2021-2022学年上海市浦东新区高二上学期10月月考数学试卷含详解

2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试

卷（10月份）

ー、填空题:（第1ー第6题,每题4分,第7-第12题,每题5分,共54分）

1.（4分）空间两个平面最多将空间分成部分.（填数字）

2.（4分）直线和平面斜交所成角为则。的取值范围是.

3.（4分）正方体ABCO-4BICIDI中,异面直线A1C与AB所成角的大小为.

4.（4分）已知数列｛”“｝是公差不为零的等差数列,且“1+00=49,则」~~------シ

a10

5.（4分）等比数列｛斯｝的通项公式为@=（l-a）A且lim即存在,则实数”的取值范围

nn—8

是.

6.（4分）如图是水平放置,腰长为2的等腰直角三角形ABC的斜二测直观图，则直观图

7.（5分）如图是ー个正方体的展开图，如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH

这四条线段所在直线是异面直线的有对.

8.（5分）如图,正方体A8CO-A181GO1的棱长为1,E、F分别是ん4i、CC的中点，那

么正方体过。1、E、ド的截面图形的面积是

9.（5分）过空间一定点P的直线中,与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有

条.

10.（5分）正方体ABC£>-ん助。01的棱长为2,P是面对角线上一动点,Q是底面

A8CO上一动点,则ハ1P+P。的最小值为

11.（5分）在平面直角坐标系スの中，点列ム（xi,yi）,A2（め,"），…,AnCxn,yn）>…,

1

（x+y）

Xn+1至nn

满足,若Ai

1,1）,贝リlim（IOAjI+10A2I+,■•+!0AnI）

y（x-y）n—8

n+i=7nn

12.（5分）已知数列｛畑｝的各项都不相同，且。1=1949,服=2021,1ー即冋4,-3）（2

WiWZ,在Z）,则正整数ん的最大值和最小值之和为.

二、选择题:（每题5分,共20分）

13.（5分）若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同

一平面上”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.（5分）设等差数列｛な｝的公差为d,dWO,若｛斯｝的前10项之和大于其前21项之和,

则（）

A.d<0B.d>0C.a\6<0D.ai6>0

15.（5分）已知平面anp=/,B,Cel,A6a且4グ,ハ印且。ポ，则下列叙述错误的有

（）

①直线与BC是异面直线;

②直线の在a上的射影可能与AB平行;

③过AD有且只有一个平面与BC垂直;

④过AD有且只有一个平面与BC平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

n

EfCap

ni=i

16.（5分）已知数列｛細｝满足£©WO,对于函数/（x）=ス园,定义ド（〃）=--------

i=l£aj

i=l

①若｛斯｝为等比数列,则ド"）＞0恒成立;

②若｛斯｝为等差数列,则ド（"）＞0恒成立.

关于上述命题,以下说法正确的是（）

A.①②都正确B.①②都错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

三、解答题

17.（14分）如图,正方体ABC。ーA1BC1O1中.

（1）求证:4C和AOi为异面直线;

（2）求二面角C-A。ー。的大小.

18.（14分）已知数列｛即｝的前"项和为S”ai=l,且3斯+i+2S”=3（"为正整数）.

（1）求数列｛唸｝的通项公式;

（2）记5=0+破+…+唸+…若对任意正整数〃,ASWS恒成立,求实数k的最大值.

19.（14分）如图,正方形ABC。所在平面外一点P满足P2丄平面A8CD,且ん8=3,PB

=4.

（1）求点A到平面PC。的距离；

（2）线段BP上是否存在点E,使得丄平面PAC,若存在，求出该点位置,若不存在,

则说明理由.

p

20.(16分)如图,已知四边形A8C£)为矩形,PO丄底面ABC。,PD=DC=2AD=2,E是

PC的中点,过E点作EFVPB交PB于点F.

(1)求证:南〃平面EZM；

(2)求证:PBA.ED-,

(3)求8。与平面E/か所成角.

21.(18分)对于数列A：a\,ai，■­­,an,若满足ゆW{0,1}(i=l,2,3,­•■,n),则

称数列A为“游戏数列”定义变换T：T将“游戏数列”A中原有的每个1都变成!,0,

原有的每个0都变成0,1

例如A：1,0,1,则T(A)：1,0,0,1,1,0,设A是’’游戏数列”,令ん=7'(ん.

1),k—1,2,3,

(1)数列A2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,求数列A”Ao；

(2)若数列Ao共有5项，则数列ん中连续两项相等的数对至少有几对?并请说明理由;

(3)若ん)为0,1,记数列ん中连续两项都是〇的数对个数为ん,蛇N,求，K关于ス的

表达式.

参考答案与试题解析

ー、填空题:（第1ー第6题,每题4分,第7-第12题,每题5分,共54分）

1.解:两个平面的位置关系是平行与相交,

若两个平面平行,则可将空间分成三部分,

若两个平面相交,可将空间分成四部分,

故答案为:4.

