2021-2022学年河南省南阳市校高二年级下册学期期中模拟考试数学（理）试题含答案

2021-2022学年河南省南阳市校高二下学期期中模拟考试数学（理）

试题

一、单选题

1022—玉

1.已知复数z=^——巴，则复数z的虚部为（）

2+i

A.-1B.1C.—iD.i

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数z,即可判断；

【详解】解:因为F=i,i2=—l，『=7,/=[,所以i的=[4205+2=j2=_],

20222

cr,,i-3i-l-3i(-l-3i)(2-i)-2+i-6i+3i,

所以z=、F=K=(2+i)(2.i)=­5—"J

所以复数z的虚部为-1;

故选：A

2.sin：的导数是()

4

兀

Bc.—1cos—

44

71

)S—D.0

44

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式，直接计算即可

TTTT

【详解】.y=sinf,常数的导数为0,所以，y=(sinf)=0

44

故选：D

3.已知。也＜：＞0,则2《,幺的值

abc

A.都大于1B.都小于1

C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于1

【答案】D

【分析】先假设“=匕=以这样可以排除A,B.再令“=1力=2,c=4,排除C用反证法证明选项D是

正确的.

【详解】解:令a=b=c,则&=：=2=1,排除A,B.

abc

令a=l,6=2,c=4,则2=£=2,幺=1,排除C.

ahc4

对于D,假设,则万<a,cy〃,a<c,

ahc

相加得。+万+c<a+6+c,矛盾，故选D.

【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.

4.有如下的演绎推理产因为对数函数y=log„x当“>1时在(O,+s)上是增函数;已知y=log,(X2-2X)

是对数函数，所以y=log?(V-2x)在(0,+8)上是增函数”的结论是错误的,错误的原因是

A.大前提错误B.小前提错误C.大小前提都错误D.推理形式错误

【答案】B

【分析】三是应用三段论解决问题时.，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推

理形式是正确的，结论必定是正确的.

【详解】y=log2(d-2x)并不是对数函数，而是对数函数与二次函数的复合，故小前提错误.

故选：B

22

5.J,^2xsinx+Vl-x()

1C.|D.尹2

B.

2

【答案】A

【分析】将原式化为J：2x2sinmk+J：(VT?%，则利用定积分的几何意义和性质即可求出答案.

J^2x2sinx+J1-X，,=J2x2sinj2/x+j^\ll-x2Vr,

【详解】(]

因为y=2x2sinx是奇函数,

所以J：2/sinxdx=0;

又%表示y=&二/与X轴所围部分的面积，即圆f+>2=1面积的一半，

所以肚=5，

因此J|(2/sinx+Jl-x?肚=],

故选:A.

【点睛】本题考查了定积分的几何意义，考查了学生的计算能力，难度不大.

6.在平面几何里，有勾股定理：”设“ABC的两边A8,8c互相垂直，则有|43「+|AC「=|BC|2",

扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥A-3CD的三个侧面ABC,ACD,谢两两互

相垂直，则可得（）

A.|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B.|AB|2X\AC[X|AD|2=|«C|2X|CD|2X|BD|2

C.SABC+5ACD+SABD=SBCDD.S4ABeXS&ACDXSAAPO=S^BCD

【答案】c

【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面

的面积的平方和，边对应着面.

【详解】由边对应着面，边长对应着面积，

22

由类比可得：sABC+s~ACD+s~ADB=sBCD,

【点睛】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查运算求

解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题.

7.用数学归纳法证明“不等式.+++系++*吟对一切正整数〃恒成立，，的第二步

中，已经假设〃=%时不等式成立，推理〃=%+1成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是

证明（）

A.---^>0---------1------------------->0

3&+23k+33A:+43k+23Z+43Z+3

--一111

C.^>0---------1------------------->0

3A+13k+33k+23A+23k+43A+3

【答案】B

【分析】利用数学归纳法，结合"=%和〃=%+1时，不等式左边增加的项来确定正确答案.

【详解】时左边比"〃时左边增加了七六

'减少了Q

所以证明-：-----1-----------1------------------=----------1-------------------->0

3A+23A+33Z+4k+\3Z+23女+43k+3

故选：B

8.己知函数/(x)为R上的可导函数，其导函数为尸(x),且满足/(x)+/'(x)<l恒成立,

"0)=2022,则不等式/(X)<2021+1的解集为()

A.(e,+co)B.(fe)C.(-8,0)D.(0,+8)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=e'"(x)-l],g(0)=/(0)-l=2021,已领已知条件判断其导数的正负，进而判

断函数g(x)=e'"(x)-l]的单调性，将不等式/(“<2022'+1变形为e'"(x)-l}<2021,即

g(x)<g(0),即可得出答案.

