计算物理基础课件

计算物理基础ComputationalPhysics34学时:24学时课堂，10学时上机每隔两周，上机一次，30人/组6/6/20231计算物理基础计算物理是以电子计算机为工具、采用数学方法解决物理问题的应用科学。本课程的目的在于对计算物理进行一些入门指导，使大家在学完本课程后，在组织一些较大规模的计算时心中有数，少走弯路。课程目的6/6/20232计算物理基础掌握计算物理的概念和方法；掌握几类计算方法的基础或基本原理；了解这些方法在若干物理学分支中的具体应用。计算物理的实践性非常强，上机是本课程的一个有机组成部分本课程需具备高等数学和线性代数基本知识课程要求6/6/20233计算物理基础主要参考书马红孺，计算物理讲义

马东升等，数值计算方法，机械工业出版社马文淦，计算物理学，科学出版社汤文辉，计算物理讲义国防科技大学6/6/20234计算物理基础第一章绪论(2课时)第二章数值积分微分方法(6课时)第三章非线性方程的数值解法(6课时)第四章常微分方程的数值解法(4课时)第五章插值法(4课时)第六章线性方程组的数值解法(4课时)第七章蒙特卡罗方法(4课时)第八章有限元方法目录6/6/20235计算物理基础1.1、什么是计算物理？1.2、计算物理的起源、形成与发展1.3、计算物理的进一步发展从计算物理到科学计算、战略计算1.4、计算物理的特征1.5、计算物理的工作流程1.6、计算物理的研究方法第一章绪论6/6/20236计算物理基础1.1什么是计算物理？物理学有几大门类？传统物理学分为理论物理与试验物理两大分支理论物理实验物理计算物理？？？6/6/20237计算物理基础理论物理是分析的科学，它从一系列的基本原理和基本假设出发，列出相应的数学方程，运用传统的或现在的数学方法求出问题的显式解析解，用这些解析解的结论去解释物理现象，预见新的现象，指导实验。1.1什么是计算物理？6/6/20238计算物理基础实验物理是从实验观测出发，发现新的物理现象，为理论物理提供总结新的物理规律的素材，检验理论物理的假设或理论物理预言的正确程度和适用范围等1.1什么是计算物理？6/6/20239计算物理基础计算物理是伴随着电子计算机的出现和发展而逐步形成的一门新兴的边缘学科。是以电子计算机为工具、采用数学方法解决物理问题的应用科学。是物理、数学和计算机三者相结合的产物。1.1什么是计算物理？6/6/202310计算物理基础计算物理中的“计算”，不是上物理课做习题时进行的那种简单计算；不是用古典的数学物理方法来完成的计算；而是运用计算机对复杂的物理问题所进行的数值计算或模拟实验（模拟物理过程，研究物理规律，检验理论预测的正确性，核实实验数据的可靠性等等），从而探索和发现新的物理规律。1.1什么是计算物理？6/6/202311计算物理基础

现在流行的数学工具软件，如Maple，Matlab，Mathematica，已将绝大多数数值计算方法设计成简单的函数，经简单的调用就可得出结果。但由于实际问题具体特性的复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择和设计适合于自己所要解决的特定问题的算法，因而掌握数值计算方法的思想和内容是必须的1.1什么是计算物理？6/6/202312计算物理基础1.2计算物理的起源、形成与发展传统的物理学：理论物理，实验物理，都离不开数值计算，如海王星的发现及其轨道计算就是一个典型例子。但早期的计算仅使用人力或简单的计算工具，其功能和效率都极其有限。这种计算不能成为一个学科分支。6/6/202313计算物理基础牛顿力学方程只有二体问题是可解得，三体以上的问题折磨了全世界许多优秀的数学家和理论物理学家，仍然没有解析解。量子力学的薛定谔方程，除了氢原子和简谐振子外没有一个真实的物理问题可以找到解析解。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202314计算物理基础20世纪40年代初，在由于战争的需要开始了核武器研制。涉及的问题：流体动力学过程、核反应过程、中子输运过程、光辐射输运过程、物态变化过程等；都是十分复杂的非线性方程组，不可能用传统的解析方法求解。由于需要在短时间内进行大量复杂的数值计算，从而促使了计算机的延生和新物理学科的形成。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202315计算物理基础1944年，世界上第一台“自动序列受控计算机MarkI制成，主要部件是继电器，速度仅每秒3次加法。在美国原子弹研制中起了重要作用。1946年初，世界上第一台电子管计算机ENLAC投入运行，速度为每秒5000次加法。电子计算机的出现，为计算物理奠定了物质基础。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202316计算物理基础费米（Fermi1901－1954）：美籍意大利物理学家，对统计物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、中子物理都有重要贡献。由于中子核反应的发现，1938年获得诺贝尔物理学奖。费米是20世纪上半叶国际上最有才华的科学家之一，在第二次世界大战期间，他领导建设了第一个实现原子核链锁裂变的反应堆。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202317计算物理基础战后费米对计算机发生兴趣，经常去访问LosAlamos，这个地方一直拥有世界上最强大的计算能力。他和乌勒姆(S.Ulerm)，巴斯塔(J.Pasta)等人讨论计算机的未来应用。他首先想到的是研究非线性系统长时间行为和大尺度性质（这是用解析方法无法处理的问题），并于1952年夏天设计了一个计算机实验，一年后，在当时用来进行氢弹设计的MANIAC计算机上实现。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202318计算物理基础1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作，于1955年5月写出LosAlamos研究报告LA-1940。这篇秘密报告历经多年、解密后被正式收入《费米全集》。这篇具有重大意义的报告，被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的重大发展。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202319计算物理基础从此，物理问题的计算与计算机相互促进，开始蓬勃发展。1950年，全世界还只有15台计算机，到1962年9月，仅美国就有了16817台。现在的计算机不计其数！1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202320计算物理基础科学家们从原子弹设计中使用计算机求解复杂物理问题取得成功而得到启示，迅速将这种方法推广应用到物理学的其他领域：天体物理、大气物理、等离子体物理、核物理、原子分子物理、固体物理、统计物理和基本粒子物理等，而且还应用到气象预报、水利、海洋、地震、石油、化工甚至人体科学等各个科学技术领域。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202321计算物理基础1963年，美国的Beini，Alder等人开始编辑出版《计算物理方法》丛书，内容涉及统计物理、量子力学、流体力学、核物理、天体物理、固体物理、等离子体物理、地球物理和大气环流等。1966年，JournalofComputationalPhysics在美国创刊；1969年，ComputerPhysicsCommunication在西欧创刊。1977年，美国和西欧的学者开始编辑出版《计算物理施普林格系列丛书》，到1988年已出17本；1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202322计算物理基础1965年，Harlow和Fromm在《ScientificAmerican》杂志发表“流体力学的计算机实验”一文。几乎同时，Macagno在法国《LaHaulilleBlanche》杂志上发表“水力学模拟的某些新方面”的论文。第一次提出了计算机实验和数值模拟的概念。与此同时，为计算物理服务的许多程序库和数据库也相继建立。这些工作迅速地推进了计算物理的普及和发展。1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202323计算物理基础这些新概念的提出、新物理现象的发现，说明计算物理的目的不仅是计算出结果，还在于理解、预言和发现新的物理现象，寻求物理规律。在这一点上，它与传统的实验物理和理论物理没有什么不同，差别只在于工具和方法。结论：计算物理这一新的学科起源于20世纪40年代，形成于60年代。

