2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高一上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知集合人={-1,0,1,2},8={X0<x<3},则（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【分析】直接根据交集的概念即可得结果.

【详解】因为A={—1,0,1,2},B={x|0<x<3},

所以<4口8=0,2},

故选：B.

2.已知圆6：*2+丁=1与圆。2：（丫-3）2+（丫-4）2=4,则圆C1与C?的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

【答案】D

【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.

【详解】圆G：/+V=1的圆心为G（o,o），半径4=1,

圆G：（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为G（，4）,半径&=2,

因为=J32+42=5>彳+4=3,

所以两圆相离，

故选：D.

3.下列说法中正确的是（）

A.圆锥的轴截面一定是等边三角形

B.用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C.三棱柱的侧面可以是三角形

D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形

【答案】D

【分析】根据圆锥、棱锥、棱柱和棱台的结构与特征，逐一判断即可.

【详解】对于A,圆锥的轴截面一定是等腰三角形，中有当母线等于底面直径时，轴截面才是等边

三角形，故错误；

对于B,只有用一个平行于底的平面去截棱锥，才一定会得到一个棱锥和一个棱台，故错误；

对于C,由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，故错误；

对于D,棱锥为三棱锥时，侧面和底面都是三角形，故正确；

故选：D.

4.一个水平放置的平面四边形48co采用斜二侧画法得到的直观图是菱形A'3'C'D',如图所示，则

平面四边形ABCD的形状为（）

A.正方形B.长方形C.菱形D.梯形

【答案】B

【分析】直接将直观图进行还原即可得结果.

【详解】将直观图还原得如图：

坤

D---------IC

OAB

所以平面四边形ABCD的形状为长方形，

故选：B.

5.函数八s=-3凶+1的图象大致是（）

【答案】A

(详解】V函数/(x)=-3|r|+1二/(-%)=-3卜"+1=-3W+1=/(%),

即函数为偶函数，其图象关于），轴对称，故排除BD

当x=0时，/(0)=-3°+1=0,即函数图象过原点，故排除C，

本题选择A选项.

6.两条直线5x+12y+4=0与10x+24y-18=0的距离为()

A.—B.三巨C.V13

1313

【答案】D

［分析］根据两平行线间的距离公式即可得解.

【详解】直线10x+24y-18=0即5》+12)，-9=0,

所以5x+12y+4=0与5x+12y-9=0的距离为上土21=1,

752+122

故选：D.

7.已知q=3<2,b=log23,c=log023,则()

A.h<c<aB.a<c<hC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性即可求解.

【详解】因为0<a=3«2<3°=1,C=log023<log02l=0,

所以c<a,又因为人=log23>log22=l,所以力>a>c,

故选：C.

8.在正方体ABCO-AgGA中，尸为的中点，则直线28与AC所成的角为()

【答案】A

【分析】连接AG，BAt,BQ,由正方体的性质可得P为AC的中点且AC//C4,NBPA即为异面

直线PB与AC所成的角(或补角)，再根据VABC1为等边三角形，即可得解;

【详解】解：连接4G，BA.BG，由正方体的性质可得尸为AG的中点,

由AA//CG且4A=CC,,所以四边形A,ACC,为平行四边形,

所以AG//CA,所以NBPA即为异面直线M与AC所成的角（或补角）,

TT

显然AG=84,=BG，即v^BG为等边三角形，所以BPLPA，即

TT

故直线PB与AC所成的角为］；

故选：A

9.某正方体被截去部分后剩余几何体的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为（）

正视方向

【答案】B

【分析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等分析求解.

【详解】由三视图的画法，可得侧视图如下：

故选：B

【点睛】本题主要考查三视图，还考查了空间想象的能力，属于基础题.

10.若点尸（1,1）为圆V+y2=4的弦A3的中点，则弦A3所在直线方程为（）

A.x+y-2=0B.x+y+2=()C.x-y+2=0D.x-y-2=0

【答案】A

【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式

化为一般式即可.

【详解】+)，2=4的圆心为0(0.0),半径r=2,

因为P(l,l)为圆/+产=4的弦AB的中点，

所以圆心。与点P确定的直线斜率为怎。=以=1,

因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，

所以弦A8所在直线的斜率为原3=-1,

所以弦A8所在直线的方程为：y-l=(-l).(x-l),

即x+y-2=0.

故选：A.

