2019-2021北京初二（下）期末数学汇编：平行四边形的判定

2019-2021北京初二（下）期末数学汇编

平行四边形的判定

一、单选题

1.（2021•北京丰台•八年级期末）如图，为了测量一块不规则绿地8,C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一

点然后测量出NC的中点O,E,如果测量出。，E两点间的距离是8m,那么绿地B,C两点间的距离是

（）

R

2.（2021•北京昌平•八年级期末）如图，在四边形工88中，AB//CD.下列条件不能判定此四边形为平行四边形

的是（）

AD

A.AB=CDB.ADUBCC.NB=NDD.AD=BC

3.（2021•北京石景山•八年级期末）如图，小山为了测量某湖两岸4,8两点间的距离，先在N8外选定一点C,

然后测量得到C4C8的中点。，&且。E=8m,从而计算出48两点间的距离是（）m

4.（2020•北京顺义•八年级期末）如图，在四边形N8C。中，AB//CD,对角线ZC,8。相交于点。.添加下列条

件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形.则添加的条件可以是（）

®AD//BC,②AB=CD,③AD=BC,®ZADC=ZABC,®BO=DO,®ZDBA=ZCAB.

三------------

A.①②③⑤B.①②④⑤C.①②④⑥D.①③④⑥

5.（2020•北京密云•八年级期末）A,8两地被池塘隔开，小明先在外选一点C,然后分别步测出8c的

中点Q,E,并测出0E的长为20m,则的长为（）

1/21

D

A.10/wB.20/HC.30/WD.40〃Z

6.（2020•北京房山•八年级期末）如图，在oZBCO中，AE平分NBAD,交CD边于E,40=6,£C=4,则48的

长为（）

A.1B.6C.10D.12

二、填空题

7.（2021•北京通州•八年级期末）如图，在△4BC中，ZABC=90°,在边NC上截取4＞力8,连接8。，过点

A作于点E.已知48=6,BC=8,如果尸是边8c的中点，连接EF,那么E尸的长是.

8.（2021•北京房山•八年级期末）在△N8C中，D,E分别是边ZB,/C的中点，若。E=2,则8C=_.

9.（2021•北京海淀•八年级期末）如图，A,B两点被池塘隔开，在外选一点C,连接ZC和8C.分别取/C,

8c的中点O,E,测得O,E两点间的距离为30m,则/,8两点间的距离为m.

A

10.（2020•北京房山•八年级期末）如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A,B间的距离：先在

AB外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=15米，由此他知道了A,B间的距离为

米.

11.（2020•北京门头沟•八年级期末）如图，在平行四边形N8CZ）中，ED=2,BC=5,NN8C的平分线交/。于点

E,则CD的长为

2/21

ED

BC

12.（2021•北京朝阳•八年级期末）如图，在△/8C中，点。、E分别是28、/C的中点.若DE=3,则8C=

13.（2019•北京门头沟•八年级期末）下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图

过程.

图1图2

己知：如图1,AABC.

求作：直线4D,使4D〃BC.

作法：如图2：

①分别以点/、C为圆心，以大于g/C为半径作弧，两弧交于点E、F；

②作直线EF交4c于点O；

③作射线80,在射线BO上截取（B与。不重合），使得OD=OB；

④作直线/D

二直线“。就是所求作的平行线.

根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明.

证明：连接CD

：OA=OC,OB=OD,

二四边形"8CO是平行四边形（）（填推理依据）.

：.AD//BC（）（填推理依据）.

三、解答题

14.（2021•北京朝阳•八年级期末）如图，在平行四边形中，E、F是对角线ZC所在直线上的两点，且

AE=CF.求证：四边形£3尸。是平行四边形.

3/21

D

E,

B

15.（2021•北京顺义•八年级期末）已知，如图，在中，点E、F分别在45、8c上，且QE=BF.求

证：四边形/EC尸是平行四边形.

