2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学(文)试题

一、单选题

I.在等差数列｛%｝中，4+“5=6,则。4=()

A.3B.4C.5D.12

【答案】A

【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质，有4+%=24,即可确定答案.

【详解】因为数列｛4“｝为等差数列，且3+5=4+4,

所以4+%=4+%，又%+%=6,所以%=3,

故选：A.

2.命题“VxeR,x?+3ox+l>0”的否定是()

A.VxeR,x2+3ar+l<0B.3xeR,x2+3ar+l<0

C.VxeR,x2+3ar+l>0D.3xeR,%2+3ax+l<0

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.

【详解】命题“VxeR,*2+3火+1>0”的否定是"t:­,x2+3av+l<0,>.

故选：D.

3.“a>l”是“(a-1)(a-2)<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先解不等式(。-1)(。-2)<0,再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】解不等式("1)("2)<0得

由1<。<2能推出。>1,由。>1不能推出

所以“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的必要不充分条件.

故选B

4.若6Va<0,则下列结论不正确的是()

A.B.ab>a2C.同+例>|〃+.D.\/a>\/b

【答案】C

【解析】由不等式的基本性质可判断A,B,取特殊值可判断C,由函数单调性可判断D,从而得出答案

【详解】解：由b<“VO,则所以选项A正确.

由则必>〃2,所以选项B正确.

设6=-2,。=一1时，|4+W=|a+q与c矛盾.选项C错误.

由函数、=取在R上单调递增，可得：冷却，所以选项D正确.

故选：C.

5.已知两定点6(5,0),鸟(-5,0),曲线C上的点尸到访、入的距离之差的绝对值是8,则曲线C的

方程为()

【答案】B

【分析】由双曲线的定义判断出动点的轨迹，然后利用双曲线中三各参数的关系求出从即可写出

双曲线的方程.

【详解】解：据双曲线的定义知：P的轨迹是以巴(5,0),

6(-5,0)为焦点，以实轴长为8的双曲线.

所以c=5,a=4,b2—^-a2—9,

所以双曲线的方程为：—-^=1

169

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线的定义，差的绝对值要小于两定点间的距离是特别需要注意的地方，属基

础题.

6."RC的角4,B,C的对边分别是a,b,c,满足条件“a=l,b=上,A=?”的三角形的解的

6

个数是()

A.2B.1C.0D.不能确定

【答案】A

【分析】根据条件结合正弦定理，代入计算即可得到结果.

【详解】在“WC中，a=\,Z?=A/3,A==,

1_6n

由正弦定理可得.兀sin3，解得sinB=-^,

sin-2

6

（75兀/力/兀一p-2兀

又b>a,—<8<兀,♦，Bn=w或—1

633

故满足此三角形的解有2个.

故选:A

7.已知/0）=2/—2于（0）,贝iJ/"）=（）

.44

A.e~—B.2e—C.e+ln2D.2e~—1

33

【答案】B

【分析】求导得到导函数，计算/‘（（））=:,再代入x=i计算得到答案.

【详解】•♦・/（x）=2e'—2与/（0）,则r（x）=2e'—2/'（0）,

7

.•/(0)=2-2.⑼，解得尸⑼=了

4

.­.f'(x)=2e'-j,

4

故选：B

x+y>4

8.若x,y满足约束条件贝心=3》+），的最小值为（）

）43

A.5B.8C.7D.6

【答案】D

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线>=-3x+z,数形结合可得当直线过点4（1,3）时,z取最小值,

此时ZmM=3xl+3=6-

故选：D.

223

9.已知命题。：VXGR,X-X+1<0:命题q：BxeR,x>x>则下列命题中为真命题的是（）

A.P八4B.7八qC.P八fD.八f

【答案】B

【解析】分别判断两个命题Cq的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

【详解】对于命题P,取x=l时，1<0不成立，故命题。为假命题，

对于命题q,尸-i时，（-1>>（-i）3成立，故命题q为真命题，

所以〃人4为假命题，力人"为真命题，0Ar为假命题，为假命题，

故选：B

【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，«的真假是解决本题的关键.

10.某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金。（”>0）元，得到的利润为6（^>0）元，收

益率为2（%）,假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（x>0）元，得到的利润也增加了x

a

元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

【答案】C

【分析】根据题意建立不等关系，即可求解.

【详解】若使得该项投资的总收益率是增加的，则（«>0^>0,x>0）,

a+xa

得a>b.

故选：C

11.已知函数“X）的导函数是尸（X）,/不）的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.函数/（x）在（-2,-1）上单调递减

B.函数/(x)在x=3处取得极大值

C.函数/(x)在(T,l)上单调递减

D.函数/(X)共有4个极值点

【答案】C

【分析】直接利用导函数的图象的正负情况，判断函数的单调性即可.