1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202324计算物理基础中国的计算物理始于20世纪50年代末，开始主要用于核物理领域和核武器的研制工作，然后扩展到其它领域。1982年8月成立中国计算物理学会，已建立了7个专业委员会和6个地方分会。1984年，中国《计算物理》杂志创刊。1989年，开始出版《计算物理丛书》。1991年，开始出版《科学与工程计算丛书》1.2计算物理的起源、形成与发展6/6/202325计算物理基础1983年，在美国国防部、能源部、国家科学基金会和国家航天局主持下，以美国著名数学家拉克斯为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出报告，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事”。科学计算1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202326计算物理基础1984年，美国政府大幅度增加对科学计算经费的支持，国家科学基金会成立了“先进科学计算办公室”，制订全面高级科学计算发展规划，新建成五个国家级高级计算中心。1987年起，国家科学基金会把“科学与工程计算”、“生物工程”、“全局性的科学”作为三大优先重点支持领域。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202327计算物理基础1990年，美国国家研究委员会发表“振兴美国数学：90年代的计划”的报告，建议对由计算引发的数学给予特殊的鼓励和资助。报告指出，大存储量、高速计算机的使用已导致了科学与技术方面的两大突出进展1.大量用于设计工作的实验被数学模型逐步取代，如航天飞机设计、反应堆设计、人工心瓣膜设计等2.能获取和存储空前大量的数据，并能提取出隐含的信息，如计算机层析X射线摄影，核磁共振等。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202328计算物理基础1991年，以美国总统的名义提出“高性能计算与通信计划”。投资重点(43%)是发展先进的软件技术与并行算法，关键技术是可扩展的大规模并行计算。1993年美国总统发布“发展信息高速公路”的总统令1994年美国总统发布“建立国家（地球）空间数据基础设施”的总统令。所有这些计划，都是为大规模科学计算创造条件，促使科学计算高速发展。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202329计算物理基础战略计算1995年，美国为了确保核库存的性能、安全性、可靠性和更新需要，开始实施“加速战略计算创新计划”，通过逼真的建模和模拟计算来取代传统的反复试验的工程处理方法，这主要依赖于先进的数值计算和模拟能力，应用程序必须达到高分辨、三维、全物理和全系统的水平。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202330计算物理基础为确保战略计算目标的实现，采取五项策略措施在三个防务计划实验室基础上成立“战略计划和模拟办公室”，由国家统一指挥。致力于开发高级应用软件致力于发展高性能计算机建立解决问题的环境促进战略联合与协作1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202331计算物理基础美国为实施“战略计算创新计划”实施日程表：1995年8月22日能源部采购一台世界上最快的计算机（运算速度超过万亿次）交付Sendia实验室1995年10月20日，建成三个防务实验室之间第一个高速数据网络。1996年2月20日，能源部公开招标，采购两台运算速度达3万亿次的计算机交给LosAlamos和Livermore，并竞争下一代系统：10万亿次。结果，2004年实现了100万亿次计算机。

1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202332计算物理基础1997年，总统提出1.216亿美元预算实施战略计算。1997年8月，战略计算创新计划的学术战略合作计划（ASAP），通过招标和签订合同方式，建立五家合作中心：斯坦福大学的湍流综合模拟中心，加州理工学院的模拟材料动态特性的计算中心，芝加哥大学的天体物理、热核反应瞬间闪光研究中心，犹他大学的意外火灾与爆炸模拟中心和伊利诺斯州州立大学的助推火箭模拟中心。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202333计算物理基础1998年美国副总统戈尔在加利福尼亚科学中心发表了题为“数字地球─21世纪认识地球的方式”的演讲，指出，“在发明计算机之前，用实验和理论的方法来研究都很受限制。许多实验科学家想研究的现象都很难观察到，它们不是太小就是太大，不是太快就是太慢，有的一秒钟之内就发生了十亿次，而有的十亿多年才发生一次。另一方面纯理论又不能预报复杂的自然现象所产生的结果，如雷雨或飞机上空的气流”1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202334计算物理基础“有了高速计算机这个新工具，我们就可能模拟以前不可能观察到的现象，同时能更准确地理解观察到的数据。这样，计算科学使我们能超越实验与理论科学的局限，建模与模拟给了我们一个深入理解正在收集的有关地球的各种数据的新天地”。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202335计算物理基础1999年初，美国总统信息技术顾问委员会提出一项题为“21世纪的信息技术：对美国未来的大胆投资”的报告。重点投资的三个领域是(1)长期信息技术研究；(2)用于科学、工程和国家的高级计算；(3)信息革命的经济和社会意义研究。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202336计算物理基础该报告设想，通过努力在超级计算机、数学模拟、网络等方面取得突破性进展，从而开创一个迈向自然世界的窗口，使得计算作为科学发现的一种工具，与实验和理论有同等的价值。由此可见“计算”的重要性以及美国对计算的重视程度。我们也应该注意到，这些富有挑战、功能强大的“计算工作”是在计算物理的基础上逐步发展、演变而来的。1.3计算物理的进一步发展——从计算物理到科学计算、战略计算6/6/202337计算物理基础1.4计算物理的特征计算物理的研究内容（计算机实验）

