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文档简介
行列式的主要性质第一页,共三十二页,编辑于2023年,星期一行列式称为行列式的转置行列式.
表示符号:DT或求法:将原行列式的各行的元顺次变为按列排列后所得到的行列式;
或:以对角线为对称轴,对应的各元素互换位置后所得记【转置行列式】一、概念及性质第二页,共三十二页,编辑于2023年,星期一性质1行列式与它的转置行列式相等证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕表述之二:
行列式的行与列顺次互换,其值不变表述之三:
行列互换,其值不变第三页,共三十二页,编辑于2023年,星期一说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2互换行列式的两行(列),行列式变号,即第四页,共三十二页,编辑于2023年,星期一证明设行列式B是由行列式变换两行得到的,在B中任取一项,并将其各元按B中的自然顺序排列成:
因此它在B中的符号是显然项(*)也是A中的项,且按A中行的自然顺序排列它的元,则该项目应为:于是第五页,共三十二页,编辑于2023年,星期一则有|B|=-|A|证毕例如又由于B中不同的项也是A中不同的项,于是:第六页,共三十二页,编辑于2023年,星期一在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:符号规定2、第i行(或列)提出公因子k
记作rik(或cik)
1、交换i
j两行记作rirj
交换i
j两列记作cicj
3、以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上记作rikrj(cikcj)
第七页,共三十二页,编辑于2023年,星期一推论如果行列式有
两行(列)完全相同,
则该行列式为零,即互换相同的两行,有证明第八页,共三十二页,编辑于2023年,星期一性质3如果行列式某一行(列)有公因子k时,等于用数k乘此行列式.推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.注:第i行(或列)提出公因子k
记作rik(或cik)
注:
第i行(或列)乘以公因子k
记作rik(或cik)
第九页,共三十二页,编辑于2023年,星期一性质4
(i)行列式的某行(列)的元全为零;(ii)行列式的两行(列)完全相同;(iii)如果行列式有两行(列)成比例,若上述条件之一成立,则该行列式为零。第十页,共三十二页,编辑于2023年,星期一性质5如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和,则该行列式为两行列式之和,即+
第十一页,共三十二页,编辑于2023年,星期一性质6
把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.例如第十二页,共三十二页,编辑于2023年,星期一推论:当某一行(或列)的元素为两数之和,行列式关于该行(或列)可分解为两个行列式;
若n阶行列式的每个元素都表示成两数之和,则可分解为2n个行列式之和.例如第十三页,共三十二页,编辑于2023年,星期一说明:行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).利用上述性质对行列式进行行变换,可以化简行列式的计算,计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用行列式关于行或列的三种运算(rirj、rik、
rikrj
)或(cicj、cik、cikcj
);(3)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值;(4)降阶法.(行列式展开定理,见第6节).二、行列式计算方法及实例分析第十四页,共三十二页,编辑于2023年,星期一课本例题p12例题1计算行列式解:第十五页,共三十二页,编辑于2023年,星期一例2计算行列式解:
法1:(按行变换)将第一行减去第二行,第三行减去第四行得到:法2:(按列变换)
将第三列加到减去第一列,第四列减去第二列得到:(第一、三行成比例)
性质4(iii)(第一、二列成比例)性质4(iii)第十六页,共三十二页,编辑于2023年,星期一例3计算2n行列式
其中未写出的元素为0解:将D2n中的第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调(做2n-2相邻对换),再把第2n列依次与第2n-1列…第2列对调,得到:第十七页,共三十二页,编辑于2023年,星期一根据例10结果,有:以次作为递推公式,即得:第十八页,共三十二页,编辑于2023年,星期一例3求解分析:法1
利用三角形行列式性质求解
第十九页,共三十二页,编辑于2023年,星期一第二十页,共三十二页,编辑于2023年,星期一第二十一页,共三十二页,编辑于2023年,星期一第二十二页,共三十二页,编辑于2023年,星期一物电学院线性代数第二十三页,共三十二页,编辑于2023年,星期一物电学院线性代数例4计算解法1:利用行列式性质4(iii)
第二十四页,共三十二页,编辑于2023年,星期一物电学院线性代数例4计算解法2:利用三角形行列式性质第二十五页,共三十二页,编辑于2023年,星期一例5计算n阶行列式解法1行列式的主对角线上的元全为a,其余全为b,现将2,3,…,n列都加到第一列上,然后提出第一列的公因子a+(n-1)b,得到:第二十六页,共三十二页,编辑于2023年,星期一解法2将D的第2,3,…,n行均减去第一行,得到:第二十七页,共三十二页,编辑于2023年,星期一解法3将D的各列表为两个子列之和,得到:将上式展开有2n项行列式之和,其中:
1)每个行列式的列仅为原行列式中该列的一个子列,这些行列式若有两列均为原行列式的第一子列则为零,去掉为零的行列式后还有n+1个行列式。
2)仅有一列为第一子列的行列式n个,
每列均为第二子列的行列式1个。第二十八页,共三十二页,编辑于2023年,星期一仅当第j列是原行列式中对应的第一子列,而其他列为原行列式的第二子列,则行列式为:且这类行列式共有n+1个.将其第j行的(-1)倍加到行列
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