【详解】构造函数g(x)=e*"(x)-l],g(0)=/(0)-l=2021,

则g，(x)=e*"(x)+r(x)-l]<0,故g(x)=e*"(x)-l]为R上的单调减函数，

不等式〃制<20210+1,即e，"(x)-l}<2021,即g(x)<g(0),

x>0,

故选：D

9.给出定义：设，(x)是函数y=F(x)的导函数，/(X)是函数/‘(X)的导函数，若方程—(x)=0有

实数解％,则称点(%,./■(土>))为函数y=/(x)的“拐点已知函数/(x)=4x+3sinx-4cosx的拐点是

“(%/($)),则点M()

A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上

C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上

【答案】D

【分析】求出尸(X),令/气)=0解得:3sinx0=4cosx0,从而得到/&)=4%,即可得到答案.

【详解】因为函数/(x)=4x+3sinx-4cosx,

所以/'(x)=4+3cosx+4sinx,所以f(x)=-3sinx+4cosx.

由/"(x(>)=-3sinxo+4cos玉)=0,得：3sinx0=4cosx0.

所以f(以=4%+3sinxa-4cos=4x0,

所以点〃在直线y=4x上.

故选：D

10.设点P是函数f(x)=2e'-r(0)x+r⑴图象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为a,则角a

的取值范围是()

【答案】B

【分析】在尸(X)中令X=O后可求r(o)=l,再根据导数的取值范围可得tan。的范围，从而可得a

的取值范围.

【详解】〃x)=2e*—r(0)x+尸⑴，

.•.r(x)=2e*-r(o),.••广(0)=2-尸(0),广(0)=1,"卜)=26*-“广⑴，.•/(x)=2eT>T.

点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,「.tana>-1.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属

于基础题.

11.若函数〃x)=lnx+ar2-2在区间Cj』J内存在单调递增区间，则实数。的取值范围是()

A.(-00,-2)B.C.(-2,+oo)D.(-8,+oo)

【答案】D

(分析】把题意转化为«>一［在%上有解，设g(x)=-利用导数判断单调

性，即可求解.

【详解】由f(x)=lnx+以J2可得：f(A-)=-+2av.

X

因为函数〃x)=lnx+"-2在区间仪,1］内存在单调递增区间，

)

所以尸(幻>0在xe(gl)上有解，即。>一.在xe|3,1)上有解.

设=由/(力=月3>0在xe(；.

上恒成立，所以g(x)在单调递增,

所以g［；］<g(x)<g⑴.

所以a>g(j=-8.

故选：D

12.若函数f(》)=/-111》+》(忆€11)有三个极值点，则k的取值范围是()

A.(e,+8)B.(O,e)

C.(e-I,+oo)D.(0,e—1)

【答案】A

【分析】把题意转化为函数/(x)=§-lnx+x(«eR)有三个极值点，即Z=E必有两个不等于1的

ex

正实数根.利用导数求出&>e,再验证其符合题意.

【详解】f(x)*-lnx+x的定义域为(0,”)0悖—).

令r(“=o,显然是方程的一个根.

由函数〃x)=§-lnx+x(ZeR)有三个极值点，可知％=厘必有两个不等于1的正实数根.

ex

令g(x)=?，(x>0),则g〈x)=Nx-1).

令g'(x)>°，有X>1;令g'(x)<()，有0cx<1；

所以gGOmin=g(l)=e，因此有%>e.

此时k=f有两个根a、b,其中0vavl<lv6,

X

所以在(o,a)上，r(x)<0,“X)单调递减：在(a,l)上,r(x)>0,“X)单调递增；在(1回上,

r(x)<o,〃x)单调递减；在(九田)上,ra)>o,F(X)单调递增.

所以/(X)有三个极值点，符合题意.

故A>e.

故选：A

【点睛】导数的应用主要有：

(1)利用导函数几何意义求切线方程；

(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；

(3)利用导数求参数的取值范围；

(4)利用导数研究函数的零点问题.

二、填空题

13.设复数z,满足㈤=1,同=2,Z|+z2=y/3-i,则卜一zj=

【答案】x/6

【解析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求

解出匕一2|的值.

【详解】设4,Z?在复平面中对应的向量为。4,0Z2,z,+Zz对应的向量为04,如下图所示：

_____12._021

因为4+Z2=6-i，所以忆+Zz|=,3+1=2,所以cos/OZ]Z3=---------=-，

1x2x24

又因为NO4Z3+NZQZ2=180。，所以cos/ZQZ?=-cosZOZ,Z3=-^,

所以,Z『=OZ,2+07\-2OZ|.OZ2-cosZZ.OZ,=1+4+1=6,

所以,司=遥，又忖12|="4卜后，

故答案为：瓜.

