2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二下学期期中

考试数学试题

一、单选题

1.在数列｛〃｝中，a=2,a=工--,则。=()

nI"+la4

n+1

A.-B.--C.-3D.2

32

【答案】C

【分析】利用递推公式依次求出。，。M即得解.

234

a—1ci—11ci—11

【详解】解：因为〃=2,。=---,所以气=-1/：*所以气=T1=一…

I"+1〃+12。+133。+12

n12

Cl—1

所以“4=-77=-3.

4a+1

3

故选：C

2.函数/(x)=lnx+2x+1的单调递减区间是()

X

A.卜1,口B.(0,1]

C.f-pljD.(0,1)

【答案】B

【分析】利用导数求函数的单调递减区间即得解.

【详解】解：由题意可得/'6)=，+2-，=2.+”-1=(2'-1)1+1),且函数”X)的

XX2X2X2

定义域为(0，+8).

由/'G)<o,#0<%<1,即“X)的单调递减区间是(o,£).

故选：B

3.在等差数列M｝中，若。+a=12,a=8,则数列｛4｝的公差d=()

n356n

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据等差数列得通项公式列出方程组，解之即可得解.

【详解】解：由〃+〃=12,a=8,

356

2a+6J=12a=3

解得

a+5d=3=1

故选：A.

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4.已知函数，（x）=21nx+f'（2）x2+2x+3,则f（l）=（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【分析】先求导，求得尸（2）得到/G）求解.

【详解】解：f'（x）=-+2f'（2）x+2,

X

则/（2）=1+4/（2）+2,

解得（（2）=-1,

所以/'（x）=21nx-x2+2x+3,

故/（1）=-1+2+3=4.

故选：D

5.用数学归纳法证明1+2+3+…+3"=3"G〃+1）（〃€N）,则当“=k+l时，等式的左

2+

边应在〃=上的基础上增加的项数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】分析"=k、〃=%+1时等式的左边的代数式，可得结果.

【详解】当〃=出时，等式的左边是1+2+3+…+33等式左边共次项，

当”=女+1时，等式的左边是1+2+3+…+3k+（3k+l）+（3k+2）+3（Z+l）,等式左边共

3k+3项，

增加了弘+1、3k+2、3金+1）,共3项.

故选：C.

6.某技校毕业生小张到某工厂实习，第一天加工某零件20件，随着对加工流程的熟悉,

从第二天开始，每一天比前一天多加工1件零件，若小张在实习期间至少需要加工的零

件为220件，则小张在该工厂实习的天数至少是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】设小张第〃天加工的零件数为。，则数列｛4｝是以20为首项，1为公差的等

nn

差数列，再根据等差数列前〃项和的公式计算分析即可得出答案.

【详解】解：设小张第”天加工的零件数为。，则数列L｝是以20为首项，1为公差

nn

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的等差数列，

则a=20,a=〃+19,

In

故小张n天一共加工的零件数为(2°+19",

2

业(20+〃+19)〃(20+9+19)x9”八

当"=9时，------------=-------------=216<220,

22

wCQ(20+n+19)n(20+10+19)xl0

当"=10时，---------—=--------------=245>220,

22

故”，10,

所以小张在该工厂实习的天数至少是10天.

故选：D.

7.已知函数/Q)=lnx+”有最小值，且最小值为负数，则力的取值范围是()

X

A.(0,1)B.(0*)

C.(0,e)D.(0,+oo)

【答案】B

【分析1求导得到广(0=土二竺，再对俄分两种情况讨论得解.

X2

【详解】解：由题意可得rG)=!-%=土二”.

XX2X2

当机W0时，/'G)>0恒成立，则广(X)在(0,+00)上单调递增，从而f(x)没有最小值,

故m<0不符合题意；

当加>0时，由f'G)>。，得%>以，由f'(x)<0,得0<%<相，

所以函数的增区间为(机,+00),减区间为(0,m),

所以函数的最小值为/(M=1n/w+1<0

解得0</n<—.

e

故选：B

8.等比数列％｝的前"项和为S,若S=12,S=36,则S=()

nit82416

A.24B.12C.24或一12D.一24或12

【答案】A

【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出S,再检验即可；

16

【详解】解：因为等比数列(，｝的前”项和为S,所以S,S-S,S-S成等比数

nn81682416

列,

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因为S=12,S=36,所以(s-12>=12x(36-5),

8241616

解得S=24或S=-12,因为S-S=q8s>0,

16161688

所以S>0,则S=24.

1616

故选：A

二、多选题

9.下列函数中，求导正确的是()

A./G)=~,/zG)=--—

XX2

B.f(x)=x\nx,/'(x)=ln.r+—

x

c./(f(x)=—

D./(x)=Q+2x)e»,广(x)=Q+4x+2)e*

【答案】ACD

【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.