16.（2021•北京门头沟•八年级期末）已知：如图，E,尸是平行四边形/BCD对角线8。上的两点，且BE=DF.

求证：AE=CF.

17.（2021•北京西城•八年级期末）如图，△/BC和△OCE都是等边三角形，NZC£»=a（60。＜。＜120。），点P,

Q,M分别是“。，CD,CE的中点.

（1）求的度数；（用含a的式子表示）

（2）若点N是8c的中点，连接NM,NP,PM,求证：是等边三角形.

E

18.（2021•北京海淀•八年级期末）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线'’的尺规作图过程.

图1图2

已知：如图1,直线/及直线/外一点4

4/21

求作：直线49,使得/£>〃/.

作法：如图2,

①在直线/上任取两点8,C,连接Z8；

②分别以点4C为圆心，线段8C,长为半径画弧，两弧在直线/上方相交于点O：

③作直线AD.

直线就是所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CO.

•：AB=,BC=,

：.四边形/8CD为平行四边形（）（填推理的依据）.

ADUI.

19.（2021•北京海淀•八年级期末）如图，在。4BCD中，点E,尸分别在8C,力。上，且BE=DF,连接ZE,

CF.求证：AE//CF.

20.（2020,北京延庆•八年级期末）如图，々1BCD中，点E、尸分别在48、CO上，且BE=O尸.求证:

AF=EC.

21.（2021•北京丰台•八年级期末）如图，在&4BCD中，E、尸分别是N。、8c上的点，且BF=DE.求证：AF=

CE.

22.（2020•北京门头沟•八年级期末）如图，已知在Q48CD中，E、尸是对角线/C上的两点，S.DF//BE.求证:

四边形8EO尸是平行四边形.

5/21

23.（2020•北京通州•八年级期末）如图,在。ABCD中,/E平分NBAD交8c于点瓦CF平分ZBCD交于点F,

求证：四边形4FCE是平行四边形.

D

B

24.（2020•北京房山•八年级期末）己知：AABC,画一个平行四边形ABCD,使AB,BC为邻边，AC为对角

线，并说明画图依据是：.

25.（2020•北京延庆•八年级期末）己知：如图，线段BC.

（1）求作：口48。。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）四边形是平行四边形的依据是.

26.（2020•北京密云•八年级期末）己知：如图，MBS中，E,F是AB,CD上两点，B.AE=CF.求证:

DE=BF.

27.（2021•北京房山•八年级期末）有这样一个作图题目：画一个平行四边形使Z8=3cm,8c=2cm,AC

=4cm.

下面是小红同学设计的尺规作图过程.

作法：如图，

6/21

①作线段/B=3cm,

②以N为圆心，4cm为半径作弧，以8为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C；

③再以C为圆心，3cm为半径作弧，以“为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点》

④连结NO,BC,CD.

所以四边形即为所求作平行四边形.

根据小红设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下列证明.

证明：

•••以N为圆心，4cm为半径作弧，以8为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C,

cm,AC—cm.

♦.•以C为圆心，3cm为半径作弧，以力为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点O,

...CD=3cm.AD—2cm.

又,；/8=3cm,

:.AB=CD,AD=.

二四边形/BCD是平行四边形（）（填推理依据）.

28.（2020•北京房山•八年级期末）已知：如图，在Q4BCD中，点M,N是分别边NO,8C的中点.求证:

BM=DN.

B匕-----------匕------------>C

N

29.（2019•北京顺义•八年级期末）如图，在。4BC0中，点E,F分别是边AD,BC的中点，求证：AF=CE.

BFC

30.（2021•北京房山•八年级期末）己知：如图，在办BCD中，点M、N分别是48、8的中点.求证：DM=

BN.

7/21

参考答案

1.C

【分析】

根据三角形中位线定理即可求出BC.

【详解】

解：中，D、E分别是48、ZC的中点，

DE为三角形ABC的中位线，

:.DE=-BC,

2

BC=IDE=2x8=16m,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半.

