2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二（实验班）下学期开学摸底考试数学试题及答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二(实验班)下学期开学摸底

考试数学试题

一、单选题

1.在棱长为1的正四面体A8CO中，点M满足A〃=x45+yAC+(l-x-y)AO(x,yeR),点N满

足£W=/lQA+(l-/l)QC(2eR),当4W和ON的长度都为最短时，AM-AM的值是()

1122

A.—B.—C.-D.—

3333

【答案】A

【分析】根据给定条件确定点M,N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】因AM=xAB+yAC+(l-x-y)AD,则AM—AD=x(4B-4D)+y(AC-AD),即

DM=xDB+yDC,

而x,ywR,则共面，点M在平面BCO内，

又ON=/lDA+(l-/l)OC(/leR),即CN=/IC4，于是得点N在直线AC上，

棱长为1的正四面体ABCD中，当AM长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即正△88的

中心，

111

因此，AM=-AB+-AC+-AD,当£W长最短时，点N是点。在直线AC上的射影，即正_ACD边

AC的中点，

AN=-AC,KuABAC=ZDAC=60,AB-AC=AD-AC=}x\xcos60=-,

22

1].J,2-1

所以AM-AN=—(AB+AC+A£>A—AC=—(AB-AC+AC+ADAC)=~.

3263

故选：A

2.已知直线/经过点A(0,4),且与直线2x-y-3=0垂直，则直线/的方程是()

A.x+2y-8=0B.x+2y+8=0

C.2x+y-4=0D.2x-y+4=0

【答案】A

【解析】由直线垂直可得直线/的斜率，再由点斜式方程即可得解.

【详解】因为直线2x-)-3=0的斜率为2,直线/与该直线垂直，

所以直线/的斜率勺=-g,

又直线/经过点A（0,4）,所以直线/的方程为y-4=-gx即x+2y-8=0.

故选：A.

3.等差数列｛〃,｝的公差为d,前〃项和S“，则“d>0”是“数列为单调递增数歹『，的（）

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据等差数列前〃项和公式可得2=4-当〃>0证得｛a｝为递增数列，反之亦

n22n

可.

【详解】因为s“=叫+若Dd,

所以£=q-！d+g"，

n22

若d>0,则关于"的函数&=4:d+W”单调递增，

n22

所以数列｛义4为递增数列；

n

qqq

若｛义4为递增数列，则

nn77-1

即一n>—（7t—l）,解得d>0.

22

所以“d>0”是“｛、为递增数列”的充分必要条件.

n

故选：A

4.已知圆C：x2+/-2x-2y+l=0,直线/：x+y-4=0,若在直线/上任取一点〃作圆。的切

线MA,MB,切点分别为A,B,则/AQ3最小时，原点O到直线AB的距离为（）

A.逑B.0C.—D.2及

22

【答案】A

【分析】将NAC3最小转化为MC，/,根据点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】由尤2+y2-2x—2y+l=0得（x-l）2+（y-l）2=l,

所以圆心C（LD,半径r=l,

AC1

在RtNCAM中，cosZACM=---=,

MCMC

当/AC8最小时，NACM最小，cos/ACM最大，例。最小，止匕时MCJJ,

MC的最小值为圆心C到直线/的距离：“：1—4|二&,此时cosNACM=」=也，,

VI+1V224

因为用CJ_A8,所以A8/〃，所以圆心C到直线AB的距离为正，

2

所以两平行直线/与A8之间的距离为&-曰=乎，

因为原点。到直线I的距离为1°言,=2近，

所以原点。到直线AB的距离为2夜-走=拽.

22

故选：A

【点睛】关键点点睛：将NACB最小转化为是解题关键.

5.己知正方形A8C。的边长为2,E,尸分别为CD,C8的中点，分别沿AE,AF将三角形AOE,

ABF折起，使得点B,。恰好重合，记为点P,则AC与平面PCE所成角等于（)

【答案】A

【分析】如图，以PE,PF,以分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】由题意得

因为正方形A8CQ的边长为2,E,尸分别为C£>,CB的中点,

所以PE=PF=CE=CF=1,

^XEF2=CE2+CF2=2=PE2+PF2,

所以PE_LPR

所以朋，PE,PF三线互相垂直，

故以PE,PF,必分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则尸(0,0,0),£(1,0,0),4(0,0,2),尸(0,1,0),

设C(x,y,z),则AC=(x,y,z-2),EC=(x-1,y,z),FC=(x,y-1,z)

由AC=20,EC=\,FC=\,得

x2+y2+(z-2)2=8,(%-l)2+y2+z2=l,x2+(y-l)2+z2=1,

解得c仔,|,q），则PC=（|,|,-|"=（I,O,O）

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则

222

n-PC-—x+—y——z=0人,1

<333,令z=l,则〃=(0,1,1),

n-PE=x=0

因为AC=(|,|,-§,

2_8

所以AC与平面PCE所成角的正弦值cos(〃,

因为AC与平面PCE所成角为锐角，

所以AC与平面PCE所成角为£,

0

故选：A

6.在数列｛4｝中，4=2,4“=l-[(〃eN)，贝1j。2022=()

A.-1B.gC.2D.1

【答案】A

【分析】利用条件可得数列｛为｝为周期数列，再借助周期性计算得解.

