初中数学七年级下册《期末复习解答压轴题专项训练》含答案解析

专题11.2期末复习解答压轴题专项训练1．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥（1）如图1，若∠CDE=25°，∠DEB=80°，则∠ABE的度数为________；（2）如图2，BG平分∠ABE，GB的延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则【思路点拨】（1）过点E作ES∥CF，根据CF∥AK，则（2）延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．（3）过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．【解题过程】（1）解：如图1，过点E作ES∥CF，∵CF∥∴ES∥CF∥AK，∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，∴∠CDE+∠ABE=∠DES+∠SEB=∠DEB，∵∠CDE=25°，∠DEB=80°，∴∠ABE=∠DEB-∠CDE=80°-25°=55°．故答案为：55°．（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，∵CF∥AK，BG平分∴∠EMB=180°-∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=12∠MDF∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，∴∠DEB=(180°-∠MDF)+2∠HBN=180°-∠MDF+2×(1∴∠DEB=180°-∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB，∵∠DEB−∠DHB=60°，∴∠DEB=180°-2(∠DEB-60°)，∴3∠DEB=300°，解得∠DEB=100°．（3）解：过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，∵∠DEB=100°，∴∠EBM-∠NDE=40°，∵EQ∥DN，∴∠DEQ=∠NDE，∴∠EBM=40°+∠DEQ，∵EQ∥DN，∴EQ∥BP，∴∠EBM+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEQ+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEB+∠PBM=180°，∴∠PBM=180°-100°-40°=40°，∴∠PBM的度数不变，值为40°．2．（2022春·广西南宁·七年级统考期末）综合与实践：问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度数，小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC问题解决：（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为°；问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β．（2）当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时

（点P与点O，B，D三点不重合）请你直接写出当点P在线段OB上时，∠APC与α，β之间的数量关系，点P在射线DM上时，∠APC与α，β之间的数量关系．【思路点拨】（1）根据平行线的性质，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC；（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；【解题过程】解：(1)如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，∴∠APC=25°+37°=62°；故答案为：62；(2)∠APC与α,β之间的数量关系是：∠APC=α+β；理由：如图，过点P作PE//AB交AC于点E，∵AB//CD，∴AB//PE//CD,∴α=∠APE,β=∠CPE,∴∠APC=∠APE+∠CPE=a+β；(3)如图3，所示，当P在射线DM上时，过P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∴∠APC=∠1−∠PCD，∴∠APC=α−β，∴当P在射线DM上时，∠APC=α−β；如图4所示，当P在线段OB上时，同理可得：∠APC=β−α，∴当P在线段OB上时，∠APC=β−α．故答案为：∠APC=β−α；∠APC=α−β.3．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a+b−4)2=0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN(1)求a、b的值；(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD=20°，求∠(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【思路点拨】（1）根据a−3b+a+b−42=0，可得a−3b=0，且a+b−4=0，进而得出（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BCD=90°﹣∠BCA=90°−180°−2t=2t−90°=20°可得t的值，根据（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可．【解题过程】（1）∵a−3b+又∵a﹣∴a=3，（2）设A灯转动时间为t秒，如图，作CE//PQ，而∴PQ//∴∠ACE=∠CAN=180°−3t°，∠BCE=∠CBD=t°，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°−3t=180°−2t，∵∠ACD=90°，∴∠BCD=90°﹣∴t=55°，∵∠CAN=180°−3t，∴∠BAC=45°−180°−3t（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．