【点睛】结论点睛：复数的几何意义：

(1)复数z=a+bi｛a,b&R)《一.对应》角•平面内的点Z(a⑼(a,6eR)；

(2)复数z=a+bi(a,beR)<.・对应》平面向量(97.

14.设7“是公比为q的等比数列｛%｝的前w项积，则数列看，、,争是等比数列且其公比的值是二

通过类比推理，可以得到结论：设S,,是公差为"的等差数列｛%｝的前〃项和，则数歹IJS6-S3,$9-M，

几是等差数列，且其公差为.

【答案】9d

【分析】由等比数列的性质可类比等差数列的性质，可根据等差数列的定义求出公差.

【详解】通过类比推理，可以得到结论数列$6-$3，Si，%-邑是等差数列，

其公差为Sg-56-06-S3)=3q+214-(34+12d)=9d.

故答案为：9d.

15.已知函数/(x)=cosx+e'+e-，；x2,则关于x的不等式“2x-l)<〃3+x)的解集为

【答案】1]，4

【分析】根据函数奇偶性的定义判断f(x)为偶函数，再利用导数讨论函数/(x)在(0,+8)上的单调

性，最后利用奇偶性及单调性求解原不等式的解集.

【详解】函数/(0=8$》+^+6-，-3*2的定义域为??,

f(-x)=cos(-x)+e-t+e*-g(-x)2-1x2=/(x),

=cosx+ev+e~A

所以函数/(X)为偶函数.

当xNO时,有〃x)=-sinx+e*-e-*-x,令g(x)=/，(x),贝!!

(x)=ev+e-x-cosx-1>2vevxe-v-cosx-l=l-cosx>0，

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,g(x)Ng(O)=O,即r(x>0,

故函数/(*)在(o,+8)上单调递增，又“X)为偶函数,

所以函数/(X)在(-8,0)上的单调递减,

所以不等式”2X—1)</(3+X)可转化为|2X—1|<|3+M，BP3X2-10X-8<0,

2

解得

故原不等式的解集为卜|，4).

故答案为：

16.一般地，对于一元三次函数“X),若/〃(%)=0,则(改”/(七))为三次函数“X)的对称中心，

已知函数/(x)=d+加+1图象的对称中心的横坐标为毛(%>0),且/(x)有三个零点，则实数a

的取值范围是.

…J3⑸

【答案】f°,——

\/

【分析】求出一(X),令/〃(x)=0得。<0,由6")>0、r(x)<0可得/(X)的极大值、极小值，根

/(0)>0

据三次函数f(x)有三个零点得./'网)=%+1<0解不等式组可得答案.

【详解】xeR,f'(x)=3x2+2ax,f\x)=6x+2a,令/"(x)=0解得题=-1>0,

则有Q<0,又/(力=3工1+丁)，

令秋x)>o解得x<0或x>W，令r(x)<0解得0<一彳，

所以函数“X)在(-8,0),(年刊|上单调递增，在(0,-引上单调递减,

所以〃x)的极大值为/(O)=1,/(X)的极小值为/f-yK^y+1,

又三次函数“X)有三个零点，即函数y=/(x)的图象与X轴有三个公共点,

/(0)>0

'解得…早

所以

+1<0

(3近

所以实数a的取值范围是—，-专一

故答案为：f°,——

三、解答题

17.已知复数4=x2_]+(x2+3x+2)i,Z2=x+(3-2x)i,XGR.

(D若4为纯虚数，求实数x的值；

(2)在复平面内，若由对应的点在第四象限，z?对应的点在第二象限，求实数x的取值范围.

【答案】(l)x=l

⑵(―2,—1)

【分析】(I)由纯虚数的概念列方程组求解

(2)由复数的几何意义列不等式组求解

卜2-1=0

【详解】(1)为纯虚数,"+3》+2*0解得x=L

_]>0

⑵对应的点在第四象限'4+3、+2<。’解得：

x<0

•・・Z2对应的点在第二象限，I.3-21>0'解得：

综上得，实数x的取值范围为(-2,-1)

18.用数学归纳法证明l+g+g+…+/wg+〃（〃GN*）.

【答案】证明见解析

【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.

13

【详解】⑴当〃=1时，左边=1+,=耳=右边，

即当〃=1时，原不等式成立，

⑵假设当〃F/eN*）时，原不等式成立，

则当n=k+1时,

1111111,Ck11/,,、

If+-*"•••-*—F-*—7----•—7------K..H—7r<-+Zr+2•—=—1）,

232*2*+12*+22"+2"2/2、，

即当”=%+1时，不等式成立，

综合⑴和⑵得，原不等式对所有的〃6N*都成立.