11.设〃?，”是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若机J_a,nu[),mLn,则B.若m"a,m//n,则"〃ar

C.若利〃“，nip,mua,则a_L夕D.若a_L/7,a[}p=m,n±m,则〃，夕

【答案】C

【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.

【详解】A.若“，a,n^(3,mLn,则a与夕相交，平行，故A错误；

B.若a,m//n,则“ua或〃〃a,故B错误；

C.若加〃〃，nLp,则相，/?,且，"ua,则故C正确；

D.若aLjS,a[}/3=m,n±m,但没注明“ua,所以〃与万不一定垂直，故D错误.

故选：C

12.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为瞥腌.己知在瞥腌A-BCD中，

满足431平面88,且4?=3。=5,BC=3,8=4,则此瞥糯外接球的表面积为()

A.25兀B.50KC.100KD.200兀

【答案】B

【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，

代入球的表面积公式得答案.

【详解】由BD=5,BC=3,CD=4,：.BD2=BC2+CD2,即有8C_LCD,

又A8二平面BC。，所以AB,BC,CD两两互相垂直，该瞥）1如图所示:

B3C

图形可以补形为长方体，该瞥腌的外接球即该长方体的外接球，AD是长方体的体对角线，也是外

接球的直径，设外接球半径为外则（2种=32+42+52=50,

所以瞥席的外接球表面积为4兀六=50兀.

故选：B.

二、填空题

13.在平面直角坐标系中，直线后-y+l=0的倾斜角是.

【答案】60。（或三）

【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可.

【详解】设直线Gx-y+l=0的倾斜角为a（0。4a<180。），

将直线方程由x-y+l=0化为斜截式得：y=V3x+l,

该直线的斜率々=G=tana,

*/0°<a<180°,

Aa=60°.

故答案为：60。（或g）.

14.已知直线/过点（2,1）,且在y轴上的截距与在x轴上的截距相等，则直线/的方程是.

【答案】》+>-3=0或x-2y=0

【分析】根据截距式方程的两种情况解决.

【详解】当x,y轴上的截距都为零时设/的方程为y=丘，把点（2,1）代入得1=23即4=；,所以

/的方程为、_2y=0；

当％），轴上的截距都不为零时，设截距都为。，贝心的方程为土+上=1,把点（2,1）代入得

aa

2|

-+-=\,即a=3,所以/的方程为x+y-3=0.

aa

故答案为：x+y-3=0或x_2y=0

15.已知直线/：3x+2y-2=0,直线机:3履-3y+Z-3=0,若直线/与团的交点在第一象限，则实

数2的取值范围为.

【答案】（L6）

【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0,解不等式组即可.

【详解】由题意得两直线不平行，即蓑。三，得人工-^，

\2-2k

x-

3-=。6攵+9

3fcc-3y+)t-3=03k—3

y=--------

2k+3

由于直线/与机的交点在第一象限,

—>0

所以工+：，解得1〈人<6,则实数々的取值范围为（L6）,

〔2人+3

故答案为：（1,6）.

16.若函数“X）满足/（5=-〃力，则称/（x）为满足"倒负”变换的函数，在下列函数中，所有满

足"倒负”变换的函数序号是.

①〃力=7^7；②/(x)=x\③/(x)=x+g：④/(x)=x-J

【答案】④

【分析】求得了（（）的解析式，再与-/（X）的解析式进行比较即可得到满足“倒负”变换的函数

【详解】①，（£|=*=士~177=一,（可，不符合要求；

X

=-/（%）,不符合要求;

,不符合要求;

=_〃x），符合要求

故答案为：④

三、解答题

17.三角形ABC的三个顶点A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求：

(1)8c边所在直线的方程；

(2)8c边上高线A。所在直线的方程.

【答案】(1)x+2y-4=0(2)2x-y+6=0

【分析】(1)直接根据两点式公式写出直线方程即可；

(2)先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可.

【详解】(1)BC边所在直线的方程为：

y-1_x-2

3^T--2-2，

即x+2y-4=0；

(2)YBC的斜率K尸

边上的高A。的斜率K=2,

边上的高线AQ所在直线的方程为：y=2(x+3),

即2x-y+6=0.

【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题.

18.已知圆C:x2+y2_4x_6y+9=0,直线/:H+y-2=0.

(1)求圆C的圆心坐标和半径；

(2)若直线/与圆C相切，求实数上的值.

【答案】(1)圆心C的坐标为(2,3),半径为2.