【详解】=2,«„+1=1--(HSN,)

=1十呆3=1=-1,%=-=

2,

2T

所以数列｛4｝是以3为周期的周期数列，

。2022=^673x4=〃3=一］，

故选：A.

7.己知椭圆C:^+，=I（a>b>0）的左右焦点分别为£,尸2,过C上的P作y轴的垂线，垂足为

Q,若四边形片心PQ是菱形，则C的离心率为（）

AV2—1Ry/3pV3-1口5/5—1

2222

【答案】C

【分析】根据题意求出P点坐标，代入椭圆方程中，可整理得到关于a,c•的等式，进一步整理为关

于e的方程，解得答案.

【详解】如图示:

由题意可知K（-c,O）,玛（-c,0）,

因为四边形EEPQ是菱形，所以l£QI=IQP|=2c,则|。。|=怎,

所以P点坐标为（2c,石c）,

22

将P点坐标为（2c,石c）代入C苏+亳■ulQb〉。）得:

4+耳=1,整理得4c4-8ad+/=o,

ab~

故4e4-8e?+l=0，由于0<e<l,解得e?=纪叵

2

所以八号与

故选：C.

8.己知双曲线（7:与-1=1（。>0力>0）的一个焦点关于其中一条渐近线的对称点为尸（4,-3）,若点

a~b~

尸恰在。上，则。的方程为（）

A.£-工=1B.£-二=1C.2i_r=iD.

52020510151510

【答案】A

【分析】可根据已知条件，利用P,4关于渐近线对称，先求解出c的值，然后利用双曲线的定义分

别根据尸月、「工与“、b之间的关系，借助c?=/+〃，从而求解出双曲线方程.

如图，设双曲线C的两个焦点分别为用工，由已知P，K关于渐近线对称，

所以OQ_LP£,故尸耳，尸尸2.因为尸（4,一3）,所以c=OP=5.

又G到渐近线距离为FQi="所以OQ=a.故P"=26,户乙=2。，由双曲线定义知：PF,-PF2=2a,

所以b=2a.

又24=1,所以a?=5*2=20.所以双曲线的方程为=

故选：A.

9.已知抛物线V=4y的焦点为F,P为抛物线上一点，过点尸向抛物线的准线作垂线，垂足为M

若NPNF=60。，则△2'下的面积为（）

A.6B.26C.4y5D.8G

【答案】C

【分析】根据抛物线定义及NPNF=60。得到△PNF为等边三角形，求出边长为4,计算出面积.

【详解】如图，根据抛物线定义，可知PF=PN,OF=AO=2,又因为NPNF=60。，所以三角形PNF

为等边三角形，点F作FMLPN于点M,则M为PN的中点，且MN=4尸=2,所以PN=4,由勾股定

理得：=716^4=273,所以△PNF的面积为尸=46.

故选：c

10.设S"为数列｛q,｝的前W项和，4=2,且满足a,“+”=q”+a“(m,"eN+),若3S*-10=S?+S4，则

k=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由已知条件可得数列｛%｝为首项为2,公差为2的等差数列，然后根据3S«-10=邑+S4结

合等差数列的求和公式可求得答案

【详解】在等式％+“=4+4中,令相=1,可得4+i=a“+q=2+a”,

所以数列为首项为2,公差为2的等差数列，

因为3S*-10=邑+S',

所以30+处』•2]-10=2X2+3X2+4X2+^@X2,

222

化简得公+4-12=0,(%-3)(%+4)=0,

解得％=3或Ar=T(舍去)，

故选：B

11.已知等比数列｛%｝的各项均为正数，其前〃项和为S,,,且%=1,s6-s4=-,则%=()

A1c16「64n1

A.—D.——C.—D.一

279279

【答案】A

【分析】由已知条件列方程求出公比4,从而可求出生

22

【详解】S6-Si=a5+ab=a4(q+q)=q+q=^,整理得(3q+4)(3q-1)=0.

因为等比数列｛“〃｝的各项均为正数，

所以公比4>0,则知+4>0,所以3夕一1=0,即q=；,

所以为=qq3=卷.

