概率论与数理统计第3章-随机变量的联合概率分布课件

3.1二维随机变量

3.2分布律

3.3随机变量及其分布函数

3.4随机变量的独立性与条件分布

3.5n维随机变量第三章随机变量的联合概率分布

3.1二维随机变量

定义3.1

设X,Y是随机变量，则称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。

如果将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下方的无界矩形域内的概率.二维随机变量联合分布函数的性质

性质1

F(x,y)分别关于x和y单调不减.

性质3

F(x,y)关于x右连续,关于y右连续.

注:如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一定可以作为某个二维随机变量的分布函数.

例3.1已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为

F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)

求常数A,B,C.本节结束3.2分布律

定义3.3

若二维随机变量的所有可能取值为有限对或可列无限多对时，则称为二维离散型随机变量.

注2:二维随机变量(X,Y)的分布律可以用如下的表格来表示，称为联合概率分布表.

注3:二维随机变量(x,y)关于x和关于y的边缘分布律放在联合概率分布表中.

例3.2

箱子中装有10件产品，其中4件是次品，6件是正品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个.定义随机变量求(X,Y)的分布律以及分布函数.(X,Y)的分布律为

(X,Y)的分布函数.例3.3

已知(X,Y)的分布律为

求(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.解P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为本节结束3.3随机变量及其分布函数

定义3.6

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的实数x,y都有则称(X,Y)的二维连续型随机变量，f(x,y)称为联合密度函数.

定义3.7

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，称为二维随机变量关于X的边缘概率密度.称为二维随机变量关于Y的边缘概率密度.

注：若在平面有界区域G内任取一点，用(X,Y)表示该点的坐标，则(X,Y)服从区域上二维均匀分布.二维随机变量函数的分布1.二维离散型随机变量函数的分布

2.二维连续型随机变量函数的分布

问题:设(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.积的分布

例3.13

假设一电路装有三个同类电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为

的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作时间T的密度函数.本节结束3.4随机变量的独立性与条件分布例3.14

设二维随机变量(X,Y)的分布律如下判断X,Y的独立性.

注:

两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，且其两个参数恰好为原来两个正态随机变量相应参数之和，利用数学归纳法，不难将此结论推广到n个独立正态随机变量之和的情形.

本节结束3.5n维随机向量一、联合分布与边缘分布定义3.10n维随机向量(X1，X2，…，Xn)定义3.11n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为

F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}

记FXi(xi)=Fi(xi)=P{Xi≤xi}为关于Xi的边缘分布函数。定义3.12

离散型n维随机向量(X1,X2,

…,Xn)的联合概率函数为

p(x1,x2,…,xn)=P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}

记pXi(xi)=pi(xi)=P{Xi=xi}为关于Xi的边缘概率函数。定义3.13

连续型n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合密度函数为

f(x1,x2,…,xn)

记fXi(xi)=fi(xi)为关于Xi的边缘密度函数。二、独立性定义3.14

对于n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，如果对任意的xi∈R,都有

F(x1,x2,…,

xn)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn)则称X1，X2，…，Xn

相互独立。①对于离散型n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，则X1,X2,…,Xn

相互独立的充分必要条件是：对于任意的

x1,x2,…,xn，有

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}…P{Xn=xn}②对于连续型n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，则X1,X2,…,Xn

相互独立的充分必要条件是：对于任意的

x1,x2,…,xn，有

f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)·fX2(x2)…

fXn(xn)即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。

定义3.15(独立同分布的随机变量序列)

若随机向量序列X1,X2,…,Xn…中任意n个随机变量(n=2,3,…,)都相互独立，且每个随机变量Xi都服从同一种分布，则称X1,X2,…,Xn,…独立同分布的随机变量序列。例3.20

设X1,X2,…,Xn相互独立且同分布，分布函数均为F(x)，Y=max{X1,X2,…,Xn}，Z=min{X1,X2,…,Xn}，分别求随机变量Y和Z的分布函数。解：FY(x)=P{Y≤x}=P{max{X1,X2,…,Xn}≤x}

=P{X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x}=P{X1≤x}∙P{X2≤x}…P{Xn≤x}=[F(x)]nP{Z>x}=P{min{X1