2.D

【分析】

根据平行四边形的判定条件可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形48。是平行四边形，故不符合题意；

B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形Z8CD是平行四边形，故不符合题意；

C、'：AB//CD,AZ5+ZC=180°,NB=ND,AZD+ZC=180°,：.AD//BC,四边形/8CO是平行四边形,

故不符合题意；

D、AD=BC,无法得出四边形是平行四边形，故符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键.

3.C

【分析】

根据三角形中位线定理可得到AB=2DE,可得到答案.

【详解】

解：E分别为C4C8的中点，

...OE为△48C的中位线，

.'.AB=2DE=\6m,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键.

4.B

8/21

【分析】

根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论.

【详解】

@'：AB//CD,AD//BC,

二四边形/BCD是平行四边形，故①正确；

@'：AB//CD,AB=CD,

二四边形是平行四边形，故②正确；

③•：ABHCD,4)=8C无法得出四边形MCQ是平行四边形，故③不正确;

④•：AB〃CD,

：.ZABC+ZBCD=\SO0,

,/NADC=NABC,

：.ZADC+ZBCD=\SO0,

J.AD//BC,

四边形/BCD是平行四边形，故④正确；

酚•：AB〃CD,

：.ZABO=ZCDO,

ZABO=ZCDO

在△/O8和△C。。中，,BO=DO,

ZAOB=ZCOD

:.△AOBQlXCOD(ASA),

：.AO=CO,

又：OB=OD,

...四边形N8CZ)为平行四边形，故⑤正确；

"：ZBCD+ZADC=\SO0,

J.AD//BC,

又,：AB〃CD,

四边形/BCD是平行四边形，故选项C不符合题意；

⑥：ZDBA=ZCAB,

：.OA=OB,

'."AB//CD,

：.ZDBA=ZCDB,ZCAB=ZACD,

ZDBA=ZCAB,

：.ZCDB=ZACD,

：.OC=OD,

不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确；

故选：B.

【点睛】

9/21

此题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握，即可解题.

5.D

【分析】

根据三角形的中位线定理解答即可.

【详解】

解：E分别是NC,8c的中点，

：.AB=1DE,

"：DE=20m,

.'.AB=40m.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中位线定理，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握该定理是解题的关键.

6.C

【分析】

首先证明D4=DE,再根据平行四边形的性质即可解决问题.

【详解】

解：•.•四边形是平行四边形，

：.BA//CD,4B=CD,

：.NDEA=NEAB,

•.7E平分

ZDAE=NEAB,

：.NDAE=NDEA,

:.DE=AD=6,

.,.CD=CE+DE=6+4=10,

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解

答本题的关键.

7.2

【分析】

根据勾股定理确定力C的长度，进而确定。的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为8。中点，再根

据中位线的性质求出EF的长度.

【详解】

解：VZABC^90°,AB=6,BC=8,

•**AC=yjAB2+BC2=A/62+82=10.

'：AD=AB,AEVBD,

10/21

为8。中点，4)=6.

ACZ)=JC-JZ)=10-6=4.

又；尸是8c的中点，

尸是△8CD的中位线.

£F=-CZ)=-x4=2.

22

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键.

8.4

【分析】

根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】

解：：。、E分别是边/8、/C的中点，

.♦.OE是△ZBC的中位线，

：.BC=2DE=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

9.60

【分析】

先判断出OE是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得力8=2。£,问题

得解.

【详解】

解：；点。，E分别是8c和ZC的中点，

...DE是的中位线，£>£=30m,

：.AB=2DE=2^30=60(m).

故答案是：60.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键.

10.30

【分析】

根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】

解：•.•点D,E是AC,BC的中点，

；.DE是aABC的中位线，

，AB=2DE=30,

11/21

故答案为：30.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

11.3

【分析】

根据角平分线定义求出NABE=NEBC,根据平行线的性质得出NAED=NEBC,推出NABE=NAED,根据等腰三

角形的判定得出AB=AE,即可得出答案.

