2021-2022学年八年级数学下册训练09几何思想之三角形的中位线重难点专练（解析版）（苏科版）

专题09几何思想之三角形的中位线重难点专练（解析版）

错误率：易错题号：

一、单选题

1.（2021•江苏金坛•八年级期中）如图，已知四边形A8C。中，ACJ.BD,AC=6,BD=8,点E、F分

别是边A。、BC的中点，连接EF,则EF的长是（）

A.y/24B.5C.后D.10

【标准答案】B

【思路指引】

取A8的中点G,连接EG、GF,利用三角形中位线性质得到EG=g8/）=4,EG//BD,GF=|AC=3,

GF//AC,再判断EGLGF,然后利用勾股定理计算E尸的长.

【详解详析】

解：取4B的中点G,连接EG、GF,

•.•点E、F、G分别是边A。、CB、48的中点，

...EG为的中位线，G尸为△A8C的中位线，

：.EG=^BD=4,EG//BD,Gf=gAC=3,GF//AC,

­：AC±BD,

：.AC±EG,

'JGF//AC,

：.EG±GF,

在RtZXGEF中，EF=J32+42=5.

故选：B.

【名师指路】

本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题关键是取中点构建中位线，建立直角三角形.

2.(2021•江苏•无锡市天一实验学校八年级期中)如图，在矩形ABCO中，A8=3,4)=10,点E在AO

上且OE=2.点G在AE上且GE=4,点P为8c边上的一个动点，尸为"的中点，则GF+£F的最小

值为()

A.V10+2B.V10+3C.4D.5

【标准答案】D

【思路指引】

首先证明GF+EF=/(%+PE),求出以+PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点7,连接ET交

BC于P',此时P'E+PA的值最小.

【详解详析】

解：如图，连接外.

VAZ)=10,DE=2,GE=4,

：.AG=EG,即：点G是AE的中点,

又,F为EP的中点，

GF是YAPE,

.'.GF^^PA,

.'.GF+EF^^(PA+PE),

作点A关于BC的对称点T,连接ET交BC于P',此时P'E+P'A的值最小，

•••四边形A8C。是矩形，

，NE4T=90°,

，：AB=BT=3,

.".AT=6,

：4)=10,DE=2,

，AE^AD-DE^10-2=8,

PE+PA=P，E+PT=ET=^AE2+AT2=V82+62=10-

...EG+EF的最小值为gxl0=5,

故选D.

【名师指路】

本题考查轴对称-最短问题，三角形中位线定理，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用轴对称解决最短问题.

3.（2021.江苏鼓楼.八年级期中）若顺次连接四边形ABC。四边中点所得的四边形是正方形，则四边形

ABC。一定满足（）

A.AC=BD5.AC±BDB.AB=C£）且A3〃C£）

C.是矩形D.是正方形

【标准答案】A

【思路指引】

首先根据题意画出图形，再由四边形EFG/是正方形，那么4GF=90。，IE=EF=FG=IG,而G、F是

AD,中点，易知GF是A4CD的中位线，于是GF//AC,GF=|AC,同理可得/G//8D,

IG=^BD,易求AC=5O,又由于GF7/AC,ZZGF=90°,利用平行线性质可得440=90。，而

IG//BD,易证N3OC=90°,即ACLBD,从而可证四边形ABC£＞的对角线互相垂直且相等.

【详解详析】

解：如图所示，四边形ABC。的各边中点分别是/、E、F、G,且四边形EFG/是正方形，

四边形EFG/是正方形，

.-.Z7GF=90°,IE=EF=FG=IG,

又,,G、F是A£＞、CO中点,

;.G厂是AACD的中位线，

:.GFHAC,GF=-AC,

2

同理有/G〃8D,1G=；BD,

：.-AC=-BD,

22

即AC=BD,

GF//AC,N/GF=900,

:.ZJHO=90°,

X-.IGUBD,

:.ZBOC=^P,

即AC1BD,

故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC=8。且4CLBD.

故选：A.

【名师指路】

本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质.解题的关键是连接AC、

3D，构造平行线.

4.（2021•江苏秦淮•八年级期中）E、F、G、，分别是四边形438的边A3、BC、CD、D4的中点，

对角线AC、8。相交于点O,根据以下条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（）

A.ACS.BDB.AB=BC,OB=OD

C.AB=BC,OA=OCD.AB=BC,CD=AD

【标准答案】B

【思路指引】

先根据三角形中位线的性质证明四边形EFG”是平行四边形，再利用矩形的判定定理依次判断各选项即

可.

