2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期中考试数学（理）试题及答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期中考试数学

（理）试题

一、单选题

1.设数列｛q｝的前〃项和为S“，已知1,则$00=()

2a„-1,—<a„41

A.100B.80C.75D.50

【答案】D

【分析】先由递推关系式得到数列的周期为4,再计算即可.

74^1?

【详解】由题意得，％=：,«3=|,。4=（,%=:，…，；•数列｛q｝的周期为4,

S]0G=25x(q+%+05+%)=50.

故选：D.

2.若数列｛叫满足一L-'=d（〃GN*,"为常数），则称数列｛叫为“调和数列”.已知数列优｝为“调

an+\an

111…11

和数列“，且一+―+…+—=200,则一+一（）

X\X2X20X5X16

A.15B.20C.25D.30

【答案】B

【分析】根据给定定义可得数列是等差数列，再利用等差数列的性质计算作答.

【详解】因数列｛七｝为“调和数列"，则〃eNl一为常数，因此数列,是等差数列，

XX

n+\nXn

则有LL…+匚上豆2。=1。（‘+，）=2。。,解*+?2。,

%X2尢202%/（J

11112

所以一+—=—+—=20.

天西6%工20

故选：B

3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三

人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、

戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，"（“钱”是古代一种质量单位），在

这个问题中，甲得钱数为（）

BD

A.i-1-:

【答案】c

【分析】把给定问题转化为等差数列，列出首项、公差的方程组即可求解作答.

【详解】甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次记为6,生，%，%，依题意｛a,J（〃45,〃wN.）

是等差数列，设其公差为d.

cJ54

2,61,+d=一

12

依题意有4++〃4+。5=5，即，解得V

34+91=2d=--

6

4

所以甲得g钱.

故选：C

4.数列;，旦,正3.

我，…机有序实数对（X,y）是（）

/4x+y16

15£

（7,0）

A.T'2B.

C.(8,1)D.(15,8)

【答案】A

【分析】根据数列的概念,找到其中的规律即可求解.

【详解】由数列23

24x+y16，32,

可知空72x2-1J2x3-1x4-1J2x5-1

-2^~2324

15

x——

x+y=87羽，

则解得1，故有序实数对

x-y=7

V=—

2

故选：A.

5.设某厂2020年的产值为1,从2021年起，该厂计划每年的产值比上年增长尸％,则从2021年起

到2030年底，该厂这十年的总产值为（）

A.(1+P%)9B.(i+p%)'°

，O

c(1+P%)[(1+P%)-1](1+P%)'°-1

D.

尸％P%

【答案】c

【分析】根据给定条件可得该厂从2021年起到2030年底的每一年的产值构成等比数列{/},借助

等比数列前n项和公式即可计算作答.

【详解】依题意，该厂从2021年起到2030年底的每一年的产值构成等比数列{“"},首项q=1+P%,

公比4=1+P%,

于是得九=一即的一=-------菽---------'

所以该厂这十年的总产值为（1土0%川+尸％）‘°.

「％

故选：C

6.己知函数/（x）的图象如图所示，f（x）是的导函数，则下列结论正确的是（）

A.0＜/（2）＜/（3）＜/（3）-/（2）

B.0＜/（3）＜/（3）-/（2）＜/（2）

C.0＜/'（3）＜/（2）＜/（3）-/（2）

D.0＜/（3）-/（2）＜/（2）＜/'（3）

【答案】B

【分析】结合图像，利用导数的几何意义即可求解.

【详解】由图以及导数的几何意义可知，

在x=2处的切线的斜率占=/⑵比在x=3处的斜率&2=八3）大，且均为正数,

所以0＜/（3）＜/（2）,

因为过此两点的割线的斜率为A.="?一（（2）=/（3）_/（2）,

由图可知，k2＜kAB＜k],所以0＜/（3）＜/（3）—/⑵＜/（2）.

故选：B.