19.设函数7'（x）=or-§,曲线y=/（x）在点（2>〃2））处的切线方程为5x-2y-4=0.

⑴求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=/（X）上任一点处的切线与直线X=0和直线y=2X所围成的三角形的面积为定值,

并求此定值.

2

【答案】（l）/（x）=2x--；

x

⑵证明见解析，定值为4.

【分析】（1）根据切线方程可得/（2）,根据切线斜率可得/'（2）,列方程组求出八人即可;

（2）设。（匹，几）为y=/（x）上任一点，根据导数几何意义求出该点出切线方程，计算切线与x=0、

V=2x所围成的三角形的面积即可得到结论.

【详解】（1）将点（2,/（2））的坐标代入直线5x-2y-4=0的方程，得/（2）=3,

Vf{x)=ax--,则/'(x)=a+g,

XX

又直线5x_2y_4=0的斜率为g,

尸⑵…拉解得

。=22

于是故f(%)=2x—一；

b=2x

〃2)=2a-5=3

（2）设点尸（题，儿）为曲线y=f（x）上任意一点，

22

由⑴知/"）=2工一一，r（x）=2+—,

xx~

22

则f（%）=2%--,/,（x„）=2+—,

X（）xo

y=/（尤）在点PE，几）的切线方程为二（2+1）（“-工0）,

（214

即y=2-1—T1---，

I/

4（4}

令x=o,得了=-一，从而得出切线与y轴的交点坐标为BO,一一,

X。Ixo）

=2x

y（=9

联立f.214,解得「一广，

y=2+—x--[y=4x（）

\玉）J“0

从而切线与直线y=2犬的交点坐标为4（2毛,4毛）.

.♦•曲线y=/（x）在点尸（4,几）处的切线与直线x=0、y=2x所围成的三角形的面积为

5=1-,|2x<>|=4.

故曲线y=/（x）上任一点夕（通,九）处的切线与直线X=（）、y=2x所围成的三角形的面积为定值且此

定值为4.

20.（1）已知x>0,y>0,2x+y=l,求证：（1+—）［1+一）w25.

（2）用分析法证明：对于任意a,be（0,6］时，^\ah-?\>>5\a-b\.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析

【分析】（1）由题，利用2x+y=l,代入不等式左式得+生宁），化简去括号，即

可利用基本不等式证明；

（2）由分析法定义，先两边同时平方，整理后得/廿―36-3户+920,结合因式分解讨论参数范

围，即可证明

【详解】（1）证明：：x>0,y>0,2x+y=\,

“+竽户亨卜同收）

=13+—+^>13+2回羽=25,

yx'yx

Ay11

当且仅当一=2，即x=；,y=:时，等号成立，

yX42

+>25,即得证，

（2）证明：要证版—3|2四a-4，即证（而一3）2之3（北一"2,

即证一6次?+9—3/+6劭-3b2>0,即证-3乂〃-3）20,

•.",。6（（）,司，；./_340,b2-3<0,

3乂加-3/0成立，即原不等式成立.

21.一个圆柱形圆木的底面半径为hn,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其

中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCZ）（如图所示，其中。为圆

2

心，C,O在半圆上），设4OC=6,木梁的体积为V（单位：mD,表面积为S（单位：m）.

（I）求V关于。的函数表达式;

（2）求e的值，使体积v最大；

【答案】（1）v（e）=io（sinecose+sine）,ee（o,］）；（2）0=^.

【详解】试题分析：（1）根据圆的性质和三角函数的定义可得出

V⑻=10（sin8cose+sine）,ee（0,5；（2）对函数丫⑻=10（sinecose+sine）,9e（0,g］求导，得

到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的夕

试题解析：（1）梯形的A8CD面积S.cL空亭nsine=sin，cos，+sin，,，€（0,?.

体积丫⑻=10（sin6cos，+sin0）,0e

（2）V'（6»）=1O（2COS26?+COS0-1）=1O（2COS6＞-1）（COS0+1）.

令V'（夕）=0,得cos，=；或cos，=-l,夕=?，

当q。,"，；＜8。＜1,广（6）＞0,门6）为增函数;

当时，0＜cos9＜g,H（，）＜0W（。）为减函数；

当6=5时，体积V最大.

【解析】1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.

【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难

题.利用导数研究函数.“X）的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数/（x）的定义域；②对

〃x）求导；③令ra）＞（）,解不等式得x的范围就是递增区间；令