【详解详析】

解：F、G、”分别是四边形AfiCO的边48、BC、CD、0A的中点，

：.EF//AC,GH//AC,

J.EF//GH,

同理：EH//FG,

•••四边形EFGH是平行四边形

B

•/AC±BD,

.".EFLEH,

，四边形EFG”是矩形，故A选项不符合题意；

VAB=BC,OA=OC,

：.ACA-BD,

'.EFLEH,

，四边形EFG”是矩形，故C选项不符合题意；

AB=BC,

...点B在线段AC的垂直平分线上，

CD=AD,

...点D在线段AC的垂直平分线上，

AC±BD

C.EFLEH,

，四边形EFGH是矩形，故。选项不符合题意；

若=O8=OD无法证明四边形EFGH是矩形，故B选项符合题意，

故选：B.

【名师指路】

此题考查矩形的判定定理，三角形中位线的性质定理，线段垂直平分线的判定，正确掌握矩形的判定定

理是解题的关键.

5.（2021♦江苏鼓楼•八年级期中）如图，矩形ABC。中，AB=2,BC=3,尸是CQ边的中点，E是BC

边上的一动点，M.N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段知'长（)

A.随着点E的位置变化而变化B.保持不变，长为716

C.保持不变，长为叵

D.保持不变，长为2M

2

【标准答案】C

【思路指引】

连接AP,根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

可得问题得解.

【详解详析】

解：连接AP,

•.•矩形A8C。中，A8=£）C=2,AD=BC=3,P是CQ边上的中点，

:.DP=1,

."?=,32+[=亚，

VM,N分别是PE的中点，

是△AE尸的中位线，

:.MN=』AP=叵,保持不变.

22

故选：C.

【名师指路】

本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求

出AP的值是解题的关键.

6.（2021•江苏江都•八年级期中）如图，在RdABC中，/AC8=90。，。是AB的中点，且乙4C£）=

30°,DE〃BC交AC于点E,B凡LCO于点尸，连接EF.若BF=2石，则E尸的长是（）

c

3

A.GB.2C.-D.3

【标准答案】B

【思路指引】

先说明A8=2BC,再根据勾股定理求出8c和A8,进而得到8c=4。=2,说明尸和£分别是AC、CD

的中点，最后根据二角形的中位线定理即可解答.

【详解详析】

解：VZACB=90°,。是AB的中点

：.DC^^AB=AD

VZACD=30°

.•.乙4=NAC£>=30°

：.AB=2BC,/ABC=60。，

AfiCMD.BPADBC为等边三角形

：8尸，CD于点F,

：.CF^FD,ZDBF=3>0°

：.BD=2DF

设DF=x,则BD=2x,DF2+BF2=BD2^\1x2+(2+)2=(2%了,解得x=2或-2(舍去)

：.AD=BD=2x=4

•.•力E〃8c交AC于点E,力是A8的中点

:.AE=EC

'：CF=FD

二E尸是三角形ACD的中位线

：.EF^^AD=2.

故选B.

【名师指路】

本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定、含30角的直角三角形的性质、三角形的中位线等知识

点，能综合运用所学知识进行推理和计算成为解答本题的关键.

7.（2021•江苏徐州•八年级期中）如图，"4G中，AA=4,AG=7,AG=5.点4，B2,c?分别

是边B£,AG，的中点；点4，Bj,G分别是边与G，A,c2,4B2的中点；…以此类推，则第

【标准答案】A

【思路指引】

由三角形中位线定理可得：82c2，4G，&&分别等于aq，GA，A用的所以△4用G的周长等

于A的周长的一半，以此类推即可得出结论.

【详解详析】

解：△AgG中，AA=4,A£=5,4G=7,

的周长是16,

4，殳，G分别是边sc，AC，4内的中点，

:.B2c2,4G,Azg；分别等于8c।,AC，41四的;,

4与G的周长是:X16,

同理，△4B3C3的周长是好xl6,

L,

以此类推，

△AAC,的周长是击*16,

4

则第2021个三角形周长是贵I*16=套o=六I一

故选：A.

【名师指路】

此题考查了三角形中位线定理，它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，灵活掌握三角形中位线定理

熟记解题的关键.

8.（2021•江苏省江阴市第一中学八年级期中）如图，AABC中，ZB=90°,过点C作AB的平行线，与

NBAC的平分线交于点D,若AB=6,BC=8.E,尸分别是BC,AD的中点，则EF的长为（）

A.1B.1.5C.2D.4

【标准答案】C

【思路指引】

延长E尸交4C于点G,根据勾股定理求出AC=10,再根据角平分定义结合平行线的性质得出AC=CD,

最后根据三角形中位线的性质得出结论即可.