凡是局部瞬时的物理规律已知或被假设，要想求得大范围长时间的物理现象的发展过程，便属于计算物理学的范围。从局部关系到大范围依赖于计算机的大容量由瞬时规律发展为长时间的过程依赖于计算机的高速度。6/6/202338计算物理基础计算物理相对于理论物理的优越性理论物理中利用数学方程组求解物理问题时，通常将问题大加简化，这些简化包括：复杂问题只考虑少数主要因素：质点，黑体近似等动态过程只考虑最后达到的静态状况：热平衡等将非线性因素硬作线性化处理将变系数硬作常系数处理将复杂的边界简化为规则的边界等等1.4计算物理的特征6/6/202339计算物理基础将问题简化到能够求出显式解析解，需要对事物的本质有很深的理解和相当高超的推导技巧。简化过程中也可能抛弃一些本质特征。计算物理利用计算机能恢复对客观事物本质的描述和模拟：如可以多考虑一些因素，可以模拟动态过程，可以保持非线性特性，可以保留变系数特点，可以考虑较复杂的边界条件等。1.4计算物理的特征6/6/202340计算物理基础这些优点使计算物理即可对物理过程进行仿真，发现物理现象，提供新的信息，又可对物理问题进行数值分析，为理论物理提供反映物理规律的数据。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理，同时又是用计算机武装起来的理论物理。1.4计算物理的特征6/6/202341计算物理基础计算物理相对于实验物理的优越性第一，计算机实验比物理实验省钱省时例如大型风洞，设备投资巨大，建设周期长，使用时耗电多，所以目前在飞机、导弹等设计方面大都先采用计算选型，然后再选几个模型进行吹风试验，最后定型，这比早先单纯靠风洞吹风的办法要经济、有效得多。再如加速器实验，每小时耗电3万元。新元素的合成，几个月发生一个事件。1.4计算物理的特征6/6/202342计算物理基础第二，计算机实验比物理实验有更大的自由度和灵活性，也很安全，它不存在物理实验中的测量误差和系统误差，没有测试探头的干扰问题，还可以较自由地选取参数。如地下核试验问题，由于不确定性因素太多，有些测量的误差是很难进行分析的。如电子双缝衍射实验，看到电子的运动轨迹，就无衍射条纹1.4计算物理的特征6/6/202343计算物理基础第三，在物理实验很困难甚至不能进行的场合，仍可进行计算机实验如测量中子星的密度，测量星体内部的温度分布、天体演化，理想情况实验等。1.4计算物理的特征6/6/202344计算物理基础计算物理的局限性：第一，计算物理主要用来求解物理理论的数学方程，得出实际问题所需要的数值结果，对物理定律的建立和物理理论的构成可起到帮助探索的作用。但归根结底仍取决于研究人员的实际知识水平和抽象思维的概括能力。数学方程要靠理论物理提供，计算结果的正确与否，既要由实践来检验，也要用理论物理的定律来作分析判断。1.4计算物理的特征6/6/202345计算物理基础第二，计算物理的数值方法虽然比理论物理和解析方法适应性强，应用面广，更能满足实际需要，但计算所用到的基本方程在各种具体问题中都有不同程度的简化和近似。1.4计算物理的特征6/6/202346计算物理基础第三，计算数学的现有理论，如微分方程数值解的收敛性、稳定性理论，还远不能满足各种复杂实际问题的需要，在求解实际问题时往往缺乏严格的稳定性分析、误差估计和收敛性证明，甚至连解的存在和唯一性问题都可能没有严格的论证。因此，数值模拟可能成功也可能失败，即使成功了，得到了较为合理的结果，仍必须由实验来验证。1.4计算物理的特征6/6/202347计算物理基础计算物理提出计算预测给出模拟结果提供计算数据提供模拟结果检验计算预测提供方程实验物理提供实验数据解释结果理论物理检验理论预测提供实验数据提出理论预测给出理论解释计算物理与传统物理的联系1.4计算物理的特征6/6/202348计算物理基础计算物理方法区别于计算数学方法的特点：1）计算物理从物理问题出发，以物理结论为结果，以与实验数据的对比为其结束；而计算数学则是从数学方程出发，以求得方程的近似解告终。计算物理工作者选用计算方法时要考虑算法和结果的物理意义；而计算数学工作者最感兴趣的是算法的逼近阶，计算精度和稳定性等问题。1.4计算物理的特征6/6/202349计算物理基础例如：在常微分方程数值解法中，欧拉折线法是原始的低阶方法，龙格库塔法则是高阶（四阶）的精确方法。从计算数学的角度看，后者好；但从计算物理的角度看，实际问题中的未知函数并不总存在高阶导数，利用高阶方法计算往往得不出正确结果，更不用说精确了。而欧拉法却有明显的物理意义，便于分析和寻求规律性，因此常常宁可用低阶的欧拉法，或者在低阶方法取得一定的规律性后再用高阶方法作对比计算或大规模计算。1.4计算物理的特征6/6/202350计算物理基础2）计算物理的任务是寻求物理规律，解决物理问题，因而可以不拘泥于数学方法。物理问题归结为微分方程时，实际上是由原始的差分关系取极限得来的，原始差分关系中的每一项都有物理意义。从计算物理角度看，未必一定要把它变成微分方程，再人为地离散化为差分方程，它可以直接由原始差分关系编程上机计算。再比如，有些物理问题用蒙特卡罗方法求解的话，那更是直接对物理问题进行模拟。1.4计算物理的特征6/6/202351计算物理基础3）计算物理特别重视物理问题的边界处理，因为边界条件是由实际物理问题得出的，对求解往往具有决定性的作用，它的处理极大地影响数值解的精确度，甚至影响数值计算的稳定性。在计算数学中，由于边界条件已被抽象成数学表达式，不考虑实际的物理意义，因而常常不重视边界处理，而着重研究内点差分格式。1.4计算物理的特征6/6/202352计算物理基础4）计算物理方法受物理问题本身的启示，常可利用对物理现象的直观概念，创造新的计算方法。如流体动力学的“人为粘性法”就是一个典型例子。5）在分析整理大量计算数据的基础上，计算物理工作者还常常关心构造近似解析解，以利于科学家和工程师应用，并且这也是寻求和反映物理规律的一种方法。1.4计算物理的特征6/6/202353计算物理基础计算物理的推广应用:计算物理是计算机在自然科学的应用中发展较早的学科之一，其研究对象是物理科学。但计算物理中一些已经成熟的知识、研究方法的特点和成果都可以移植到其它自然科学和社会科学研究领域中去。所以计算物理的发展将对其它领域的计算机应用研究起重大的推动作用。如量子分子动力学模型的计算思想可应用于城市交通中的交通阻塞的计算。1.4计算物理的特征6/6/202354计算物理基础计算物理与工程计算有关的科学一样，遵循一条普遍共同的规律，其求解过程有四个环节－冯康物理机理：如各种物理量的守恒规律、运动规律等，也包括具体的条件，如参数、几何形状和其它原始资料。数学提法：通常表示为连续形式的微分(积分)方程和相应的定解条件。离散模型：通常表示为离散形式的代数方程，如差分方程。算法程序：即离散方程求解的算术步骤。1.5计算物理的工作流程6/6/202355计算物理基础这四个环节再加上“上机计算”和“结果分析”就构成了计算物理的整个工作流程，其流程图如下由此可见，计算物理的发展需要不同性质的科学工作者的大力协同，共同努力。物理机理数学提法离散模型算法程序结果分析上机计算1.5计算物理的工作流程6/6/202356计算物理基础1.物理问题阶段由于人们对自然规律认识的局限性，加上外界条件的多变性，物理学家在形成物理模型时，只能抓住其主要矛盾和矛值的主要方面，必然要进行各种近似。计算物理工作者应对所建立或所采用的物理模型做到心中有数，至少对数量变化范围有粗估结果。1.5计算物理的工作流程6/6/202357计算物理基础2.数学模型阶段有时宁可保留守恒型的微分（积分）方程，不必进一步简化，以利于离散化后能保持守恒的性质。为了便于探索各种物理机理，边界条件应尽可能考虑到各种可能性，不致于发生为计算不同的模型而经常修改程序－大型程序修改非常复杂1.5计算物理的工作流程6/6/202358计算物理基础3.离散模型阶段要注意根据不同的实际问题选择不同的计算方法。总的原则是：较弱的稳定性限制、较高的精度、便于编写程序、较高的计算效率，不要片面追求逼近阶太高，以致逻辑复杂。但是，如果逻辑太简单，可能稳定性要求太严，以致机器计算机时间太多。计算格式的选取应以物理机理为背景，以能否正确反映微分方程所描述的物理现象为依据。