【详解】

解：•・•/48c的平分线交力。于点区

・・・/ABE=NEBC,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB=CD,

：./AED=NEBC,

：.NABE=NAED,

：.AB=AE,

•:BC=5,DE=2,

：.AB=AE=5U2=3f

；.CD=AB=3,

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的性质以及等腰三角形的性质和判定的应用，能求出

AB=AE是解此题的关键.

12.6

【分析】

直接根据三角形的中位线解答即可.

【详解】

•.•点。、E分别是48、/C的中点，

是△N5C的中位线，

:.BC=2DE=2x3=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键.

13.对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形对边平行

【分析】

根据平行四边形的判定及性质依次判断即可.

【详解】

证明：连接CD,

12/21

VOA=OC,OB=OD,

四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

...AD〃BC（平行四边形的对边平行），

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行.

【点睛】

此题考查平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.

14.见解析

【分析】

连接8。交ZC于点0,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形E8尸。是平行四边形.

【详解】

解：证明：如图，连接80交ZC于点0,

A________________D

BC

四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,0B=0D,

又•：AE=CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

四边形EBFD是平行四边形.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.

15.见解析

【分析】

由平行四边形的性质得出/D=BC,AEHCF,推出=即可得出结论.

【详解】

证明：••・四边形力8co是平行四边形，

AD=BC,AEHCF,

•/DE-BF，

DAE-CF,

又,：AEUCF,

••・四边形/EC尸是平行四边形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

16.见解析

13/21

【分析】

根据已知条件利用SAS来判定AJ8E=\DCF,从而得出AE=CF.

【详解】

证明：•四边形48C。是平行四边形，

AB=CD,ABIICD.

NABE=NCDF.

在\ABE和\DCF中，

AB=CD

-ZABE=ZCDF,

BE=DF

MBE=M)CF(SAS).

DAE=CF.

【点睛】

此题考查了对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法，解题的关键是：掌握平行四边形的性质及全等三角形的

判定方法.

17.(1)240°-«；(2)证明见解析.

【分析】

(1)根据中位线的判定和性质，进行角的计算即可求出答案：

(2)根据中位线的判定和性质，得出《％=20,。〃=。17,再根据角的计算可得出/汽。0=/尸2刊,即可证明△

CNM=△QPM(S4S),再根据全等三角形的对应角相等即可求得/NMP=NCM0=6O。，即可判定△「色〃是等边三

角形.

【详解】

(1):尸。分别是力。,CD的中点，

是△/C。的中位线，

：.PQ//AC,

,ZPQC+ZACD=1SO°,

；.ZPQC=\SO0-a,

•••△C£)E是等边三角形，

NCDE=60°,

,/Q,M分别为CD,CE的中点，

QMHDE,

：.ZCQM=NCDE=60°,

/.ZPQM=APQC+NCQM=180°-a+60°=240°-a,

(2)如图：

14/21

A

P

D

E

△ABC是等边三角形，

・・.AC=BC,ZACB=60°,

TN是BC中点,

・・・NC=-BC=-AC

22f

•・・P,0分别是40,8中点,

・・・尸0是△/CD的中位线，

・・・PQ=9C,

:.NC=PQ,

,/△CED是等边三角形，

.・.CE=DE,ZDCE=ZCED=60°,

是CE中点，

：.CM=-CE=-DE,

22

・・・0,〃是0),。£中点，

：.QM=^DE,QM//DE,

：.CM=QM,ZCMQ=ZCED=60°,

■:4NCM=360°-NACB-ZDCE-^ACD=240°-a,ZPQM=240°-a,

：.ZNCM=ZPQM,

在△CNM和△QPM中，

CN=QP

・.・ZNCM=ZPQM

CM=QM

：.△CNM=△QPM(SAS),

：.MN=MP/NMC=/PMQ、

：.ZCMN+/CMP=ZPMQ+/CMP,

即NNMP=/CM。=60。,

・・・△PMN是等边三角形.