依题意得0<t<150①当0<t<60时，3t=30+t解得t=15；②当60<t<120时，3t−3×60+30+t解得t=82.5；③当120<t<150时，3t−360=t+30，解得t=195>150(不合题意)综上所述，当t=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．4．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P=90°，(1)填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“>”“<”或“=”）；(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【思路点拨】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【解题过程】（1）解：过P点作PQ∥∴∠PNB=∠NPQ，∵AB∥∴PQ∥∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN，故答案为：=（2）①∵ON∥EF，PM∥EF，∴PO∥∴∠ONM=∠NMP，∵∠PMN=60°，∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵AB∥∴∠NOM=∠ANO=60°，∴α=∠NOM=60°；②点N在G的右侧时，如图②，∵PM∥EF，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥∴∠ANM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=12∠ANM=30°+12∵AB∥∴∠MON=∠ANO=30°+12α点N在G的左侧时，如图，∵PM∥EF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°−(60°+α)]=60°−12∴∠MON=60°−12α综上所述，∠MON的度数为30°+12α或60°−125．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末）已知：如图，直线a∥b，AC⊥BC于点C，连接AB且分别交直线a、b于点E、F．（1）如图①，若∠DEF和∠EFG的角平分线EM、FM交于点M，请求∠M的度数；（2）如图②，若∠EDC的角平分线DM分别和直线b及∠FGC的角平分线GQ的反向延长线交于点N和点M，试说明：∠1+∠2=135°；(3)如图③，点M为直线a上一点，连结MF，∠MFE的角平分线FN交直线a于点N，过点N作NQ⊥NF交∠HFM的角平分线FQ于点Q，若∠DEA记为β，请直接用含β的代数式来表示∠MNQ+∠HFQ．【思路点拨】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得∠DEF+∠GFE=180°，∠DEM=12∠DEF；∠GFM=12∠GFE，即∠DEM+∠GFM=12∠DEF+∠GFE=90°，过点M作直线l∥a交（2）过点C作直线l∥a，由平行线的性质可得∠FGC+∠4=180°,∠EDC+∠5=180°，由题意得∠4+∠5=90°，可得∠FGC+∠FGC=270°，由角平分线的定义可得∠6+∠7=12(∠FGC+∠FGC)=135°，由a∥b得∠6=∠3=∠2，由对顶角相等可得∠7=∠1（3）由题意可知∠MEF=∠DEA=β，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠HFE=180°−β，∠EFN=∠MFN=12∠MFE=x，∠HFQ=∠MFQ=12∠HFM=y，，进而可得x+y=180°−β2，由a∥b，NQ⊥NF∠HFN+∠MNF=180°，【解题过程】（1）∵a∥b，∴∠DEF+∠GFE=180°．∵EM、FM分别平分∠DEF和∠GFE，∴∠DEM=12∠DEF∴∠DEM+∠GFM=1过点M作直线l∥a交AB于点H，∵a∥b，∴l∥b，∴∠HME=∠DEM,∠HMF=∠GFM，∴∠EMF=∠HME+∠HMF=∠DEM+∠GFM=90°．（2）过点C作直线l∥a，∵a∥b，∴l∥b，∴∠FGC+∠4=180°,∠EDC+∠5=180°.又∵∠4+∠5=90°∴∠FGC+∠FGC=270°又∵GQ、DM分别平分∠FGC和∠EDC，∴∠6+∠7=∵a∥b，∴∠6=∠3=∠2又∵∠7=∠1∴∠1+∠2=135°．（3）∠MNQ+∠HFQ=β理由如下：由题意可知∠MEF=∠DEA=β，∵a∥b，∴∠MEF+∠HBE=180°，即∠HFE=180°−β，∵FN平分∠MFE，FQ平分∠HFM，∴∠EFN=∠MFN=12∠MFE=x∴∠HFE=180°−β=2∠EFN+∠MFQ=2x+y∵a∥b，NQ⊥NF∴∠HFN+∠MNF=180°，∠QNF=90°，则∠MNQ+∠QNF+∠MFN+∠MFQ+∠HFQ=180°，∴∠MNQ=90°−x−y−y=90°−x−2y，∴∠MNQ+∠HFQ=90°−x−2y+y=90°−x−y=90°−180°−β6．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．（1）导入：如图①，已知AB∥CD∥EF，如果∠A=26°，∠C=34°，那么∠AEC=（1）发现：如图②，已知AB∥CD，请判断∠AEC与∠A，（3）运用：(i)如图③，已知AB∥CD，∠AEC=88°，点M、N分别在AB、CD上，MN∥AE，如果∠C=28°，那么∠MND=(ii)如图④，已知AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，ME、NE分别平分∠AMF和∠CNF．如果∠E=116°，那么∠F=(iii)如图⑤，已知AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，MF、NG分别平分∠BME和∠CNE，且EG∥MF．如果∠MEN=α，那么【思路点拨】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠AEF,∠C=∠FEC，进而根据∠AEC=∠AEF+∠CEF，即可求解；（2）过点E作EF∥（3）（i）由（2）可得∠AEC=∠A+∠C=88°，∠C=28°，得出∠A=60°，根据∠MND=180°−∠BMN，即可求解；（ii）由“猪蹄模型”，可得∠E=∠AME+∠CNE=116°，∠F=∠BMF+∠DNF，根据角平分线的性质得出∠AME=12∠AMF,∠CNE=（iii）如图所示，延长GE交AB于点H，设∠ENG=β，∠HME−θ，根据平行线的性质得出∠MHE=∠BMF=180−θ2=90°