7.已知函数/(x)=xlnf+ae，，g(x)=—d+x,当xe(O,y°)时，/(x)2g(x)恒成立，则实数。的

取值范围是()

A.5收)B.g,+8)C.[l,+oo)D.[e,+oo)

【答案】B

【分析】将所求不等式变形为e"+S"-M*+x+lna-lnx-120,令f=x+lna-lnx,/?(/)=e/+/-1,其

中feR,利用导数分析函数〃⑺的单调性，可得出d0,可得出InaNlnx-x对任意的x>0恒成立,

利用导数求出函数p(x)=lnx-x的最大值，即可求得实数。的取值范围.

【详解】当xe(0,+oo)时，由/(x)2g(x),可得xln.+MN—f+x,

不等式两边同时除以x可得lna-lnx+e"in"M*w_x+l,

即ex+in(,-i„,r+x+lna-lnx-120,

令f=x+lna-lnx,/z(r)=ef+r-l,其中feR,"(/)=e'+l>0,

所以，函数〃⑺在R上为增函数，且力(0)=0,由力(/)之0,可得已0,

所以，对任意的x>0,x+ln6r-lnx>0,BP\na>\nx—x9

令p(x)=lnx-x,其中x>0,则==

当0<x<l时，p'(x)>0,此时函数p(x)单调递增,

当x>l时,p(x)<0,此时函数p(x)单调递减,

所以，InaNp(x)1rax=〃⑴=T,解得“4.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：在求解有关x与e*的组合函数综合题时要把握三点：

(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；

(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；

(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.

8.已知函数/(力在R上可导，其部分图象如图所示，设里-(⑵=*则下列不等式正确的是

()

A.«<r(2)<r(4)B.r(2)<«<r(4)

C..f(4)<.f(2)<«D./⑵</<4)<a

【答案】B

［分析］根据图像和导数的几何意义即可判断得解.

【详解】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.

因为了(?三；(2)=〃,所以尸(2)<4</(4).

故答案为：B.

【点睛】本题主耍考查导数的几何意义和函数的变化率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数

形结合分析推理能力.

9.已知e为自然对数的底数，曲线/(x)=S+Y在点("⑴)处的切线与直线x+ey-3=0垂直，则

实数”

-e-2-2e-\_e-2仁e-l

A.-------B.------C.-----D.-----

eeee

【答案】C

【分析】求出函数的导数，求得函数在x=l处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率相乘等-1,

解方程可得〃.

【详解】解："x)=ae"的导数为〃x)"+2x,

可得曲线/(力=*'+/在点(1,ae+\)处的切线斜率为ae+2,

由切线与直线x+ey-3=0垂直可得

1e-2

(ae+2)x(—)=-1,解得〃=----.

ee

故选C.

【点睛】本题考查导数在点处的切线的斜率的求法，同时考查两直线垂直的条件，考查运算能力，

属于基础题.

10.已知函数/(x)=x2-"?［nx+2x的图象在点§"(；))处的切线与直线X—2y=0垂直，则机=()

【答案】C

【分析】对函数/(X)求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.

【详解】函数/(x)=r-〃71nx+2x定义域为(0,+8),求导得f'(x)=2x—口+2,

X

于是得函数f(X)的图象在点(1,/(1))处切线的斜率k=rg)=3-2凡

而直线x-2y=0的斜率为依题意，^k=-\,即3-2%=-2,解得机=|,

所以,

2

故选：C

11.己知函数/(x)=-x、2o?+(a_i)x为偶函数，则/("的导函数/(X)的图象大致为()

【答案】A

【详解】分析：首先利用偶函数的性质求得实数。的值，然后求解尸(x)的解析式，二次求导研究导

函数的极值，利用极值点即可求得最终结果.