15/21

【点睛】

本题考查等边三角形的性质与判定，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握等边三

角形的性质与判定，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质.

18.（1）见解析；（2）DC,AD,两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【分析】

（1）根据作法画出图形即可；

（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可.

【详解】

（1）如图所示，

（2）证明：连接CO.

VAB=CD,BC=AD,

.•.四边形48co为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）.

ADUI.

故答案为：DC,AD,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本

作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作

图，逐步操作.也考查了平行四边形的判定.

19.见解析

【分析】

由平行四边形的性质得N。AD=BC,再证NF=CE,得四边形"EC尸是平行四边形，即可得出结论.

【详解】

证明：1•四边形/8CD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC.

,/BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE.

即AF=CE.

又,：AFIICE,

四边形AECF是平行四边形.

AE//CF.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

16/21

20.证明见解析

【分析】

利用口/B8的性质证明/E=CF,利用4E//CF,证明四边形XECF是平行四边形，即可得到结论.

【详解】

证明：•••四边形N88是平行四边形，

AB=DC,ABHDC

,/BE=DF,

AB-BE=DC-DF

即：AE=CF,

'：AE//CF,

...四边形/ECF是平行四边形，

AF=EC

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定方法是解题的关键.

21.见解析

【分析】

首先由平行四边形的性质得出ZO〃8C,AD=BC,然后判定四边形/EC尸为平行四边形，即可得解.

【详解】

•.•四边形是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC.

■:BF=DE,

.,.AE//CF,AE=CF.

.•.四边形AECF为平行四边形.

：.AF=CE.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.

22.见解析

【分析】

根据题意去证明△NQF丝(4/S),可得DF=BE,再根据。尸〃8E,即可证明四边形8EDF是平行四边形.

【详解】

证明：•••四边形/8CD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.ZDAF=ZBCE,

,:DF〃BE,

：.NDFE=NBEF,

：.NAFD=/CEB,

17/21

ZDAF=ZBCE

在△/£＞尸和△C8E中，-ZAFD=ZCEB,

AD=BC

:.△ADF^XCBE(JJS),

：.DF=BE,

又,：DF//BE,

四边形8EDF是平行四边形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质以及判定问题，掌握平行四边形的性质以及判定定理是解题的关键.

23.证明见解析

【分析】

利用平行四边形的性质可得AD//BC,再利用平行线的性质和角平分线的定义可得==

再结合等腰三角形的判定定理可得。尸=DC,AB=EB,从而可得AF=CE,根据有一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形即可证明.

【详解】

证明：,••四边形/8CO是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,ADIIBC

04E平分NB4D,CF平分/BCD,

NBAE=NDAE,ZDCF=NBCF.

NBAE=ZAEB,NDCF=NDFC.

:.DF=DC,AB=EB

AF=CE,

■：AF!ICE,

四边形AFCE是平行四边形.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，角平分线的有关证明，等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理.熟练掌握

平行四边形的判定与性质并能结合题意分析是解题的关键.

24.图见解析；两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【分析】

利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形画图即可.

【详解】

解：画图如下：以C为圆心，AB为半径画一段圆弧，再以A为圆心，BC为半径画一段圆弧，两圆弧的交点即为

点D,将AD、CD连接起来，组成的四边形ABCD是平行四边形.

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画图依据：使CD=AB,AD=BC,即两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【点睛】

本题考察了尺规作图和平行四边形的判定的应用，解题的关键在于知道平行四边形的判定定理.

25.(1)详见解析：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【分析】

(1)分别以A,C玩玩圆心，CB,BA为半径画弧，两弧交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求.

(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解决问题即可.

【详解】

(1)如图，四边形ABCD即为所求.

(2)依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

26.见解析

【分析】

要证DE=BF,只需证四边形DE8尸是平行四边形，证得BE//DF,根据一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形即可得证.

【详解】

在平行四边形/B