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文档简介

人教B版高中数学必修第一册§2.2.3

一元二次不等式的解法情境与问题

汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为s甲=s乙=试判断甲、乙两车有无超速现象。一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等如何求一个一元二次不等式的解集呢？让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式x（x一1）>0.①尝试与发现

任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法.

注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为

（一∞，0）∪（1，+∞）.

a>0，或a<0，b>0b<0.x>0，或x<0，

x-1>0x-1<0.因此，不等式①可以转化为两个不等式组用类似的方法可以求得不等式（x+1）（x-1）<0②的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当不难解得x∈∅或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为

（-1，1）

a<0，或a>0，b>0b<0.因此，不等式②可以转化为两个不等式组x+1<0，或x+1>0，

x-1>0x-1<0.一般地，如果x1<x2，则不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是（x1，x2）不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）例1求不等式x2-x-2>0的解集回到情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为（v+20）（v-30）>0，因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为（v+40）（v-50）>0因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.

上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？尝试与发现

通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：（1）x2<-1；（2）x2>-2；（3）x2<9.例2求下列不等式的解集：（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总

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