详解：函数./•(力=一/+%/+(4一］.为偶函数，贝iJ/(—x)=/(x),

即：—X，+12xix~—(a_l)x=—X&+2dx_+(a_Qx,

据此可得：a-1=0,.'.«=l,

函数的解析式为：/(X)=-X4+2X2,其导函数/'(X)=T/+4X,

f（X）在［-00,--Yj递减，在--（，女|递增，在

二阶导函数/'(x)=-12/+4=-4(3X2-1),

+°°递减，所以

函数/（X）的极大值为：-<,fy-|=_4x^7+4x3=9^<2,

观察所给的函数图象，只有4选项符合题意.

故选：A

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值

域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图

象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

12.定义：如果函数f（x）在［a力］上存在为,々（4<%<"），满足足（再）=""）一〃"）,

b-a

f（x,）=/㈤一/⑷，则称函数.f（x）是以上的“双中值函数”，已知函数/（%）=+”是

b-a

［0,2a］上“双中值函数”，则实数。的取值范围是（）

A•（53）B./C.（昌）D.停1）

【答案】B

【分析】先根据/（力=2d-炉+加是［0,%］上“双中值函数”，得到〃2。）一〃0）=8a2_2“,

2a

再对f（x）=2x3-x2+m进行求导，根据题意得到6X2-2X=Sa2-2a在［0,2«］上有两个根，构造函数

g（x）=6x2-2x-8a2+2a,转化为函数g（x）=6x2-2x-8«2+2a在［0,2a］上有两个零点，即可求解.

【详解】解：/（力=2/_*2+m是［o,2a］上“双中值函数，，，

/（2«）-/（0）_2x（2«）3-（2a）2+m-m_

..----------------------------------=Ou-Z.U，

2a2a

又，:/'（X）=6X2-2X,

6x2-2x=8a2-2a，

即6x2-2x=8a?-2a在［0,2a］上有两个根，

令g（x）=6/_2x-8a2+2a,

其对称轴为：x=S-2=g1

2x66

A=4+24x(8tz2-2n)>0

g(O)=-8/+2a>0

故"(2。)=6x(2a『-2x2a-8〃2+2。>0,

「1

2a>—

6

解得：

84

故选B.

【点睛】方法点睛：本题主要根据/(耳=2/-炉+团是［0,24上“双中值函数”，转化为

61—2%=8〃一2々在［0,2。］上有两个根，设出二次函数，根据二次函数的性质，列出条件，即可求

解a的范围.

二、填空题

13.已知数列｛4｝的前"项和为S”,4=5,%=1，2se+S,i=35“(鼠22,〃eN*),则S6的值为.

【答案】等##6.9375

16

【分析】由2“+S,i=3S,,(〃22,〃eM),得2(5…—S.)=5,-5,—(，心2,”eM),化简后可得｛4｝

从第2项起，是以g为公比，的=1为首项的等比数列，从而可求出S。的值

【详解】由2S“M+S.T=3S,(〃N2,〃eM),得

2(S,,+-t(〃之2,〃eN*),

所以2《田=a„(«>2,«eN"),

所以巴包=；,

%2

,a-y11

因为4=，

q52

所以｛%｝从第2项起，是以g为公比，4=1为首项的等比数列，

所以§6=4+。2+。3+4+。5+a6

u31111

=5+—=——,

1616

故答案为：——

16

14.若直线y=是曲线y=lnx+l的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则实数b=.

【答案】ln2.

【详解】设直线)=米+匕与曲线y=lax+l和曲线y=ln(x+2)的切点分别为不+1),

(x2,ln(x2+2)).

:直线丫=丘+。是曲线y=lnx+l的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线

11

—=----，即玉-X)=2.

Xjx2+2-

1V1

・••切线方程为y-(ln%+1)=—(x-Xj),即为y=—+ln/或y_Ing+2)=-----(x-x2),即为

%x2+2

X2-x}.

y=—+--L+lnx,

A,X,

2±二0,则X[=2

xi

/>=In2

故答案为ln2.

点睛：本题以导数的几何意义为载体，解答本题的关键是根据两函数在交点处的切线相同得到关于

切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求参数即可.