【详解】解：对于A,/(x)=l,rG)=--,则A正确；

XX2

对于B,f(x)=x\nx,//(%)=lnx+^­-=lnx+l,则B错误；

x

对于c,4)=*，/6)=滥^岛p则c正确；

对于D,/(x)=Ct2+2x)e*,r(x)=(2x+2)e*+Cr+2x)e*=Cr2+4x+2)e*,则D

正确.

故选：ACD.

10.已知数列M｝的前"项和为S,则下列说法正确的是()

nn

A.若S=2.-1,则｛〃｝是等比数列

nn

B.若■=’二(«>2),则｛4｝是等比数列

aan

nM-1

C.若S2=SS(n>2),则｛。｝是等比数列

nn-\M+1n

D.若S=2“-a,贝Ma｝是等比数列

nn

【答案】AB

【分析】对于选项A、D,根据S与a可求解判断，对于选项B,由等比数列的定义可

nn

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判断，对于选项c,通过举反例可判断.

【详解】对于A,由S=2”—l,得。=s-S=2«-|(/i>2).当n=\时，。=S=1满

nnnn-1II

足“=2"i,则a=2一，即｛a｝是等比数列，故A正确.

nnii

对于B,由—=£一,得5｝是等比数列，则B正确.

aan

nN-I

对于C,当s=0时，满足52=5s,即｛〃｝不是等比数列，则C错误.

nnn-ln+ln

对于D,由s=2”-〃，得a=S-S=2«-i(n>2).当〃=1时，a=S=2-。不满足

niinn-lII

a=2m,则aJ：-"'"：'当a=l时，｛a｝是等比数列；当时1时，0｝不是等比

«“[2«-|,n>2〃«

数列，故D错误.

故选：AB

11.若函数y=/G)在区间。上是减函数，且函数y=/'G)在区间。上也是减函数，

其中广G)是函数/G)的导函数，则称函数y=/G)是区间。的上“缓减函数”，区间。

叫作“缓减函数则下列区间中，是函数/G)=sin2x+2cosx的“缓减函数”的是()

【答案】AD

【分析】利用“缓减函数”的定义求解.

【详解】解：由题意得/'G)=2sinxcosx-2sinx=2sinx(cosx-l).

由r(x)<0,得2攵冗WxW2k7i+兀，kGZ,

11।

即/(X)的单调递减区间为L火兀,2女兀+兀］(keZ).

1I1

设g(x)=尸(x)=2sinr8sx-2sinx,

贝ij*(x)=2cos2x-2sin2%-2cosx-4cos2x-2cosx-2.

由g，(x)40,得4cos2x_2cosx-2V(),

即2(2cosx+l)(cosx-l)40,

^2kn--<x<2kTi+—,kZ,

23232€

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即/(x)的单调递减区间为2%兀-二,2%兀+W(keZ).

_2323J2

2兀

由“缓减区间”的定义可得了(X)的“缓减区间”为2kTt,2kn+—(AeZ).

故选：AD

12.《周髀算经》是中国古老的天文和数学著作，其记载的“日月历法''曰：“阴阳之数，

日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁.“

已知有〃个人，他们的年龄之和恰好为十部(即760岁)，其中年龄最小的25岁，年龄

最大的机(mW120)岁，且除了年龄最大的以外，其余〃—I人的年龄依次相差2岁，则〃

的值可以是()

A.15B.16C.17D.18

【答案】CD

【分析】根据已知件可得出机22〃+21,“2+22"+/=783,可得出“2+24〃4762,求

出〃的值，即可得解.

【详解】由题意可知除了年龄最大的外,其余〃-I人的年龄依次成等差数列,

设这〃-1人的年龄依次记为a、。a(n>2,neN)

12n-\

且首项。=25,公差d=2,则a=25+2(〃-2)=2〃+21,

n-1

(25+2n+21)G-l)

从而这〃个人的年龄之和为+m-760,即卷+22〃+m=783.

2

因为m22〃+21,所以"2+24”4762.

当"=17时，172+24x17=697<762,此时，m=120,符合题意;

当"=18时，182+24X18=756<762,此时,m=63,符合题意；

当"416时，机2175,不符合题意；

时，+24〃2192+24x19=817,不符合题意.

故选：CD.

三、填空题

13.在等比数列M｝中，。=2,则前5项之积为________

n3

【答案】32

【分析】根据等比数列的性质即可得出答案.

【详解】解：由等比数列的性质可得。。=aa=外,

15243

则。。。aa==25=32.

123453

故答案为：32.

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14.已知函数f(x)的导函数为，'G),若lim八八八；七=6,则

Ax->0

/(4)=.