【详解】由函数“X)的导函数/Rx)的图象，

可得X«Y>,_3)U(-LI),x«-3,T)U(l,同,FRO,

所以函数.“X)在(-8,-3),上单调递减,在(一3,-1),(1,+?)上单调递增.

所以函数.“X)在x=-3和x=l处取得极小值，在4-1处取得极大值，

结合选项可知，只有选项C正确.

故选：C.

【点睛】(1)可导函数)，=4x)在点刈处取得极值的充要条件是/(xo)=O,且在切左侧与右侧/(x)的符

号不同.

(2)若兀0在(a,6)内有极值，那么人r)在(a,6)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数

没有极值.

12.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数R0.它指的是，在自然情况下(没有外力介

入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它

的简单计算公式是：RO=1+确认病例增长率x系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例

连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，确认病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔

时间的平均数为5天，根据以上RO数据计算，若甲得这种传染病，则5轮传播后由甲引起的得病的

总人数约为()

A.81B.243C.248D.363

【答案】D

【解析】先求出传播指数RO,再计算出每轮感染的人数，相加即得.

【详解】记第1轮感染人数为卬，第2轮感染人数为电，…，第”轮感染人数为则数列仅“｝是

等比数列，公比为q=RO,

由题意AO=l+40%x5=3,即4=3,

所以〃i=3,4=9,%=27，%=81,%=243,

总人数为S$=3+9+27+81+243=363人,

故选：D.

【点睛】本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播

指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前5

项和.

二、填空题

13.不等式一1+220的解集为_____.

x-\

【答案】卜卜＞1时43}

【分析】原不等式等价于2二士。，解之即可.

X-]

【详解】原不等式等价于2上x-一\20,解得了＞1或XV1：.

x-\2

所以不等式白+220的解集为卜X＞1或^4}

【点睛】本题考查分式不等式的解法，属基础题.

14.已知曲线y=2f—7在点尸处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标为.

【答案】（2,1）

【分析】设切点尸（，％”），根据导数的几何意义以及导数的定义得加，进而可以求出”的值，进而得

到结果.

【详解】设切点切线斜率为k,由

y=lim包=lim[2（x+©），7卜（2x、7）=M（4x+2最）=4x，得人文,“=4加・由题意可知

AKTOAX-Ar'/

4m=8,所以加=2,代入y=2d-7得〃=1,故所求切点P为（2,1）.

故答案为：（2,1）.

15.已知尸是抛物线V=4x上一点，且P到焦点厂的距离与尸到直线x=4的距离之和为7,则

\PF\=.

【答案】6

【分析】条件结合抛物线的定义列方程求出点尸的横坐标，再求|依|即可.

【详解】抛物线丁=4X的焦点厂的坐标为(1,0),准线方程为x=-l,

设点P的坐标为(毛,%),

因为P是抛物线>2=4X上一点，所以|PF|等于点P到准线x=-l的距离且y；=4x。，x0>0,

由已知尸到焦点尸的距离与P到直线x=4的距离之和为7,

所以％+1|+愉-4|=7,

因为与20,所以可整理成人-4|=6-%，解方程得%=5,

所以点P到准线4-1的距离为6,故|PF|=6,

故答案为：6.

16.已知「，鸟为椭圆二+与=1(a>A>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，

a~b~

BFcBF2..r^FxF；,则椭圆离心率的取值范围为__________

【答案】［。，用

【分析】根据条件，在心内运用余弦定理求解.

;

【详解】

设/《叫=々，忸用=幽=",用=2c,由条件知：，72COS6Z>—X4(72=C2

4

仁2

/.cosa>—=e2…①

ar

2

在工中，由余弦定理知：cosa」叫:四二-=^^=l-2e

2阿卜幽2a2

由①得：1一2/2。2,.~24,*43；

33

故答案为：ee0,中.

三、解答题

17.(1)解关于x的不等式一/一工+2<0;

12

(2)若x>0,求/*)=—+3x的最小值.

x

【答案】(1)(f,-2)U(l,田)；(2)12.

【分析】(1)将不等式化为(x-l)(x+2)>0,即可求解；

(2)根据基本不等式即可求解.

【详解】(1)由-炉_尤+2<0,即Y+x-Z〉。，

B[J(x-l)(x+2)>0,

解得x<-2或x>l,

所以不等式的解集为(f,-2)U(1,心).

12(17

(2)由x>0,则/(幻=一+3工22、一•3x=12,

XVX

当且仅当1匕2=3x,即x=2时等号成立，

x

故f(x)="+3x的最小值为12.

X

18.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知。(sinA-sinC)=bsin4-csinC.

⑴求角3的大小；

⑵若6(sinA+;inC)=8,5=4,求及C的面积.

sinB

【答案】(1)B=W；

⑵46

【分析】(1)由正弦定理化弦为边，再由余弦定理即可得解；

(2)根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求出双，再由面积公式求解即可.