2.解:根据线面角的定义,当用是平面a的一条斜线,A为斜足，在直线上取点P,

过点P作尸8丄a,垂足为B,则A3为直线力在a内的射影，

ZPAB为直线和平面斜交所成角为0,

又/孙B为直角三角形的ー个锐角，所以。的取值范围是（0,

故答案为：（0,匹）.

由正方体的性质可知AB//CD,所以乙41c。是异面直线4C与AB所成的角,

设正方体棱长为1,

在Rt△4C。中，CD=\,A]C=43<A]D=y[2>

所以tanZAiC£>=V2，

所以异面直线A\C与AB所成角的大小为arctanノラ.

故答案为：arctanイ万.

4.解:根据题意,等差数列｛斯｝满足。1+。10=〃9,即〃i+m+9d=〃i+8d,变形可得。1=-

9X8d

所以!ビ眨二!1=1Iこ2_9a[+36d__9d+36d=27

a1°aJ+9da1+9d-d+9d8

故答案为:27.

8

5.解:等比数列他〃｝的通项公式为&=（1つ）凡且lim即存在,

nn—8

可得一0<l-a^l,解得冰（1,2）U[0,1）,

故答案为:（1,2）U10,1）.

6.解:由直观图可知,原等腰直角三角形的直角边AC=BC=2,斜边为AB,

在其直观图中,AC=1,BC=2,/ACB=45°,

"8=Jピ+ユ2一2x1义2X除=志豆る•

故答案为:V5-2Jデ.

7.解:如图所示:把展开图再还原成正方体,由经过平面外一点和平面内一点的直线和平

面内

不经过该点的直线是异面直线可得,AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线

的有:

AB和CD,AB和HG,EF和HC,共三对，

故答案为:3.

8.解：如图,

连接8E,BF,可得Rt△区4E丝Rt△ハC1F,则=NRDi。,

由等角定理可得,BE//D\F,则四边形8FDE为过ル、E、F的截面截正方体所得图形,

2二娓

•.•正方体A8C£>-Ai8Ci£>i的棱长为1,:.EF=®,BE=BF=^+(-L)

~~2

：.B至リEF的距离d=2一（喙）2=亨.

.♦.截面面积S=2X丄X返=迎.

222

故答案为:1.

9.解:根据异面直线所成的角的定义可知:

与其中一条直线平行的直线,与另一条所成的角相等

而在长方体的12条棱中,分为三组,每组只有四条直线相互平行

故只有四条直线与过P的直线成等角.

故答案为：4.

10.解:把△05cl沿BC1上转90°,与平面共面,当。1Q丄BC时,D\P+PQ=D\Q

最小,

PDi=2近,PQ=2=2ー近,

所以D\P+PQ的最小值为2+72,

故答案为：2+V2.

3

りG

AB

，]/ヽ

xn+l_2xn+^n-^

11.解：由＜],得Xfi=Xn+\+yn+\,yn=Xn+\•切+1,

丫同而风”）

•••物=ス〃+l+y〃+l=ス〃+2+y〃+2+X"+2ール+2=2*+2,

yn=Xn+l-如+l=%+2+如+2-4+2+切+2=2切+2,

-11

,

,・メ海至メペyn+2^yn

=

.ス1=1,yi=1,••え2=1，>y20>

...数列｛切｝的奇数项和偶数项均构成以1为首项,以』为公比的等比数列,

2

'n-1

皮）2,ハ为奇数

则Xn=n；

（が,n为偶数

数列｛切｝的奇数项构成以1为首项,以丄为公比的等比数列,偶数项均为0,

2

，azl

yJ（1）-2,n为奇数

|o,n为偶数

.•.当"为奇数时,lOAnlWgg，

2_[

当〃为偶数时,|0Anl=g）2，

lim（|0A!|+|OA|+-+|OA|）

n—82n

二&・二下」厂2+272.

1——1——

22

故答案为:2+2^2-

12.解:根据题意，由6｛4,-3｝,の=1949,鼐=2021,

则延-41=2021-1949=72,

因为72=4X18,则当s-的ー1=4时,ん取得最小值，

此时数列｛即｝为等差数列,其公差为4,则有公=m+（た-l）d=1949+4（Z-1）=2021,

解可得:2=19,ス的最小值为19,

当々­=4和ゐー0一i=-3交替时,ス取得最大值,

此:时，k=2（2021-1949）+1=145,即ス的最大值为1445

故正整数k的最大值和最小值之和为19+145=164；

故答案为：164.

二、选择题:（每题5分,共20分）

13.解:充分性成立:“这四个点中有三点在同一直线上”,则第四点不在共线三点所在的直

线上,

由一条直线和直线外一点确定一个平面,推出“这四点在唯一的一个平面内”；

必要性不成立:“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；

故选：A.

14.解:等差数列｛“”｝的公差为"，dHO,

：｛%｝的前10项之和大于其前21项之和，

3_d>21m+丝也.