15.分形几何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数

学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，简单的说，分形

就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,正

三角形的边长为1,在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2

中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第〃个

图形(图1为第一个图形)中的所有外围线段长的和为却，则满足。+。2+。3++%>81的最小正

整数〃的值为.(参考数据：lg2“0.3010,1g3«0.4771)

▲哀*奉

图1图2图3图4

【答案】9

【分析】先求出第"个图形中线段的长度%,第〃个图形中线段的条数"，得到%=4也,=3x

根据等比数列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.

【详解】由题易知每个图形中线段的长度相等.设第〃个图形中线段的长度为4,则

设第八个图形中线段的条数为2,则勿=3x4一,

令O'(i)-1>81,得图>10,则">R=2Ig2-lg3

即满足不等式的最小正整数”的值为9.

故答案为：9

16.对于三次函数〃耳=加+区2+5+4(4"))，定义：设/(力是函数y=/(x)的导数y=r(x)

的导数，若方程广(力=。有实数解％,则称点(%〃/))为函数丁=〃力的“拐点”.有同学发现“任

何一个三次函数都有，拐点'；任何一个三次函数都有对称中心；且，拐点，就是对称中心.”请你将这

31

一发现为条件，函数f(x)=d-]x2+3x-；,则它的对称中心为.

【答案】d

【分析】根据拐点的定义，令r'(x)=6x-3=0,解得x=；,贝=由拐点的性质可得结果.

31

【详解】♦.•函数/(*)=1一]炉+3X-：,

/(力=37-3x+3,尸(x)=6x-3.

令/"(x)=6x—3=0,解得x=；,且=

所以函数〃6=^-|%2+3%-；对称中心为团,

【点睛】本题主耍考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给

出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理

解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目

的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，”照章

办事“，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、解答题

17.已知｛4｝是公差为"的等差数列，其前〃项和是5“，且4+4=14,S4=22.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若4=一^,求数列出｝的前〃项和小

【答案】⑴见=3〃-2

乙臼rret-1-T.、

【分析】(1)由题设有“A,”求《、"，写出4,的通项公式;

4。］+64=22

(2)应用裂项相消法，求｛么｝的前〃项和，即可.

署u广”解得夕;

【详解】(1)由题意,

54=4q+6d=22yd=3

an=a1+（n-\）d=3〃-2.

（3〃-2）（3〃+l）33n—23〃+1

4-7++3n-2-3w+l

18.设S,为数列｛““｝的前〃项和，且2S.+a“=3,„eN,.数列｛2｝满足

色》/+上+(2小)3\f*.

(1)求数列｛〃,｝的通项公式:

(2)设数列c„=(-1)%；，求数列｛c“｝的前2〃项和Q.

【答案】(1)4=(#';

(2)&=32/+16".

【分析】(1)根据递推公式，结合数列前“项和与第”项之间的关系、等比数列的定义进行求解即可;

(2)根据递推公式，结合(1)中的结论进行求解得出a=4〃，再根据平方差公式，结合等差数列

前”项和公式进行即可.

【详解】(1)解：由2s“+a“=3n2S|+q=3n2q+4=3n“=1,

因为2s“+%=3……(1),

所以当“22,”eN*时，2s+a„_,=3……(2),

⑴-(2)得：2a“+a“-a,i=0n'=:，所以4=(；产，当〃=1时，也适合，

因此q=(；产；

(2)解：因为2+%+%++—=l+(2n-l)3\

6%%4

所以当〃之2,〃cN*时，一+二+二+=l+3n'(2n-3),

a\a2“3an-\

卜

两式相减得：-=3"(2〃-1)-(2〃-3)=4"•3"T,

a„

由(1)可知：a„=(!)"''.所以"=4”,

当〃=1时，2=4n4=4,也适合上式，

故"=4"；

所以c.=(一1)国=(T)"•(4〃y=16•(-1)”•"2,

因此笃“=1可-F+2Z-3?+4。++(2"-2/-(2〃-1)2+(2ny]

=>7；„=16[(2+l)(2-l)+(4+3)(4-3)++(2n+2n-l)(2n-2n+l)J

=>(“=16(1+2+3+4++2"—1+2”)=16x+=32n2+16".