1.5计算物理的工作流程6/6/202359计算物理基础4.算法程序阶段实际包括逻辑设计和程序编制两大部分，是一件十分细致和繁琐的工作。应考虑到程序的易读性和通用性，采用“结构化”的方法编制程序，以利于大型程序的编写和未来发展。科学计算程序大多采用FORTRAN语言编制。1.5计算物理的工作流程6/6/202360计算物理基础(5)上机计算阶段实际上应包括程序调试和正式计算两步。程序调试过程中要和已有的数据进行对比。(6)结果分析阶段首先要对计算结果的合理性和可信性作出判断，其次要对结果作出物理解释，需要旁敲侧击，斟酌再三。1.5计算物理的工作流程6/6/202361计算物理基础综上所述，计算物理研究的全过程，应该包括提出和分析问题、建立物理模型和数学模型、选择计算方法、误差估计、收敛性和稳定性论证、编写和调试程序、上机计算、计算出结果，对结果进行评价等一系列环节。最后强调，由于实际问题的复杂性，计算物理的全过程是一个循环往复、渐趋正确的过程。计算物理工作者既要有严谨、清晰的分析方法，又要有耐心细致的工作作风。1.5计算物理的工作流程6/6/202362计算物理基础自然界千变万化，近代科学技术问题十分复杂，任何一种科学研究都不可能、也不必要包罗万象地去考虑一切因素的影响，而总是抓住一些主要因素，忽略多种次要因素，去研究问题的实质。科学研究总是在这样那样的假设条件下进行的。1.6计算物理的研究方法1.6.1物理模型和数学模型的建立6/6/202363计算物理基础对复杂的物理现象进行分析，概括和抽象，提出反映现象本质的一些因素，形成物理模型，这是计算物理的首要任务，只有在物理模型的基础上，才能建立数学方程，进行求解。建立物理模型是计算物理的首要任务！物理模型的建立，概括地说有两大类基本模型：离散模型；连续模型。1.6计算物理的研究方法6/6/202364计算物理基础离散体模型离散模型把物体看作是由大量具有确定物理性质(如质量、电荷等)，彼此又相互作用而聚集在一起的几何点(质点)的集合组成。最突出的例子是原子模型，其基本定律由量子力学描述；但是在许多问题中，牛顿力学仍然适用。1.6计算物理的研究方法6/6/202365计算物理基础设有N个质点（例如核子），在远程力（核力）作用下的运动，这是一个N体问题，当N≥3时没有解析解，其困难在于对每一个质点，所有其它的质点对它都有作用。N个质点共有(N－1)个相互作用，即使用每秒上亿次的计算机，要计算象银河系（约有1019颗星星）的问题，仍然是不可能的，所以，这种模型还得继续简化。

1.6计算物理的研究方法6/6/202366计算物理基础连续模型是用场的概念去描述物体的几何点，不必去区分构成该物体的各粒子间的差异。用场来确定任一质点受到其它外来因素对它作用的总和，而不在具体区分是哪个质点对它的作用。如对原子核反应的描述。平均场：H=T+V运动方程：p'=-∂H/∂r;r'=-∂H/∂p1.6计算物理的研究方法连续模型6/6/202367计算物理基础大多数物理过程是个复杂的过程，这给求解带来很大困难，实际数值计算时，不得不再作这样或那样的近似处理。所以计算物理的主要方法之一就是在简化物理模型的基础上，对各式各样的微分方程（或微分积分方程等）进行数值求解。1.6计算物理的研究方法6/6/202368计算物理基础下面列举两个国防科学技术的例子，具体说明物理模型的建立。例1：假设一颗核弹在空中爆炸，求离爆点某一距离上的地下掩蔽室的破坏情况。这是防御核战争的重要问题。许多人对地下工事是否安全心中无数，但只要我们掌握计算物理的基本方法，进行实际计算，就不难对此问题作出回答。1.6计算物理的研究方法6/6/202369计算物理基础已知核武器杀伤破坏分为：冲击波、光辐射、贯穿辐射、放射性沾染。对于地下掩蔽室来说，主要是冲击波。如果我们能求得爆炸冲击波沿地面的传播规律，并结合设计掩蔽室的抗压强度等进行综合考虑，即可知道它是否安全。第一，核弹本身的重量和体积与它所释放的巨大能量和作用距离相比，可以忽略不计。因此可以把核爆炸看作是从一个点源上瞬时爆发的－点爆炸。1.6计算物理的研究方法6/6/202370计算物理基础第二，核爆炸所产生的冲击波是通过大气传播的。在真实大气中，有气温、气压、密度、温度、风云等多方面因素的影响，我们可先对这些因素一概不予考虑，把大气看作是均匀的理想气体，用理想气体的物态方程描述其性质。这样构成的模型，称之为“理想点爆”模型。在这种模型下，爆炸冲击波的传播规律可用一维球对称流体动力学方程组和理想气体物态方程求解。1.6计算物理的研究方法6/6/202371计算物理基础这只是研究核爆炸冲击波的最简单的物理模型，核爆炸是个极端复杂的物理过程，“理想点爆”模型只是个粗糙的简化近似，但是核试验的实践证明，即使是这种最简单的模型，计算所得的结果，经适当修正，也能相当好地与实测结果一致。1.6计算物理的研究方法6/6/202372计算物理基础例2：假设敌方发来一枚导弹，我们能否在100km以上的高空爆炸一颗百万吨级的氢弹将它拦截烧毁，这就是反导问题。下面简要分析这个问题的物理模型。已知百万吨级的氢弹在高空爆炸时产生的X射线占总当量的60-70%，由于高空大气稀薄，X射线的平均自由程可达数十到数百公里，而且软X射线极易被物质吸收。1.6计算物理的研究方法6/6/202373计算物理基础当X射线到达壳体表面时，能量大量沉积，温度可高达上万度，压力高达数十万大气压，可把表面熔化成流体，同时在壳体中形成热击波，向壳体内部传播。随着压力和温度的下降，材料呈现弹塑性特点。当热击波到达自由表面时，反射稀疏波，产生拉力。拉力足够大，可使材料断裂。按这种设想构成模型，称为“流体—弹塑性”模型。1.6计算物理的研究方法6/6/202374计算物理基础

数学模型的建立建立物理模型之后，可根据基本原理（如三大守恒定律）列出基本的数学方程组，并结合实际情况给出定解条件（初值和边值）。基本方程组和定解条件一起构成了一个物理问题的数学模型1.6计算物理的研究方法6/6/202375计算物理基础

