＝2.题型分类深度剖析题型一抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案解析4如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.几何画板展示引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.

解答由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，几何画板展示2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解答由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，所以d1＋d2的最小值为3－1.几何画板展示与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.思维升华跟踪训练1

设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______.答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为

.几何画板展示

题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1：

(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

C.x2＝8y D.x2＝16y答案解析命题点2抛物线的几何性质例3

已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝

；

证明由已知得抛物线焦点坐标为(，0).则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

证明

证明(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝

(|AC|＋|BD|)＝

(|AF|＋|BF|)＝

|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.思维升华

跟踪训练2

(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为A.2 B.4 C.6 D.8答案解析

不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，

①点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，

②点D

在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋

2＝r2，

③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.

(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

的最大值为答案解析A. B.1 C. D.2设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4

已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若

＝0，则k＝________.答案解析2抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝4＋

，x1x2＝4.所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝

，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因为

＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5

(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

证明几何画板展示记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，所以AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解答几何画板展示设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，所以x1＝1，x1＝0(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1).(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.思维升华跟踪训练3

(2017·北京东城区质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝

|PQ|.(1)求C的方程；

解答设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝

.所以|PQ|＝

，|QF|＝

＋x0＝

.由题设得

，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

解答依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝

|y1－y2|＝4(m2＋1).又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－

y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋

y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝

，y3y4＝－4(2m2＋3).由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝

|MN|，从而

|AB|2＋|DE|2＝

|MN|2，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.典例(12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；答案模板系列7(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

答题模板思维点拨

直线与圆锥曲线问题的求解策略规范解答解(1)∵抛物线C：x2＝

y，∴它的焦点F(0，

).[2分]消去y得mx2－2x－2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－

.[6分](2)

得

，

，

，若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则

＝0，

返回解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.

返回课时作业1.(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果

＝－12，那么抛物线C的方程为A.x2＝8y B.x2＝4y

C.y2＝8x D.y2＝4x12345678910111213答案解析√12345678910111213由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋

，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，即抛物线C的方程为y2＝8x.2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为√12345678910111213答案解析A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝2 D.x＝－212345678910111213∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－

，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.3.(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为A.y2＝4x或y2＝8x

B.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16x

D.y2＝2x或y2＝16x12345678910111213答案解析√12345678910111213∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(，0)，∴|OF|＝

，∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，12345678910111213∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

的值一定等于A.－4 B.4 C.p2 D.－p2√12345678910111213答案解析12345678910111213①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝

，∴x1x2＝

；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.

②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k(x－

)，联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋

＝0，5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为12345678910111213答案解析A.y2＝9x

B.y2＝6x

C.y2＝3x

D.y2＝

x√12345678910111213如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝

|AA1|＝

|AF|，即p＝

，∴抛物线方程为y2＝3x.故选C.6.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则

的最小值是√答案解析1234567891011121312345678910111213抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过P作PN垂直直线x＝－1于N，由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，在Rt△PAN中，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立12345678910111213得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，7.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.12345678910111213答案解析12方法二由抛物线焦点弦的性质可得123456789101112138.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为

的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若

，则p＝__.123456789101112132如图，由AB的斜率为

，知∠α＝60°，又＝

，∴M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，∴|BP|＝

|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即

＝1，∴p＝2.答案解析9.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为

，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝_____.12345678910111213答案解析612345678910111213抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2.可得a＝4，b2＝16－4＝12.故椭圆方程为

.把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.从而|AB|＝6.设椭圆方程为

(a>b>0)，由题意，c＝2，

，

12345678910111213*10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_______.(2,4)答案解析12345678910111213如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1≠x2，又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.12345678910111213即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上.将x＝3代入y2＝4x，故r2＝

＋4<12＋4＝16.又

＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.11.(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.12345678910111213解答(1)求该抛物线的方程；直线AB的方程是y＝2(x－

)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0.所以x1＋x2＝

，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝

＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

，求λ的值.12345678910111213解答由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12345678910111213

解答12.设P，Q是抛物线y2＝2px(