【详解】(1)由正弦定理得，a(a-c)=h2-c2,

整理得〃+。2-6=g,

^22_,2

由余弦定理得cosB="'一"，

2ac

则cosB=—,

2

又0v兀,

(2)由正弦定理得":+c)=8,

b

整理得a+c=8,

由余弦定理得〃=(，+c2-laccosB={a-\-c)2-2ac-2accosB,

则16=64-3改，

解得ac=16.

S^ABC=；acsin8=；xl6x#=4百.

19.已知函数f(x)=gd—d+a.

(1)当。=0时，求函数/(x)的极大值与极小值；

(2)若函数/(x)在［L3］上的最大值是最小值的3倍，求。的值.

【答案】(1)/(x)的极大值为0,7(x)的极小值为(2)2

【分析】(1)先求导可得/(力=犬-2彳，再利用导函数判断了(x)的单调性，进而求解；

(2)由(1)可得在［1,3］上〃x)的最小值为/(2)=—g+a,由61)=—■|+“，〃3)=a,可得/(x)

的最大值为〃3)=a,进而根据=3,”q而,求解即可.

【详解】解：(1)当。=0时，f(x)=^x3-x2,

所以尸(力=幺一2八令以(x)=0,则x=0或x=2,

贝lj当X£(y,0)和x«2,+oo)时，当％40,2)时，//(x)<0,

则/(X)在(T,o)和(2,+。)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

所以“X)的极大值为/(o)=o；/(%)的极小值为〃2)=-］.

(2)由题,〃x)=；V-x2,由(］)可得/⑺在［1,2］上单调递减，在(2,3］上单调递增,

所以〃x)的最小值即为的极小值/(2)=-：+。；

因为〃1)=—；+a,〃3)=%所以〃x)a=〃3)=a,

因为“X)1rax=3/(叽，则a=3(-g+a),

所以4=2.

【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值，考查利用导函数求函数的最值，考查运算能力.

20.己知椭圆C：£+W=l（a>b>0）的离心率为且，左、右焦点分别为《、人.设P是椭圆C上

a-b2

一点，满足轴，\PF2\=^.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）过目且倾斜角为45。的直线/与椭圆C相交于A,B两点,求“108的面积.

【答案】（1）—+/=1;（2）亚

4-5

【解析】（1）根据条件列出关于“，8c的方程求解；（2）设直线x=y-6,与椭圆方程联立,

'M,=3'|。£卜回一刃，代入根与系数的关系,求三角形的面积.

a2

•2«

【详解】（1）由条件可知巴=%解得：a=2,b=\,c=6

a2

a2=从+c2

所以椭圆C的标准方程是二+丁=1；

4

（2）设直线/：x=y-石，见法必），直线/与椭圆方程联立

x=y-y/i

，“2,得5y2-2岛-1=0,

—+r=1

4

2y/3_-1

%+%=-，乂%=彳，

S^AOB=gX|0用X3一%|=等+=|亚

n

21.定义「一,为n个正数P„P2,-P„的“均倒数”.

Pi+p2+---+p„

已知各项均为正数的数列｛4｝的前”项的“均倒数”为丁二.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

（II）设dn=2"%，试求数列｛4｝的前〃项和7；.

【答案】（I）M=4〃-1；（］1）%=（4〃-5）2用+10.

【详解】试题分析：（I）由已知可得％+%+…+4,=〃（2〃+1）=4，当〃22时,a“=S“-S,i=4〃-l,

当〃=1时验证也成立，即得解.

(H)由于7,=3x2+7x22+11x23+…+(4n-l)x2"(1)

所以，27；=3*22+7x23+11x24+…+(4〃-l)x2""(2)

利用“错位相减法”得解.

n1/、

试题解析：(I=5—f••-«>+%+…+q=〃(2"+l)=S“

4H-------1-cin十1

当“N2时,。“=S“-S,i=4鼠-1当〃=1时也成立，

([1)方=3x2+7x22+11x2'+…+(4〃—l)x2"(1)

27；,-3X22+7X23+11X24+-+(4«-1)X2,,+'(2)

由(1)-(2)得—(=6+4x(22+23+…+2")—(4〃一1)2用

7；=(4〃_5>2向+10

【解析】1.数列的通项；2.数列的求和，“错位相减法”.

ny

22.已知函数/(x)=?其中e为自然对数的底数.

e

(1)讨论"X)的单调区间：

⑵若。=3,设函数g(x)=2+lnx,当不等式犷'(x)+g(x)V/"Y+l在xw(0,+oo)上恒成立时，求实数加

的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

「3।)

(2)-+1.+OOI

【分析】(1)由题得/'(©=吗也，分讨论单调性解决即可；

e

3r1Inx3x1Inx

(2)参数分离得将4+M3在xe(0,E)上恒成立，令力(x)=—+M