【答案】-3

【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算作答.

r、¥他/(4)-/(4+2M)/(4+2M)-/(4)刖“，

L详角隼］因为lim----------------=-2lim----------------=6,即一2/14J-6,

Ax->oAT2AX->O2Ax

解得r(4)=-3,

所以:(4)=-3.

故答案为：-3

15.已知等差数列｛〃｝的前"项和为S.若。>0,且。+«<0,则满足S>0的最

n〃171718n

大正整数的〃的值为.

【答案】33

【分析】由S=甘(a+a)<0,a>0得“<0,利用S=33。>0可得答案.

34171817183317

【详解】因为。+。<0,所以s=上上/_=17(4+a)<0,

因为a>0,且。+a<0,所以a<0,S=3上222=33”>0,

1717181833217

故要使S>0,则需"433.

n

故答案为：33.

16.已知尸G)是定义在R上的函数f(x)的导函数，对任意的xeR,2/(x)+/'(x)>0

恒成立，且f(D=l,则不等式/G)>e2-2,的解集是.

【答案】(l，+s)

【分析】构造函数g(x)=e2*/G),利用导数分析函数gG)的单调性，将所求不等式变

形为g(x)>g(1),利用函数gG)的单调性可得出原不等式的解集.

【详解】设gG)=e2"(x),贝！Jg'(x)=ez、［2/(x)+/'(x)］.

因为e2，>0,2/(x)+r(x)>0,所以g'G)>0,则g(x)在R上单调递增.

因为f(D=l，所以g(D=e2/(l)=e2,

由/G)>e2-2x可得e2xf(x)>e2,等价于g(x)>g(D,解得X>1,

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故不等式f(x)>e2-2x的解集是(1,心).

故答案为：(1,收).

四、解答题

17.已知函数/G)=X3—以2-8+。，曲线y=/(x)在尤=2处的切线方程为7x—y—10

=0.

(1)求a,b的值；

⑵求/(x)的极值.

【答案】(1)。=1,b=2

(2)x=T，"x)取得极大值，且-扪崇当x=l,f(x)取得极小值，且f(l)=l.

【分析】(1)求/'(x),由题意可得/'(2)=7,/(2)=4,即可求得0,5的值.

(1)求/G),令/6)>0,/心)<0,求出f(x)的的单调性，即可求得了(X)的

极值.

【详解】(1)因为fG)=x3—ar2-x+b,所以/'(x)=3x2-2以一1.

则所求切线的斜率％-『'(2)=3x22-4a-1=11-4a=7,解得a=1.

当x=2时，y=7x2—10=4,贝ljf(2)=23-22-2+b=b+2=4,解得6=2.

(2)由(1)可知/(X)=3X2-2X-1=(3X+1)(X-1).

由尸(x)>0,得x<J或Ql：由/(工)<0,得一g<x<l.

/(x)在(-8,一夕和(1,+oo)上单调递增，在卜;上单调递减.

故当XY，-x)取得极大值，且《扪1学C用+2埸,

故当x=l,/(x)取得极小值，且/(1)=1-1-1+2=1.

⑻已知数列"｝中，［《—(〃+；)“.

II

(1)求a,a,a,a的值；

2345

(2)根据(1)的计算结果，猜想｛“｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

n

7345

【答案】(1)。=一，。=7，。=7，a=7

23344556

(2)a=7?\,证明见解析

nn+1

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【分析】（1）直接代入即可得结果；

（2）根据（1）中的计算结果即可猜想｛。｝的通项公式，再用通项公式证明即可.

II

1n12

【详解】⑴因为V于,「■rar，所以％=彳=h

n1

723

因为〃=一，所以。二2~=7-

2334〃4

2

334

因为。=；,所以%

3445。5

3

445

因为。=「，所以r=7-=Z.

4556a6

4

⑵根据（1）的计算结果，猜想数列｛〃｝的通项公式为a=—J.

证明如下：①当”=1时，等式成立.

②假设当〃=%时，a=工成立.

k_k_k+l_k+l

当n=k+\时，“*+i-U+2）a-（八？）.火一^+2-k+\+\■

kk+1

则”=k+l时，等式成立.

由①②可知，对任意的〃eN,a=—J.

19.在①S=m+n,②。-«=2,S=30这两个条件中任选一个，补充到下面的问

n"n-15

题中，并解答.

已知数列｛。｝的前〃项和为S,且.

nit

（1）求％｝的通项公式；

n

（2）若匕=」一，求数列名｝的前“项和T.

w

aann

nn+1

【答案】⑴a=2〃

II

n

⑵T=

n4〃+4

【分析】（1）若选①，利用。、.可求出“，若选②，则可得｛4｝是公差

«5-5,n>2”〃

nM-1

d=2的等差数列，再结合S=30可求出a=6,从而可求出。，

53n

（2）由（1）可得b=-==然后利用裂项相消求和法可求

〃aa4n\n+\）4（〃n+\）

nM+1

得结果

【详解】（1）选①

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当〃=1时，a=S=1+1=2.