数学模型应有以下特点把每个求解的数学问题用计算机所能处理的四则运算和有限形式的公式表示出来每个数值方法要保证收敛性，还要保持稳定性数值方法有良好的计算复杂性：即运算次数要少，所需存储量要小1.6计算物理的研究方法6/6/202376计算物理基础对一个问题，如果1.对输入数据的每个容许集，这个问题有一个解(解的存在性);而且至多有一个解(解的唯一性)2.输入数据一个充分小的扰动，引起解的一个微小改变(对数据的连续依赖性)则我们说这个问题是适定的。对于适定问题，一个合理的算法将产生好的答案。对于不适定问题，可能对任何一个算法都不会产生好的答案

1.6计算物理的研究方法6/6/202377计算物理基础1.6.2计算方法的选取建立了数学模型以后，采用什么方法来求解，这是计算数学的主要内容，也是计算物理的基础。尽管电子计算机功能很强，速度很快，但如果计算方法选取不当，也会算不出结果，或者算出完全错误的结果；即使能算出近似的结果，也还有精度高低，计算工作量大小之差别。所以，选取好的计算方法是至关重要的。下面举例进行说明。1.6计算物理的研究方法6/6/202378计算物理基础

例1：求线性代数方程组的求解计算物理中的许多问题常常最终归结为线性代数方程组的求解问题。考察如下方程组：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn其中aij，bi（i,j=1,2,…,n）为常数。1.6计算物理的研究方法6/6/202379计算物理基础由线性代数知识，只要系数行列式满足下式，方程组有唯一解：xj=Dj/D。D=≠01.6计算物理的研究方法Dj是将D中第j列用右端b代替所构成的行列式。这是著名的克莱姆法则，但如果按行列式展开的方法进行计算，将会是什么结果呢？6/6/202380计算物理基础

n阶行列式展开时含有n!项，每一项含n个因子，计算一个n阶行列式需要做(n-1)n!次乘法。这里需要计算n+1个行列式，需要的乘法次数为N=(n-1)(n+1).n!=(n2-1).n!当n=20时，N≈1021。若采用每秒亿次的巨型电子计算机，要连续工作几百万年才能完成计算！这个理论尽管完美，但在实际计算中却毫无价值。1.6计算物理的研究方法6/6/202381计算物理基础当然一个简单的线性方程组也不可能让你用费用昂贵的巨型机来计算，这里数值方法表现出它巨大的威力：如果用数值方法（如高斯消去法）进行计算，小小的20阶线性方程组，在小型机上只需几秒钟即可完成求解。从这个例子可以看出，采用不同的计算方法，计算工作量相差很大，所以计算方法的选择很重要。1.6计算物理的研究方法6/6/202382计算物理基础例2：利用递推法求解积分[1.1]容易求得：1.6计算物理的研究方法6/6/202383计算物理基础于是可建立下列递推关系式：(1)

按公式（1）算得的结果如表1。现在要问，计算结果可靠吗？由定积分的基本概念，所求积分具有特性：In

>0；In＜In-1

1.6计算物理的研究方法6/6/202384计算物理基础但是，从表1可看出，I6＜0，往后的In值，正负号交替出现，其绝对值不断递增，从而理论分析与计算结果严重不符。下面改用另一种计算方案：1.6计算物理的研究方法In>0；In＜In-1由公式(1)6/6/202385计算物理基础作为一种近似，可取然后按下列递推关系进行递推按这个递推关系得到的结果也一并列在表1中(2)1.6计算物理的研究方法6/6/202386计算物理基础n公式(1)In公式(2)In00.0099503310.0099503310.0049669150.0049669150.0033085000.0033085370.0024833330.0024801240.0016666670.0019876100.0333333330.001654277-3.1666633330.001416182316.80919040.001238988-31680.794040.0011012023168079.5150.000990954-316807451.40.000904590返回6/6/202387计算物理基础计算发现，按(2)式算出的I0与ln101－ln100的值一样。这说明，采用公式（1）递推，虽然采用了八位有效数字，但越往后，越不可靠。而公式（2），尽管取了近似值I10，但按逆序递推，却能反映In的基本特性，且最后得出的I0很准确。这个例子表明，采用不同的算法，结果可能是大不一样的，而正确的结果只有一个，是不依赖于算法的，因此再次说明算法的重要性。1.6计算物理的研究方法6/6/202388计算物理基础例3：已知方程9x2=sinx+1在x=0.4附近有根，试用迭代法求出此根。[1.2]迭代法是计算数学的重要方法，它除了可用作方程和方程组的求根外，还可用来解微分方程，它的基本思想是通过迭代公式形成近似解序列，去逼近方程的真解。1.6计算物理的研究方法6/6/202389计算物理基础对于这个求根问题，可通过下面迭代公式逐步求得要求的根。首先将原方程改写为然后改造出如下迭代关系式9x2=sinx+1(3)1.6计算物理的研究方法其解序列为x0＝.4,x1=.3929,x2=.391985,x3=.391865,x4=.391848,x5=.391847,x6=.3918476/6/202390计算物理基础如果按6位有效数字，方程的根就是x=.391847原方程也可变形为(4)因而可构造出迭代公式1.6计算物理的研究方法无论如何也得不到收敛的序列｛xn｝，所以迭代公式（4）是不可取的。6/6/202391计算物理基础这就产生一个问题，即怎样把给定的方程f(x)=0变形为x=j(x)，并使迭代公式收敛。这个问题留给后面再作研究。这个例子说明，虽然迭代法是计算数学的常用方法，但不同的迭代方法得到的结果可能是不一样的，计算量一般也会不一样。以上三个例子从不同角度说明，选择恰当的计算方法进行计算是非常重要的。1.6计算物理的研究方法6/6/202392计算物理基础对于具体的计算物理问题，除了算法的重要性，计算效率的问题也是至关重要的。一个物理的程序往往需要算上几天甚至一两个月的时间，所以如何提高效率成了计算物理急需解决的问题，除了采用效率高的算法，还需注意一些问题:如加法比乘法效率高，乘法比乘方和除法效率高[1.3]