故选：A.

12.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个

感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中

传染的概率决定.对于R°>1,而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切

断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传染R。个人

为第一轮传染，经过一个周期后这R。个人每人再传染R。个人为第二轮传染……）那么感染人数由1

个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：36=729,45=1024）（）

A.35B.42C.49D.56

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算〃轮传染后感染的总人数，得到指数方

程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要〃轮传染，

则每轮新增感染人数为,

经过〃轮传染，总共感染人数为：1+%+弋2++&"=1-瑞

1-&

1_邛+1

1/R。=3•.当感染人数增加到1000人时,-----=1000,化简得3"=667,

由35=243,36=729,故得6,又：平均感染周期为7天,

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6x7=42天，

故选：B

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握

等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前"项和公式时，应该

要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

二、填空题

13.设直线44的方向向量分别为。=（1,2,—2）力=（—2,3,机），若则实数"等于.

【答案】2

【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，4_L4o“/=°，计算即可・

【详解】因为则其方向向量

tz-6=lx(-2)+2x3+(-2)n7=0,解得加=2.

故答案为：2.

14.若倾斜角为a的直线加被直线位x+y-l与&x+y-3=0所截得的线段长为近，则

【答案】£##45°

【分析】由已知直线可得两直线平行，可以计算平行线间的距离，从而得到直线，"与已知直线垂直,

再计算斜率和倾斜角.

【详解】设直线加与直线4，4分别相交于A，8两点，由题意知，平行直线4与直线4之间的距离

所以直线机与直线4，4垂直，所以直线机的斜率为1，倾斜角&

J=H1^=V2=|AB|,

A/24

故答案为：--

4

22

15.已知双曲线三-2=1(6>0)的左右焦点分别为耳心，过点尸2的直线交双曲线右支于A,B两

4b

点，若是等腰三角形，且NA=120。，则48月的面积为.

【答案】/

3

【分析】根据题意可知，|儆|=|明,|明|=/,忸司=4a,再结合N4=120。，即可求出各边,从而

求出AB4的面积.

【详解】NA=120。，所以|做|=|他|,|明|=|前|一|伍|=2a=4,忸6|=忸闾+2a=4a=8,而ABF,

是NA=120。的等腰三角形，所以|秋|=|阴=白，故A幽的面积为gx*xgsinl20=竽

故答案为：处

3

16.已知等差数列｛a„｝的前n项和为Sn,a2=2,S5=15,则数列的前2022项的和为

4044

【答案】

2023

【分析】先设等差数列｛%｝的公差为d,根据题中条件，求出首项和公差，得出前〃项和，再由裂

项相消的方法，即可求出结果.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为一,

4+1=24=1

因为/=2,§5=5%=15,所以…+2d=3,解得

d=\

「.In(n-\]

因此S“=na}H-------d=相+

22

1

所叼一:、=2

7+1)

所以数列，＞的前2022项的和为

111

——+——+...+-——+…+2

S]S2§202220222023

<1114044

=21----1------F...+

12232022202320232023

4044

故答案为:

2023

三、解答题

17.已知圆(x—l)2+()-2)2=25,直线/：(2w4-l)x+(/??+l)y-7w-4=0,

⑴求证：直线/与圆C相交；

(2)直线/与圆C交于A,8两点，判断|A叫何时最长，何时最短？当|4却最短时，求机的值以及最

短长度.

【答案】(1)证明见解析

⑵答案见解析

【分析】(1)先求出直线/过定点(3,1),再验证点(3,1)在圆内，从而可证明.

(2)由题意当直线/过圆心C时;直线被圆截得的弦长最长，当直线/LCP时，直线被圆截得的弦长

最短，从而可得答案.

【详解】(1)证明：直线/的方程可化为(2x+y—7),〃+(x+y-4)=0,

2x+y-7=0,x=3,

联立解得

x+y-4=0,J=l.

所以直线恒过定点(3,1).

因为(3-1『+(1-2)2=5<25,所以点(3,1)在圆C内部，所以直线/与圆C相交.

(2)令尸(3,1),当直线/过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长,

当直线/JLCP时，直线被圆截得的弦长最短.

9^111

直线/的斜率为左=-"3，3=94\_

〃2+13-12

2m+\3

由_7.解得，

〃2+1

此时直线/的方程是2x-y-5=0.

|2-2-5|

圆心C(l,2)到直线2x-y-5=0的距离为d=亚,

|AP同昨介-j=在M=2石.所以最短弦长是|48|=2|44=4后.

18.如图，在四面体A8CO中，AB1AC,A0_L平面ABC,点M为棱AB的中点，AB^AC=2,

AD=G.