।i

当〃之2时，S=G-I)2+72-1=722-H,

n-l

贝Ija=S-S=〃2+〃一C：2-〃)=2〃(n>2).

nnn-l

当〃=1时，。=2满足上式，则。=2n.

In

选②

因为“-a=2,所以｛a｝是公差d=2的等差数歹lj.

nn-ln

因为S=30,所以S=5a=30,所以a=6,

5533

则a=a+(〃-3)d=6+2(〃-3)=2〃.

n3

20.已知函数/(x)=(x-3)ex-；at2+2办+4.

(1)当a=l时，求/(x)零点的个数；

⑵讨论/(幻的单调性.

【答案】(1)有3个零点；

(2)答案见解析.

【分析】(1)求导利用导数求函数的单调区间得解.

(2)求导，再对。分四种情况讨论得解.

【详解】(1)当。=1时，/G)=(x-3)e.r-+2x+4,

则/，G)=(x-2)e<-x+2=(x-2)C>-1),

由尸(x)>0,得x<0或方>2,由/'G)<0,得0<r<2,

则f(x)在(0,2)上单调递减，在(-8,0)和(2,+oo)上单调递增,

因为/•(一2)=-上一2<0,/(0)=-3+4=1>0,/(2)=-e2+6<0,

e2

/(3)=--+10=—>0,

22

所以/⑴有3个零点.

(2)由题意可得/'(x)=(x-2)e*-ar+2a=(x-2)(ez-a),

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①当Q0O时，由rG)>0,得x>2,由rG)<0,得xv2,

则/（x）在（-8,2）上单调递减，在（2,+oo）上单调递增，

②当0<〃<e2时，由/'（x）>0,得或心>2,由/'（x）<（）,得lna«2,

则/⑴在（ln〃，2）上单调递减，在（-8,Ina）和（2,+8）上单调递增,

③当a=e2时，/（元）20恒成立，则人外在（-8,+oo）上单调递增，

④当〃>e2时，由/'G）>0,得x<2或心>ln〃，由/'（x）<。，得2VT<1M

则/（x）在（2,In^）上单调递减，在（—00,2）和（Ina,+oo）上单调递增，

综上，当时，f（x）在（一8,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增；

当0<〃<e2时、/*）在（Ina,2）上单调递减，在（一oo,Ina）和（2,+oo）上单调递

增；

当a=e2时，f*）在（一8,+oo）上单调递增;

当〃〉e?时，/（幻在（2,Ina）上单调递减，在（一孙2）和（Ina,+oo）上单调递增.

21.在数列｛〃｝中，a=19a=2a+1,

n1n+ln

⑴证明数列｛a+1｝是等比数列，并求M｝的通项公式；

nn

⑵若当+47+4+…+3T=W2+2〃+1,求数列名｝的前”项和r.

a4-1〃«

I23n

【答案】（1）证明见解析，a=2n-l；

n

(2)T=(2H-1)X2«+I+4.

n

a+1

【分析】(1)化简得到—7=2,即得证，再求出等比数列的通项；

a+1

bbbbc1

(2)—«—+―3—+――+・••+—H—="2+2〃+1.

a+1a+\a+\a+1

I23n

上7+—<+…—J=("-1》+2(〃-D+1=〃2(n>2),两式相减即得数列

a+1a+1a+1a+1

I23n-l

｝的通项，再利用错位相减法求解.

n

【详解】(1)证明：因为a=2a+l,所以a+l=2(a+1),所以&+?=2.

n+lnn+1nCl+1

n

因为a=1,所以。+1=2,则数列M+1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

11n

由等比数列的通项公式可得。+1=(“+1)什1=2”，则a=2»-l.

n1n

hhhhc।

⑵解：因为“置+-+―=〃2+2〃+1，

123n

所以11---21---?F...H--n-t——(〃-1»+2G?-0+1=/?2(〃>2),

123/:-!

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贝ij—»--=2n+\（/?>2）,故b=（2〃+1）x2〃（«>2）.

a+1一“

n

当〃=1时，3=4,所以〃=8不满足上式，

a+1।

1

故2=i（2〃+l）x2”,〃22

当叱2时，T=8+5x22+7x23+…+（2〃+1）x2〃①，

n

所以27=16+5x234-7x24+.・.+（2〃+l）x2”+i②.

n

（T）—（2）^^-T=12+2x23+2x+..•+2x2n-（2〃+1）x2〃+i,

n

NIL2X23X（1-2'T）/、

则一T=12+—（2〃+l）x2”+i，