3

(2)^=7

4

【分析】(1)通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；

(2)通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.

【详解】(1)•圆C:x2+y2-4x-6)，+9=0,

•••圆C的标准方程为(x-2)?+(y-3)2=4.

••・圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径为2.

(2)•.•直线/与圆C相切,

|2左+3-2|3

.••圆心C到直线）的距离d」/「=2,解得&=；.

J1+攵24

实数&的值*

19.如图，A8是圆柱体OO'的一条母线，8c为底面圆。的直径，。是圆。上不与B,C重合的任

意一点.

D

⑴求证：CD_L平面48。；

（2）若A3=BC=10,8=8,求三棱锥。-/WC的体积.

【答案】（1）证明见解析

(2)80

【分析】（1）利用线面垂直判定定理即可证明平面

（2）先求得三棱锥O-ABC的高，进而求得三棱锥。-ABC的体积.

【详解】（1）•.•点。在以BC为直径的圆上，.•.8OLCO.

<243_1_平面8c£）,CDu平面8c。，ABLCD.

又•••450比）=8,ABu平面43£>,BZ）u平面43D

\CDA平面A8£）.

（2）在RtABOC中，BDNBC2-Cb2="片-8=6,

-'•SASDC=^X8X6=24-

由题意知平面BCO,则A8为三棱锥£>-ABC的一个高

-'-VD-AUC=匕-88=gSABDC-AB=1x24x10=80.

20.为实现“碳达峰”，减少污染，某化工企业开发了一个废料回收项目、经测算，该项目回收成本。

[20x,0<x<30

（元）与日回收量X（吨）（xe[0,50]）的函数关系可表示为p=2/6，且每回

I%"+16%-780,30<x<50

收1吨废料，转化成其他产品可收入80元.

(1)设日纯收益为y元，写出函数y=/(x)的解析式；(纯收益=收入-成本)

(2)该公司每日回收废料多少吨时，获得纯收益最大？

60x,xe[0,30]

【答案】⑴〃x)=

-x2+64x+780,xe(30,50]

(2)当公司每日回收废料32吨时，获得纯收益最大为1804元.

【分析】(1)由题意求出收入，再根据纯收益=收入-成本即可求解.

(2)根据分段函数解析式以及函数的单调性即可求解.

【详解】(1)当04x430时，每日收入为80x,每日回收成本为20x,

则日纯收益尸80x-20x=60x,

当30<xV50时，每日收入为80x,每日回收成本为f+16x-为0,

则日纯收益y=80x-/-16x+780=-/+Mx+780,

j60x,xe[0,30]

故"xb+即+780,xe(30,50]

(2)当04xV30时，y=60x是单调递增函数，

所以此时x=30时在[0,30]取最大值，/(30)=1800,

当30cx45()时，y=SOx-x2-16A+780=-X2+64x+780=-(x-32)2+1804,

显然在x=32时，取得最大值，此时"32)=1804,

由“32)=1804>"30)=1800,

故当公司每日回收废料32吨时，获得纯收益最大为1804元.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，M、N、。分别为8C、以、尸8的

(1)证明：平面MNQ〃平面PCD；

（2）在线段PD上是否存在一点E,使得MN〃平面ACE?若存在，求出而的值；若不存在，请

说明理由.

PE1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，—

【分析】（1）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可；

（2）取尸。中点E,连接NE、CE,利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形MCEN是平

行四边形，即证MN〃CE,再根据线面平行的判定定理即证结果.

【详解】（1）证明：：A3CD是平行四边形，M,N、2分别为8C、PA.的中点，

NQHABHCD,MQHPC,

又NQ<z平面尸CD,CDu平面PCD,平面PC£>,PCu平面PCD,

NQ//平面PCD,MQH平面PCD,

VNQ[}MQ=Q,且N。、MQ\平面MNQ,

平面MNQ〃平面PCD

PE1

（2）解：存在点E是线段PD的中点，使得MN〃平面ACE,且就=5.证明如下:

取PO中点E,连接NE、CE,

,:N、E、M分别是AP、PD、8c的中点，.•.NE〃g4O,NE=；A。，且8C〃A£>,8C=A。，即

MC//-AD,MC=-AD,

22

NEHMC,NE=MC,；.四边形MCEN是平行四边形，/.MN//CE,

PE1

平面ACE,比匚平面47£,，加可〃平面47£,且而=].

22.已知函数/（x）=bg“（3a-2x）（〃>0,且