2a－>a+a,a2－>a*a,a/4－>a*0.251.6计算物理的研究方法6/6/202393计算物理基础计算物理，往往给人们以不严格、不精确或不完美的误解。但无论是实验物理还是理论物理近似都非常普遍，误差也是不可避免的，根本不存在绝对的严格和精确。计算物理中的误差来自四个方面:模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。1.6.3计算物理中的误差1.6计算物理的研究方法6/6/202394计算物理基础（a）模型误差。将实际问题归结为数学问题时，总要忽略一些主观上认为是次要的因素，附加若干限制。例如点粒子近似。人们对客观事物的认识是逐步深入的，这样建立的“理想化”的数学模型，虽然具有“精确”而“完美”的外表，实质却只是客观现象的近似而粗糙的描述，这种近似描述就隐含着误差，这就是模型误差。如自由落体运动忽略了空气的阻力。1.6计算物理的研究方法6/6/202395计算物理基础（b）观测误差。在数学模型中，往往包含有若干参变量，如物体密度，物态方程与本构方程参数，热量交换系数等等。这些参量一般是通过实验观测确定的，因而不可避免会存在观测误差。如自由落体运动中的时间和重力加速度就是观测值。观测值的精度依赖于仪器和人的操作。1.6计算物理的研究方法6/6/202396计算物理基础（c）方法误差。在实际解题过程中，数学模型常常比较复杂，不能获得精确解。另外，有些运算只能用极限过程来定义，而计算机却只能进行有限次运算，这就造成计算结果与方程的实际解有差别。需要建立一套有效的计算方法（即数值方法）。模型的准确解和数值方法的准确解之差称为方法误差，或叫截断误差。1.6计算物理的研究方法6/6/202397计算物理基础例如：指数函数ex可展开成下列幂级数形式但在实际计算时，不可能计算无穷多项，只能截取有限项：用Sn(x)作为ex的近似值，其截断误差为1.6计算物理的研究方法6/6/202398计算物理基础（d）舍入误差。实际计算受计算机字长限制，只能按有限个有效数字进行(计算机中的实数都是近似的)，每步计算都可能有舍入，这种误差称为舍入误差。少量运算的舍入误差微不足道，但一般计算物理所要求解的问题都要进行千千万万次运算，舍入误差的积累可能是惊人的。如(1.0/3.0)*3.0<>1[1.4]1.6计算物理的研究方法6/6/202399计算物理基础减小运算误差的若干原则计算物理中出现的误差，有时会严重“泛滥”，完全“淹没”所要求的真值，所以对任何一项计算，都必须考虑精度，选取或设计好的计算方法。但并不是精度越高越好，精度高意味着运算时间长。对于具体的问题，运算次数数以千万。尽管每一步计算都可能发生误差，但要对每一步所产生的误差都去分析是不可能做到的，因此人们针对一些普遍性问题提出若干注意事项，以提高计算的可靠性。1.6计算物理的研究方法6/6/2023100计算物理基础（a）两个相近的近似数相减时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免。[1.5]例如，当x充分大时，计算下面表达式的值。设x＝1000，取4位有效数字：结果只有1位有效数字。1.6计算物理的研究方法6/6/2023101计算物理基础如果将表达式变形为可见计算公式写成不同的形式，对运算误差可能有很大影响。仍为4位有效数字1.6计算物理的研究方法6/6/2023102计算物理基础常见的公式变换：x1和x2接近时：lgx1-lgx2=lg(x1/x2)当x接近于0时:(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)当x充分大时：arctan(x+1)-arctanx=arctan[1/(1+x2+x)]1.6计算物理的研究方法6/6/2023103计算物理基础（b）避免数量级相差很大的数相加减。在数值计算时，要避免小的数字被大的数字“吃掉”。例如，要对A、B、C三个数进行加法运算，若A＝1015，B＝10，C≈－A。如果按(A+B)+C的次序进行计算，取八位有效数字，则A吃掉了B，结果近似为0；但如果按按(A+C)+B的次序进行计算，其结果会接近于10，从而保护了B。所以在编写程序时，要事先预计各变量的数量级，并对程序语句进行合理安排。1.6计算物理的研究方法6/6/2023104计算物理基础（c）绝对值太小的数不宜做除数。数值计算中，除数的绝对值远小于被除数的绝对值，将会使商的数量级增加，甚至造成‘溢出’错误；而且当除数稍有一点误差，就会对计算结果造成很大的误差。如3.1416/0.001＝3141.6，当分母有了0.0001的误差时，也就是变为0.0011则商变为3.1416/0.0011＝2856，商的误差已经变的非常巨大1.6计算物理的研究方法6/6/2023105计算物理基础如果直接运算需作n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算。将表达式改写为下式只需作n次乘法和n次加法。（d）注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。例如，计算多项式[1.6]1.6计算物理的研究方法一般来说，在一个物理问题中，通过计算方式的简化，既可以减少工作量，又可减小累计误差。6/6/2023106计算物理基础收敛性与稳定性是计算方法的理论问题。稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质。一个计算方法的好坏成败，除了与计算格式的简练紧凑有关外，最本质的核心问题就是收敛性与稳定性问题。（4）收敛性与稳定性1.6计算物理的研究方法6/6/2023107计算物理基础定积分有两个递推公式(1)(2)稳定性分析实例1.6计算物理的研究方法6/6/2023108计算物理基础从数学上看，它们的是等价的，但结果却完全不同，为什么？大家知道，计算机只能对有限位数进行算术运算，这里我们取八位数字进行运算。因在计算机中必然是个近似数，因而有误差，我们不妨把它当作初始误差。下面我们来分析这个初始误差的传播。

1.6计算物理的研究方法6/6/2023109计算物理基础按公式(1)，I0的误差传播到I1，I1的误差传播给I2，…，记Ii的计算近似值为准确的理论递推式两式相减有

实际运算的递推式1.6计算物理的研究方法6/6/2023110计算物理基础若与I0之间的误差为ε，这个误差将随递推而继续影响到后续各项，依此推得：这说明，每递推一次，误差值增大100倍，当有初始误差ε时，In的误差为(-1)n100ne。显然当n充分大时，计算结果必将将严失真。1.6计算物理的研究方法6/6/2023111计算物理基础对公式（2）进行同样的分析有准确的理论递推式：

实际运算的递推式：从而有1.6计算物理的研究方法可以看出误差的传播越来越小,计算的结果是可靠的。我们称(1)式是不稳定的，(2)式是稳定的。6/6/2023112计算物理基础收敛性分析实例求方程9x2=sinx+1在x=0.4附近的根。这个方程可用下面递代公式求根：n=0,1,…