所以&=327+16".

19.已知函数/(x)=V-3x.

(1)求曲线)=/(x)在点P(l,-2)处的切线方程;

(2)过点P(2,2)作曲线)，73)的切线，求此切线的方程.

【答案】(1)y=-2；(2)y=9x-16与y=2.

【分析】(1)求出在x=l处的导数即为在点P(l,-2)处的切线斜率，代入点斜式方程化简则可求出

切线方程；(2)根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点P(2,2),

将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程.

【详解】解：(1)由题意可知f'(x)=3x2-3,则在x=l处的切线斜率左=r⑴=0,

则在点尸(1,-2)处的切线方程为：y+2=0(x-l),即切线方程为：y=-2.

(2)因为f(x)=/-3x,所以设切点为(x0,与3-3/),斜率为/=3X°2_3

则所求切线方程为：卜-(y3-3%)=(31。2-3)&-%)①

因为切线过点P(2,2),所以有2-&3_3%)=(3蜻-3)(2一%)

解得：%=-1或%=2

代入①化简可得切线方程为：y=9x-16或y=2.

【点睛】方法点睛：

(1)求切线方程分为在点处的切线和过点处的切线，在点处的切线，直接求导得到切线的斜率，代

入点斜式方程化简即可；

(2)过点处的切线，需设切点，求出在切点处的导数，然后写出点斜式方程，将所过的点代入直线

方程，求解，然后重新代入化简可求出直线方程.

20.已知函数=,(aeR,axO).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)=2dr(x)-3%("0),存在实数再,々€口，巧，使得不等式2g(xJ<g5)

成立，求。的取值范围.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)

\2e-C))

【分析】(1)求导，对a分类讨论求解单调区间；(2)不等式2g(xj<g(x2)成立，转化为

2g(》)而„<8(切四，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解

【详解】解：(1)V,/-(%)=—+alnx,(x>0),利(加竺士，叫

XX

(1)当。>0时，*.*――->o,.*.%e।o,—],<0,‘/(x)单减,

・,•减区间是

xe时，二/(x)单增，.•.增区间是(用―,+oc).

(2)当—1<a<0时，~—<0,；♦/'(X)<0,f(x)的减区间是(0,+<»).

(3)当。=一1时，•••r(x)=-g<0,二/(力的减区间是(0,+8).

(4)当a<—l时，》，0,号口，.・.用竹>0,.・.〃6的增区间是(0,?)，

xe(色?,+oo),/'(x)<0,f(x)的减区间是(g^,+8).

(2)g(x)=2ar-arlnx-(6a+3),(a<0),因为存在实数内,七€口,/],使得不等式2g(xj<g(x2)

成立，•••2g(x)mi[1<g(x)max

g,(x)=<z(l-lnx),'：a<0,xe[l,e),gz(x)<0,g(x)单减,xe(e,e1,g[x)>0,二g(x)单

增・•••g(xL,=g(e)=ae-6〃-3,g(x)1rax=max｛g⑴,g(/)｝=-6a一3.

2tze-12a—6V―6a—3,ci>--------,*•"。<0，。~~~,0).

2e-6\2e-6)

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,。],y=g(x),xe[c,d]

⑴若%w[a,可,Vx24Gd],总有/@)<8(毛)成立,故f(x)1rax<g&)1rt.；

(2)若依w[a,句,Hxje[c,d],有/(%)<g(w)成立,故/(x)1rax<g(w)1ras；

(3)若上14a，可,即e[c,d],有〃％)<g(毛)成立,故/(%)而11VgGL；

(4)若若“«。,同，期w[c,d],有〃玉)=8(W)，则〃x)的值域是g(x)值域的子集.

21.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且&=4$3，%,=2。“+1,

(1)求数列｛“〃｝的通项公式：

(2)若数列也｝满足?+2++—=2"-1,neN