薄圆筒柱弹塑性力学

薄圆筒柱弹塑性力学第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一§6.1弹塑性边值问题的提法一、弹塑性全量理论边值问题i)

在V内的平衡方程:ii)

在V内几何关系（应变-位移关系）:iii)

在V内全量本构关系:(6-3)边界Su上给定位移，要求应力，应变，位移，它们满足设在物体V内给定体力，在应力边界ST上给定面力Ti，在位移以下方程和边条件：第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一v)

在上位移边界条件：二、弹塑性增量理论的边值问题i)

在V内的平衡方程其中是外法线的单位向量；由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。iv)

在上的应力边界条件:ii)

在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一iii)

在V内的增量本构关系：弹性区：塑性区：（6-9）(a)

对于理想塑性材料，屈服函数为，则第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一弹性区：塑性区：（6-10）（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为，则第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一iv）在ST

上的应力边界条件：v）在Su上的位移边界条件：vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面的法向为ni，则在上有：(a)法向位移连续条件(b)应力连续条件上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一§6.2

“薄壁筒”的拉、扭变形考察薄壁圆筒承受拉力P

和扭矩T

联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z

轴与筒轴重合。设壁厚为h

，筒的内外平均半径为R

，则筒内应力为：

其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整P

和T

之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。假设材料是不可压缩的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出(6-16)第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一进入塑性以后，Mises屈服条件：可化为：下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。对理想弹塑性材料，增量本构方程是Prandtl-Reuses关系，于是：无量纲化后得到：消去得：一、按增量理论求解(6-19)(6-20)第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一由（6-18）式知故从（6-21）式中消去和，就有：同样地，如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径则积分（6-22）或（6-23）式就可得到关系或关系。第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一保持常数的阶段ab

上，设在a点有由于在ab上例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑方程（6-22）变为：图6-1积分并利用a点的已知条件，得出：类似地，对于阶段bc

,第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一二、按全量理论求解由于假设了材料不可压，由（5-63）式化后得应力-应变关系为将(6-26)式按(6-16)式无量纲在本问题中用分量写出来就是：，故第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O到达点C在弹性范围内，，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是。可见图中的阴影区域是弹性范围。路径①沿OBC。在B点有在BC段上有解出在C点类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得三、算例（1）用增量理论求解OCABD①②③第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一刚到达屈服，同时满足由此得出在D点时的应力为：不难证明沿

DC

段皆有，即应力值不变，在C点也就仍为（2）用全量理论求解代入（6-27）式得出亦即C点的应变i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同；ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。

由以上的结果可知：路径③是比例加载路径ODC，其上。在到达D点时，第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生轴向自由翘曲。§6.5柱体的弹塑性自由扭转

考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩T作用下的自由扭转问题。以表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为从小应变下的Cauchy公式得出应变为：一、研究范围和基本方程(6-84)其中是截面的翘曲函数假定截面是单连通的，取柱体的轴线为

z

轴。第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。在进入塑性之后，恒有按照增量本构关系，从刚进入塑性开始，可以推知进而在变形的一切阶段均有(6-85)(6-86)在弹性时按Hooke定律求得：第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有其中为合剪应力。可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个简单加载过程。且主应力为：第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一二、弹性扭转和薄膜比拟或由（6-86）式得到的应力分量表示的协调方程同时，只有一个平衡方程从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程因此，可以引进弹性应力函数，使有则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一在弹性力学中，研究了和Poisson方程（6-93）并导致以下结论)合剪应力大小：iii）柱体截面的周界也是

=const曲线族之一，对单连通截面可令周界上iv）扭矩T与的关系可按St.Venant

条件求得：ii）合剪应力的方向沿=const曲线的切向，也就是与的梯度方向相垂直。其中A为柱体的一个截面。v）Prandtl薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加均匀压力，则与薄膜的高度成正比，的大小与薄膜的斜率成正比，扭矩T与薄膜曲面下的体积成正比。第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一达到，就算达到了弹性极限状态，相应的截面上有一点的扭矩为弹性极限扭矩。以半径为

a

的圆柱体为例，带入方程（6-93）得于是在截面边缘上最大令处导出

在塑性阶段，平衡方程（6-91）不变，并仍可由引入应力函数来满足，此时

三、全塑性扭转和沙堆比拟当材料进入塑性时，因此，按弹性考虑，只要第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

这样，只从平衡方程、屈服条件和应力边条件就能够求出理想塑性体内的应力分布。这种情况叫做塑性力学中的静定问题。则或即对于理想塑性材料，是常数，（6-99）式说明在截面上保持斜率不变。由此，Nadai提出下述沙堆比拟：将一个水平的底面做成截面的形状，在其上堆放干沙，由于沙堆的静止摩擦角为常数，则沙将形成一个斜率为常数的表面。因此，这表面可用来代表塑性应力函数，只相差一个可由屈服应力和沙堆摩擦角决定的比例因子。就是截面的塑性极限扭矩。这时，我们不用（也不再有）应力协调方程，而代之以屈服条件

第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时，，按（6-100）式求出高度就应为表面必然是一个圆锥，既然斜率是与（6-96）式相比可知对圆柱体

沙堆比拟的思想，不仅可直接应用于实验，也可用来指导计算三角形、矩形、任意正多角形等规则截面的柱体的塑性极限扭矩，因为这只需计算某些等斜“屋顶”下的体积。第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一剪应力方向平行于边界，大小为。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等线平行于边界，每点的合它们是弹性区域收缩时的极限。当弹性区域收缩时，从不同方向扩展过来的两个塑性区域相遇，因此会造成剪应力间断。

如果截面边界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的顶点），从弹性力学知道，在凸角处剪应力等于零，因而尽管T增大，这里始终处于弹性阶段。所以，作为弹性区域收缩极限的剪应力间断线必定通过这样的凸角。反之，如果截面边界上有凹角，从弹性力学知道，这里剪应力无限大，因而一开始就进入塑性阶段，棱线就一定不经过这里。第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一四、弹塑性扭转和薄膜-玻璃盖比拟当时，柱体的截面上会存在一部分弹性区、一部分塑性区，的模为常数）。因此，提出的数学问题如下：（这是由于应力分量在上应该连续）。的性质（满足Poisson方程）和的性质（梯度其上应力函数分别具有，在弹性区内满足方程（6-93），在塑性区内满足（6-99），寻求应力函数，在弹塑性区域交界线在截面边界上都要连续Nadai指出，弹塑性交界线可以联合应用薄膜比拟和沙堆比拟来求解。在一块水平平板上，挖一个具有截面形状的孔，复盖以薄膜。在薄膜的上面，放上一个按沙堆比拟形状作成的等倾玻璃盖。a)如若压力较小时，薄膜的变形不受“屋盖”的影响，这是弹性扭转的情况。b)随着压力的增加，薄膜逐渐贴到屋盖上，贴附的区域就是塑性区域。此时，在贴附区域以外的自由薄膜仍满足Poisson方程，所以仍是弹性区。由此可以确定弹塑性交界线的形状。第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一在圆截面情形，由于对称性，可设的一个圆。在弹性区：有

右图显示了矩形截面柱体在弹塑性