(3)1.6计算物理的研究方法(4)把给定方程式f(x)=0变成迭代形式xn+1=j(xn)求解，如何才能使解序列{xn}收敛呢？

6/6/2023113计算物理基础设a是方程f(x)=0一个根，由微分中值定理：若在a的某一邻域内|j(x)|≤1，则由迭代公式所产生的解序列xn一定收敛于a；反之若在a附近，|j(x)|＞1，则解序列xn一定不收敛。对于方程（4），j(x)=arcsin(9x2-1)，在0.4附近，|j(x)|＞1，所以解序列不可能收敛。对于方程（3），j(x)=，|j(x)|≤1/6＜1，因而迭代结果收敛。1.6计算物理的研究方法6/6/2023114计算物理基础粗略说来，收敛性主要是研究方法误差问题，而稳定性则更关注舍入误差问题。在一定条件下，两者又可以是关联的、等价的。由于计算物理的复杂性，要弄清楚所采用的方法的收敛性和稳定性，往往相当困难。如果都要等解决了理论问题再去计算，计算物理这个工作就难以发展了。我们不能等待解决了收敛性、稳定性之后再去计算，而是要在计算机实验中进行解决。但另一方面，我们又必须对计算方法的收敛性、稳定性问题有所了解，以利于对计算结果进行分析。1.6计算物理的研究方法6/6/2023115计算物理基础计算结果正确与否，一般来说，与下列因素有关：物理模型和数学模型是否合适？计算方法是否正确？程序设计是否有误？机器运行是否正常？如果计算方法、程序、机器等正常，问题可能发生在物理模型和数学模型上。由于实际物理问题十分复杂，能否抓住主要因素构成合适的物理模型并列出恰当的数学方程，并不是轻而易举的事。1.6.4计算结果的分析与结论1.6计算物理的研究方法6/6/2023116计算物理基础而且即使基本的物理模型是正确的，在一些复杂的边界条件下，在某些具体条件的影响下，如何给出符合实际的定解条件，也还需作认真细致的研究。结果的判断？如何判断计算结果是否正确，并作出恰当的结论？实验检验、理论分析、与其它计算结果相比较1.6计算物理的研究方法6/6/2023117计算物理基础(1)实验检验计算结果是否正确，最主要的是要看它与实验数据是否相符合，若大体相符，就说明计算结果基本可靠；如果相差较大，就应该检查物理模型、数学模型，计算方法等是否存在问题，进行改进。当然，实验数据有时也会有差错，需要分析，这是实验物理的任务。作为计算物理工作者首先应该检查自己工作中的问题。1.6计算物理的研究方法6/6/2023118计算物理基础(2)理论分析计算结果是否正确，也可用基本物理原理来分析判断，作出定性解释。物理原理是前人在大量实践的基础上总结提炼出来的客观规律，计算结果应该符合基本物理定律。归根到底，计算结果应该符合客观规律。基本物理原理比个别实验数据更能反映事物的本质，是检验结果是否正确的一面镜子。1.6计算物理的研究方法6/6/2023119计算物理基础(3)与其它计算结果相比较这是一种旁证的办法。如果我们的计算结果与采用不同数学模型或不同计算方法的结果一致；或虽有出入，但在理论上可作出合理解释，则在某种意义上可以说明计算结果具有一定的客观性，虽不能象前面两种方法那样作出明确的结论，但可做到心中有数。在实际工作中，常常对同一问题采用多种办法进行计算，比较其结果，从而逐步得出正确的结论。1.6计算物理的研究方法6/6/2023120计算物理基础第二章数值积分微分方法2.1引言2.2梯形积分和辛普森积分2.3反常积分2.4高斯积分2.5高维积分2.6数值微分6/6/2023121计算物理基础2.1引言

函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿－莱布尼兹公式求解其定积分：这种方法虽然在理论上没有什么问题，可是实际问题要复杂的多，它并不能完全解决定积分的问题。6/6/2023122计算物理基础

理论上任何可积函数都有原函数，可是有些形式上十分简单的函数，其原函数都不能用初等函数表示成有限的形式，对这类函数，牛顿－莱布尼兹公式无能为力。例如：2.1引言6/6/2023123计算物理基础

有些并不复杂的函数虽然可以用初等函数表示成有限的形式，但表达式非常复杂，一般也不用牛顿－莱布尼兹公式求解：2.1引言6/6/2023124计算物理基础

在物理上，经常是从实验上获取一系列的实验点，而没有具体的被积函数解析表达式；或者分析引用别人文章图表中的曲线，只有曲线的形状而无函数表达式。对于这类情况牛顿－莱布尼兹函数也无能为力。2.1引言6/6/2023125计算物理基础

数值积分的思想:用插值的方法找到一个足够精确的简单函数P(x)(例如:代数多项式)代替原有积分f(x),就有:由于代数多项式有解析解,其结果可以近似代替原有积分的结果.2.1引言6/6/2023126计算物理基础

积分分为定积分和不定积分两种，我们这里只讨论定积分，不定积分的计算可以作为变上限的定积分来计算考虑定积分它表示f(x)曲线下的面积2.1引言6/6/2023127计算物理基础2.2梯形法和辛普森法2.2梯形法和辛普森方法

在微积分中，我们知道积分是求和的极限定义，这就是第一种计算积分的方法：梯形法，把积分区间[a,b]分成一些子区间[a=x0<x1<x2<...<xn=b],则积分可近似为：

6/6/2023128计算物理基础在实际计算中，常采用等间距分法，即xi＋1-xi=h=(b-a)/n为一常数，公式可简化为2.2梯形法和辛普森法6/6/2023129计算物理基础为节约工作量实际使用的计算公式为（中矩形法,左矩形法,右矩形法）2.2梯形法和辛普森法6/6/2023130计算物理基础上述方法还可以改进，如果我们从n＝1开始计算，每次把区间增加一倍，通过比较连续两次计算结果之差是否小于给定的误差来结束计算->变步长积分2.2梯形法和辛普森法6/6/2023131计算物理基础例:求积分的值,误差小于0.0012.2梯形法和辛普森法6/6/2023132计算物理基础首先给出编写程序的流程图：1.确定区间宽度h2.计算各子区间的面积和I13.区间宽度h减小一倍4.计算各子区间的面积和I25.如果I1-I2的绝对值小于0.001->6如果I1-I2的绝对值大于0.001->36.输出I2的值2.2梯形法和辛普森法6/6/2023133计算物理基础下面给出Fortron编写的变步长梯形法程序

I=0I1=0h=0.1dox=0,1,hx1=x+hI=I+h*(x*sin(x)+x1*sin(x1))/2enddo2.2梯形法和辛普森法6/6/2023134计算物理基础if(abs(i1-i).lt.0.001)goto20I1=II=0goto1020write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法6/6/2023135计算物理基础梯形方法实际上把每一个子区间近似为线性函数ax+b,然后计算积分值,再把结果加起来.,所以说梯形方法是具有线性代数精度的方法.下面介绍具有二次代数精度的方法:辛普森方法

2.2梯形法和辛普森法6/6/2023136计算物理基础先考虑积分区间[a,b]分为两个子区间,分点为(a,a+h,b+2h=b),h=(b-a)/2在区间上把被积函数用二次函数来近似,即:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023137计算物理基础经过简单计算可以得到

这就是有名的辛普森公式,显然它具有二次精度2.2梯形法和辛普森法6/6/2023138计算物理基础实际计算中先把区间[a,b]分为N个子区间,然后在每个子区间中用辛普森求积公式计算,再把结果加起来:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023139计算物理基础上式可以化简为辛普森是实际计算中常用的方法,它对于一般的有限区间积分都能给出较好的正确结果.(循环变量必须是整型数)2.2梯形法和辛普森法6/6/2023140计算物理基础例:用辛普森方法求解积分,误差小于0.0012.2梯形法和辛普森法6/6/2023141计算物理基础I=0

I1=0h=0.1k=0dox=0,1,hk=k+12.2梯形法和辛普森法6/6/2023142计算物理基础if(k.eq.0)thenaa=1if((k.mod.2).eq.1)thenaa=4if((k.mod.2).eq.0)thenaa=2if(k.eq.1/h)thenaa=1I=I+aa*h*x*sin(x)/3enddo