22

Alloi<-165J,即ai<-15d,

...ai6=ai+15dV0.

故选：C.

15.解：对于①，若直线A。与是共面直线,设AZ）与BC共面丫,

•..不共线的三点B,C,ハ均在B与丫内,..邛与丫重合，

又不共线的三点A,B,C均在a与丫内,，a与丫重合,则a与0重合，与ctA0=/

矛盾，

故直线4。与是异面直线,①正确;

对于②，当4B丄/,CD丄I,且二面角a-/-0为锐二面角时，直线C。在a上的射影与

AB平行，②正确;

对于③,只有当与BC异面垂直时，过有且只有一个平面与BC,否则，不存在

过AO与BC垂直的平面,故③错误.

对于④,在4。上任取一点,过该点作8c的平行线,则由AO与/’确定一个平面，

该平面与BC平行,

若过A。另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质,可得过直线BC外的一点A

有两条直线与BC平行,与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故④

正确;

故错误命题有1个.

故选:A.

D.

0

16.解:由y=x和y=x|x|均为奇函数,图象关于原点对称,

且都是增函数,

可得の+敗+…+斯与。1|の|+。21a2|+…+斯|斯I的符号一致,

又エaHO,可得4|+(22+...+。"与0|”||+“2心2|+...+。"|4"啲符号同正同负,

i=l

所以①②都正确.

故选:A.

三、解答题

17.(1)证明:由异面直线的判定定理可得,

平面ADOん内一点ん与平面外一点C的连线んC与平面内不过ん的直线Aひ为异面

直线，

故AiC和Aへ为异面直线;

(2)解：连接ん。，与A£>i交于点。,则点。为A£>i的中点，连接C。,

因为ん。。1ん为正方形,

所以。。丄AQi,

因为△ACへ为正三角形,

所以COLAD\,

故/C。ハ为二面角C-AOiール的平面角,

不妨设正方体的棱长为2,

在Rtac。。中,。ハ=£A]D=&，CD=2,

所以tanZCOD=^=-^=V2，

0Da*

故二面角C-AD\-D的大小为arctan我.

18.解:(1)由题设条件得

3斯+1+2s〃=3,3斯+2s〃ー1=3

两式相减,得3斯+L3斯+2(Sn-5zz-1)=0,

BPan+14'an，n＞］又a2.

所以通项为:a

a

⑵S=limS=l3

nf8n匸q-2

要恒成立,由于s〃递增

所以只要ぬ=S|,即え的最大值为2.

3

19.解:⑴由题意，ル3］メ得X3X3X4=6，

由PB丄平面ABCD,PBu平面PBC,可得平面PBC丄平面ABCD,

而DCLBC,且平面PBCC平面ABCD=BC,

...QC丄平面PBC,可得ハC丄PC,

;。=3,PC=V?彳=5,•'"△PCD-X3X5時，

设A到平面PC。的距离为〃，则丄x至h=6,即"=」2.

325

/.点A到平面PCD的距离为」2；

5

(2)以B为坐标原点,分别以BC、54、8P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则D(3,3,0),C(3,0,0),P(0,0,4),设E(0,〇,t)(O0W4),

PC=(3,0,-4)，DE=(-3,-3,t)，

若。E丄平面力C,则DE-PC=-9-4t=0,即f=-9,不合题意.

4

故线段BP上不存在点E,使得。と丄平面PAC.

X

//\E\)

/以・ゴニ:iイ

"/一」一，ご;、レL--ーンノ“

20.证明:(1)连接AC交B。于点。,连接OE.

..•底面ん8C。是正方形,...点。是AC的中点.

又E为PC的中点,...OE〃以.

又OEu平面EQB,孙に平面EC8,

...ハ〃平面EDB.

(2)•.•尸ハ丄底面ABC。，BCu平面A8C£>,：.PD1BC.

♦.•底面んBC。是正方形,...C。丄BC.又PDCDC=D,POu平面PC。，。。<=平面PC。,

；.BC丄平面PC。.又。Eu平面PC。，：.DE±BC.

"：PD=DC,E是PC的中点,：.DE±PC.又尸Cu平面尸8C,8Cu平面P8C,PCQBC

=C,：.DEmPBC.而PBu平面PBC

：.DELPB.XEFLPB,且。EAE尸=E,

又。Eu平面。EF,EFu平面。EF,ユ卩⑶丄平面后ド。,

又因为ど。(=面EF。，所以尸8丄E。.

(3)解:由(2)知尸8丄平面Eド。,所以8。在平面。E/内的射影为。F,

所以NBDF为BD与平面EFD所成角，

又因为PB丄。F所以DF是ふPDB边PB上的高,

在△ん。/J中可得8。=遥，在RtZXPB。中，可得吁ケ2+5=3,

又エxPDXBD=エXPBXDF,

22

所以。F=2返，

3

在RtZ\B。尸中，COSZBDF^^L=^,

BD3

所以/8。ド=arcco旦.

3

所以8。与平面EFD所成角a