(1)证明：AC1BD；

(2)求平面8C。和平面QCM夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)13呵

'190

【分析】(1)根据题意，利用线面垂直的判定定理证明AC,平面A3。即可；

(2)以A为原点，分别以AB，AC，AO的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,

分别求得平面8c。的一个法向量机=(x,y,z)和平面OC例的一个法向量。=(x,y,z),然后由

m-n

COS〈肛〃〉=

网同求解.

【详解】(1)证明：:AD，平面ABC,

AD±AC,

又45人AC,ADcAB=A,

AC_L平面

AC1BD.

(2)如图，

以A为原点，分别以AB，AC，AO的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),M(1,0,0),6(2,0,0),C(0,2,0),。(0,0,石)，

依题意，可得MC=(—1,2,0),MD=(-1,0,73).

设机=(x,y,z)为平面8C£)的一个法向量，

[m-BC=—2x+2y=0

则,

["八BD=-2x+Jr3z=0

不妨令z=2,可得，〃=6,2).

设与=(x,y,z)为平面£>CM的一个法向量，

nMC=-x+2y=0

则r，

n-MD=x-J3z=0

不妨令z=2,可得〃=(2后收2),

由I*、m-n137190

所以8s〈风〃〉=丽=-.

所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为电匣.

190

19.已知椭圆C：,+2=1(a>6>0)过点。(2,0),且离心率为当.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点”(根,())(m>2)的直线/(不与x轴重合)与椭圆C交于A,8两点，点C与点B关于x

轴对称，直线AC与x轴交于点。，试问点一向是否为定值？若是，请求出该定值，若不是,

请说明理由.

2

【答案】⑴三+丁=1

4

⑵赢一赢为定值/

4=2,

【分析】(1)由题意可得£=坐，解方程组求出/，/，从而可得椭圆方程,

a2

a2=b2+c2,

(2)设直线AB：y=k(x-m),ZHO,代入椭圆方程，消去N,利用根与系数的关系，再表示出直

线AC的方程，从而可求出点。的坐标，从而可表示出|OQ|,然后化简曲一向可得结论

a=2,

a2=4,

£=堂，解得■

【详解】(1)由题意得b2=l

a2

2

220c=3,

a=bt~+c~,

故椭圆C的方程为工+y2=i；

4

y=k（x-m\

（2）设直线AB：y=k[x-ni）（工0,联立

9x2+4y2=4,

¥肖去y得（4A?+1）了2—8，wk\r+4%2加2-4=0,

设AQ,%）,B优,%）,得玉+*2=（%，中2=，哈],

4/C+1QK+I

因为点C与点B关于x轴对称，所以。（马,-%），

所以直线AC的斜率为占="红，直线AC的方程y-y=WHx-xJ,

令）=0,解得x=小_+%%_＞（占-㈤+—m）%2x/2-，，（西+々）

y+y,女（入[+占-2m）Xj+x2-2m

可得%=3,所以|DQ|=2—色，

mm

因为|⑷=〃L2,

1]_in]_1

所以_2%_4-/n-2

111

所以西一画为定值

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直

线AB的方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数关系，结合已知条件表示出直线AC的方程，从而

可求出点。的坐标，考查计算能力，属于中档题

20.已知S“是等差数列｛见｝的前〃项和，4=-5,4+4=0.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵若S“=40,求”的值.

【答案】⑴4=2"-7

⑵10

【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解；

（2）先求前〃项和，再建立方程求解即可.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为"，因为4=-5,

所以q+a4=（4+2d）+（4+3d）=2tZ]+5d=一10+5</=0.

解得d=2.

所以q=4+（n-l）d=2n-7.

⑵[-5+（2〃7）].〃“

〃2

因为3=40,所以〃2一6〃=40,解得〃=1（）或〃=-4.

因为〃eN'，所以九=10.

21.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，点4（4,峭在抛物线C上，且△CWF的面积为:p2（。

为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

⑵直线/：y=H+l与抛物线C交于M,N两点，若以为直径的圆经过。点，求直线/的方程.

【答案】⑴V=4x

⑵y=-Jx+l.

4

【分析】（1）根据点在抛物线上和三角形面积公式建立等式直接求解；（2）将问题转化为。用J_ON,

利用韦达定理求解即可.

【详解】（1）因为点44,㈤在抛物线C上,所以*=8p,

SOAF=g|OF|X帆=；p\rn\=^p2,

m=8p

所以,1।।12,解得P=2，'"=±4,

^P\m\=2P

所以抛物线方程为y?=4x.

（2）设〃（国,凹）,"（々,必）-

[y=