2022-2023学年黑龙江省大庆市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省大庆市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．（

）A．0 B． C． D．2【答案】A【分析】由诱导公式可以直接计算所得.【详解】由诱导公式可得，，所以.故选：A2．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】解：，则对应点的坐标为，位于第一象限.故选：A.3．平行四边形ABCD中，点E满足，则（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.【详解】由题意可得：，即，则.故选：D.4．如图1，在高为的直三棱柱容器中，.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的体积为（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】设容器体积为，水的体积为，无水部分为三棱锥，体积为，，解得答案.【详解】设容器体积为，水的体积为，无水部分为三棱锥，体积为，，故.故选：D5．已知向量，对任意的，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.6．如图，P是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线AC【答案】D【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.【详解】对于A，连接，设，由，当点位于点时，与共面；对于B，当点与重合时，直线与直线相交；对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，当点与重合时，与共面；对于D，连接，因为平面，平面，平面，，所以直线BP与直线AC是异面直线.故选：D.7．在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.【详解】由正弦定理可知，①，又因为，所以②，将②式代入①式可得，整理得，因为，所以，即，又因为，所以，即可得又有恒成立恒成立，又因为是锐角三角形，所以,即，解得，所以，故.设，则易知在区间上单调递减，故，所以，故，即.故选：B8．在中，角的对边分别为，且满足为中点.过点作交所在直线于，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，则，设，根据余弦定理得到，，计算，根据二次函数性质得到最值.【详解】如图所示：连接，则，设，中：，整理得到：，中：，故，，，即，当时，有最大值为，此时可以满足，则的最大值为.故选：A二、多选题9．已知是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若是平面内不共线三点，，则C．若直线，直线，则与为异面直线D．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面【答案】AB【分析】确定，A正确，若推出和重合，得到B正确，CD选项都有多种情况，错误，得到答案.【详解】对选项A：若且，则，正确；对选项B：若，又，则和重合，不成立，正确；对选项C：直线，直线，则与为异面直线或或相交，错误；对选项D：若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面或相交或平行，错误；故选：AB10．下列论断中，正确的有（

）A．在中，若为钝角，则B．在中，角的对边分别为，若，则为等腰三角形C．已知向量是非零向量，则向量与向量共线存在不全为零的实数，使D．向量满足，则或【答案】AC【分析】确定，根据三角函数得到单调性得到，A正确，取特殊值排除B，根据向量的运算知C正确，当，且时等式成立，D错误，得到答案.【详解】对选项A：，，，，故，同理，故，正确；对选项B：取，，则，满足，错误；对选项C：非零向量与向量共线，则，即存在不全为零的实数，使；若，，，故向量与向量共线，正确；对选项D：当，且时，，错误.故选：AC11．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（

）A．四点共面B．与异面C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上D．与的交点一定在直线上【答案】AD【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误；，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确.故选：AD.12．下列说法正确的是（

）A．设是非零向量，且，则B．若为复数，则C．设是非零向量，若，则D．设为复数，若.，则【答案】BC【分析】确定或，A错误，计算得到BC正确，举反例，，得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：是非零向量，且，则或，错误；对选项B：设，，，，，正确；对选项C：，则，整理得到，正确；对选项D：取，，满足，，错误；故选：BC三、填空题13．已知向量，且，则___________.【答案】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案为：.14．复数的共轭复数是__________【答案】【分析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.【详解】，∴.故答案为：四、双空题15．已知三棱锥中，,，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，则的最小值为__________；当时，三棱锥体积为__________.

【答案】/【分析】（1）空间中距离之和的最值问题一般转化为平面中的距离问题，将空间中的面展开铺平研究即可得；（2）解法一：三棱锥体积可以通过间接的方法获得，因为，所以，只要求出三棱锥的体积即可，取的中点为，证明垂直于平面，即可用分割的方法求得体积；解法二：将三棱锥补形成长方体，再利用切割法即可求得三棱锥的体积.【详解】第1空：因为，，所以将空间四边形展开铺平可得平行四边形，如图所示：

在中，，，由余弦定理可得，，而，所以的最小值为.第2空：解法一：当时，易知.取的中点为，连接，如图所示：

因为，，所以，且；又因为，，所以，且；故可知平面，即和分别为三棱锥和的高.在中，，，所以，故，所以.解法二：当时，易知.因为，，所以可以构造如图所示的长方体：

设长方体的长、宽、高分别为，则可知,解得，所以长方体的长为，宽和高均，观察图形可知，三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，故,.故答案为：；五、填空题16．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度的取值范围__________.

【答案】【分析】根据题意计算，确定的轨迹为线段和点，分别计算点在线段上时和点时的范围，得到答案.【详解】设中边的高为，连接，，则三棱锥的体积，故，和点到的距离为，故的轨迹为线段和点，

点在线段上时，为边长为的等边三角形，故到的最短距离为，最长距离为；点与点重合时，，综上所述：的长度的取值范围为.故答案为：.六、解答题17．已知是坐标原点，，(1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影；(2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由.【答案】(1)坐标，数量投影是(2)共线，理由见解析【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到，即可求解.【详解】（1）解：由向量，可得则投影向量的坐标是，，数量投影是，，即向量在方向上的数量投影是.（2）解：、、三点共线，理由：向量，因为，，，可得，，，所以，，可得，所以、、三点共线.18．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求：(1)四棱锥的表面积；(2)三棱锥的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得；（2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积.【详解】（1）作，垂足为E，由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以所以；（2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点因为所以又是的中点，所以．19．如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线l分别交线段、于E、F两点.(1)用，表示；(2)设，.①求证：；②求的最小值.【答案】(1)(2)①证明过程见详解；②.【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可；（2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由三点共线可得存在实数，使得，同理由三点共线可得存在实数，使得，所以，解得，所以.（2）①设，其中.所以，则，所以；②所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为.20．已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为.(1)求函数的解析式；(2)若方程在上的解为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据周期得到，根据对称中心得到，得到解析式.（2）确定，根据对称性得到，代入解析式计算得到答案.【详解】（1），，故，一个对称中心为，故，即，，故当时，满足条件，此时，故.（2），故，，且，即，.21．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．【答案】(1)存在，或(2)【分析】（1）由题知，进而根据相伴向量的定义求解即可；（2）根据三角函数的性质得，进而结合二倍角公式得，再令，进而结合函数值域求解即可.【详解】（1）因为，所以，函数存在相伴向量，，所以，与共线的单位向量为或.（2）的“相伴函数”，因为在处取得最大值，所以，当，即时，有最大值，所以，，所以，因为，，所以，所以，令，则，因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，所以，所以，，所以，的取值范围为.22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.(1)求出山高BE（结果保留整数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