2.2梯形法和辛普森法6/6/2023143计算物理基础if(abs(I1-I).lt.0.001)goto20I1=II=0goto10write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法6/6/2023144计算物理基础**分析讨论**a.单次积分公式精度分析:2.2梯形法和辛普森法F(x)x4x3x2x1解析解6.442.6722梯形数值解168422辛普森数值解6.6742.6722可见梯形公式具有1次代数精度,辛普森公式具有3次代数精度.更高阶精度越高????6/6/2023145计算物理基础单次等间距插值求积公式:牛顿-柯特斯公式一阶:梯形公式二阶:辛普森公式四阶:再高阶求积公式因为稳定性差,一般不再采用2.2梯形法和辛普森法6/6/2023146计算物理基础单次积分公式因为稳定性差和插值公式不宜求解,所以一般采用把积分区间分成若干小的区间,在每个区间中采用低阶的牛顿-柯特斯公式这就是我们前面采用的方法:复化求积法->复化牛顿-柯特斯公式2.2梯形法和辛普森法6/6/2023147计算物理基础b.变步长分析:变步长公式可以进一步改进:如第一次计算的节点的函数值,步长加倍后可以不用再计算.2.2梯形法和辛普森法6/6/2023148计算物理基础单次梯形积分误差可由积分中值定理给出复化梯形积分误差公式:所以:2.2梯形法和辛普森法6/6/2023149计算物理基础龙贝格算法:逐次分半加速法由前面误差估计式变形可以得到:可以用两次计算结果的线性组合作为新的数值解2.2梯形法和辛普森法6/6/2023150计算物理基础c.其它分析取等值区间的缺点是对于在部分区间变化剧烈而在其他地方变化平缓的被积函数效率不高.该如何解决?????计算定积分还有很多方法,不一一介绍.2.2梯形法和辛普森法6/6/2023151计算物理基础

2.3反常积分的计算反常积分分为两类.一类是积分区间有限,在积分区间内被积函数有奇点,另一类积分区间为无限,对于两者兼而有之的积分,可以分为两个或多个积分来处理.2.3反常积分的计算6/6/2023152计算物理基础

(1)积分区间内含有奇点的积分可去奇点例:sin(x)/x在x=0有可去积分([0,1]精确解0.9460831)但x->0时,sin(x)/x=1-x*x/6+……

IF(abs(x).lt.1.0E-4)thenF=1.0-X*X/6.0ElseF=sin(x)/xEndif2.3反常积分的计算6/6/2023153计算物理基础极限方法例:已知x0为奇点定义一个收敛于x0的序列:b>r1>r2>r3>……>rn其中rn=x0+2-n2.3反常积分的计算6/6/2023154计算物理基础

积分可写成如上形式,其中每个积分都为正常积分当时,终止计算2.3反常积分的计算6/6/2023155计算物理基础消除奇点作变量替换x=t2,dx=2tdt,则有或把积分写为:2.3反常积分的计算6/6/2023156计算物理基础

(2)积分区间为无限的积分只讨论形式为如下的积分因为:2.3反常积分的计算6/6/2023157计算物理基础变量替换法例:令x=-ln(t),dx=-dt/t,则有如果g(t)/t在t=0的邻域内有界,则上式积分成为一个正常的积分,尤其在解决e-kx形式的积分效果最好2.3反常积分的计算6/6/2023158计算物理基础2.3反常积分的计算常用的变换还有:6/6/2023159计算物理基础极限法定义一个趋向于无穷大的序列0<r1<r2<……rn例rn=2n,积分可写为下式2.3反常积分的计算6/6/2023160计算物理基础

2.4高斯积分方法前面的积分公式(梯形公式和辛普森公式)的代数精度都较低,能否构造一个高代数精度的公式?这就是高斯积分公式.由于高斯积分公式的理论,较为复杂,所以只简单介绍其思想,给出有关的计算公式.2.4高斯积分6/6/2023161计算物理基础矩形法????插值求积公式,任意给定n+1个节点,至少有n次代数精度.例:辛普森方法有3个节点,所以代数精度至少为2阶,梯形法有两个节点,代数精度至少为1阶.我们设想插值多项式有n+1个节点,n+1个求积系数,适当选取这些系数,就可以构造有2n+1次代数精度的多项式—高斯积分2.4高斯积分6/6/2023162计算物理基础例如有四个未知参数,至少可以构造出具有3次代数精度的插值公式.令上式对f(x)=1,x,x2,x3精确成立,可以得到四个方程:2.4高斯积分6/6/2023163计算物理基础解方程得到:得到具有3次代数精度插值积分公式对比中矩形公式:2.4高斯积分6/6/2023164计算物理基础例:(精确解)中矩形公式得到的解为I=2.414214高斯公式给出的结果为I=2.401848可见在计算量相同的情况下,高斯公式的代数精度要远高于矩形公式.2.4高斯积分6/6/2023165计算物理基础(1)有限区间的高斯型积分公式高斯-勒让德积分公式(积分区间[-1,1])xi是n阶勒让德多项式德根,ωi是积分权重2.4高斯积分6/6/2023166计算物理基础为不失一般性,我们总可以做代换将求积区间从[a,b]变换为[-1,1],做如下变换2.4高斯积分6/6/2023167计算物理基础高斯-勒让得节点表(部分):2.4高斯积分nxkAk00.00000002.000000010.57735051.000000020.77459670.55555560.00000000.888888930.86113630.34785430.33988100.65214526/6/2023168计算物理基础例:n=2时查表得x0=0,x1=-0.7745967,x2=0.7745967,A0=0.8888889,A1=A2=0.5555556带入可得I=2.399709可见采用较少的计算就可以得到很高的精度高斯方法的效率很高->进一步:复化高斯公式2.4高斯积分6/6/2023169计算物理基础等权重高斯-切贝雪夫积分公式,权重n/2第一类高斯-切贝雪夫积分公式(n为节点数)2.4高斯积分6/6/2023170计算物理基础第二类高斯-切贝雪夫积分公式,2.4高斯积分6/6/2023171计算物理基础等权重切贝雪夫积分节点2.4高斯积分6/6/2023172计算物理基础(2)无限区间的高斯积分公式高斯-拉盖尔积分公式高斯-厄米积分公式2.4高斯积分6/6/2023173计算物理基础2.4高斯积分6/6/2023174计算物理基础2.4高斯积分6/6/2023175计算物理基础2.5高维积分的计算高维积分原则上可以通过化为累次积分来进行:例如对于积分:其中Ω为积分区域,总可以化为:2.5高维积分6/6/2023176计算物理基础这相当于计算三个一重积分,每一积分以其前一积分作为被积函数,稍加考虑就可发现,这一过程的计算量随积分重数的增加变的无法完成.如每重积分取10个点,则n重积分就要计算10n个函数值.因此这一方法只能用于积分重数较低的积分.如果对计算精度要求不高的话,也可用后面讲的MonteCarlo方法.2.5高维积分6/6/2023177计算物理基础对一个函数求导数,理论上讲都可以精确求解,不存在计算积分时无法求解的情况.但如果函数非常复杂,而我们只想知道在某点的导数值;或者函数是由若干分散的数据点给出,没有具体的函数表达式,我们无法求解.这时就要用到数值求解的方法.2.6数值微分6/6/2023178计算物理基础1.机械求导法根据微分的定义:我们知道导数就是差商:2