【详解详析】

解：在/?公48。中，ZB=90°,AB=6,8c=8

AC=>JAB2+BC2=\/62+82=10

二•A。平分N8AC

二ZBAD^ZCAD

'JAB//CD

:.NBAD=NCDA

：.ZCDA=ZCAD

：.DC=AC=IO

延长EF交4c于点G,如图，

是“OC的中位线，FG是△ABC的中位线,

Z.E'尸=LOC=L10=5,FG=1AB=L6=3

2222

,EF=EG-FG=5—3=2

故选：C.

【名师指路】

此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，作出三角形

中位线是解答此题的关键.

9.（2021.江苏•南通田家炳中学八年级月考）如图，四边形ABC。中，ZA=9O°,AB=2相,4）=2,点

M,N分别为线段BC,43上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点£、尸分别为。U、的中

点,则EF长度的最大值为（）.

A.3B.2GC.4D.2

【标准答案】D

【思路指引】

由题中条件可判定即是中位线，可得EF=；DN,当动点N与点8重合时，QN值最大,

DN=DB=JAD。+AB。，此时EF长度取最大值.

【详解详析】

解：如图，连接。M

•••点E、F分别为DM、MN的中点，

是.D/WN中位线，EF=；DN,

当动点N与点8重合时，DN=DB,此时ON长度取最大值，即此时E尸长度取最大值.

VZA=90°,AD=2,AB=2g，

DN=DB=4AD?+AB?=小22+（26j=4,

•••EF=2.

故选：D.

【名师指路】

本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解EF长度的最大值就是求力N长度最大值是解题关

健.

10.（2021•江苏•南京外国语学校八年级期中）如图，在RfABC和mzMOE中，ABAC=ADAE=90°,

AB=AC-5,AD=AE=2,点P,Q,R分别是BC,DC,OE的中点.把..ADE绕点A在平面自由

旋转，则..PQK的面积不可能是（

C.4D.2

【标准答案】A

【思路指引】

由于已知两个三角形是等腰直角三角形并且构成手拉手模型，所以连接班＞,CE,30的延长线交CE的

延长线于。，AC交BO于H.根据中位线定理以及角的关系证明aPQR是等腰直角三角形，再利用三角

形的三边关系求出。。的范围即可解决问题.

【详解详析】

连接CE,BD的延长线交CE的延长线于0,AC交80TH.

VAB^AC,AD-AE,NBAC=ZZME=90。，

二ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^VCAE.

：.BD=CE,ZABH=ZOCH,

ZAHB=NCHO,

NO=ZMH=90°,

•点P,Q,R分别是BC,DC,£>E的中点，

PQ=；BD,PQUBO,QR=^EC,QR//CO,

•;BO±OC,

/.PQ1RQ,PQ=QR,

.♦.▲PQR是等腰直角三角形,

:»口=；叱，

VAB=5,AD=2,

：.3<BD<1,

:当PQ《

二泊叱岑

o2o

，.PQR的面积不可能是8,

故选：A.

【名师指路】

本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，添加常用

辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题

11.（202卜江苏海陵•八年级期末）如图，在△ABC中，。、E分别是A8、AC的中点，尸是直线。E上一

点，连接AF、BF,若NAFB=90。，A8=6,BC=10,则EF的长是.

【标准答案】2或8

【思路指引】

分两种情况讨论，由题意，直角三角形斜边上的中线。尸等于斜边的一半，中位线QE等于BC的一半,

相减（或相加）即可求得EF.

【详解详析】

解：分两种情况讨论，

第一种情况，如图，

A

■:点、D,E分别是边AB,AC的中点,8C=10

Z.DE=；BC=5

•；N4FB=90。，且AB=6,•.•点。是边AB的中点,

：.DF=^AB=3

EF=DE-EF=5-3=2；

第二种情况，如图，

•:点D,E分别是边AB,AC的中点,8C=10

:.DE=^BC=5

•••NAFB=90。，且A8=6,•.•点。是边A8的中点，

：.DF=^AB=3

EF=DE+EF=5+3=8;

故答案为：2或8.

【名师指路】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关

键.

12.（2021•江苏•苏州市景范中学校八年级月考）如图，在四边形ABC。中，AD=BC,E、F、G分别是

AB.CD、AC的中点，若皿C=1O。，ZACB=66°,则NFEG等于.

D

5t

A^---------E---------%B

【标准答案】28。

【思路指引】

根据三角形中位线定理得到bG〃AD,FG^^AD,GE//BC,GE=；BC,根据等腰三角形的性质、三角

形内角和定理计算即可.

【详解详析】

解：•./、G分别是C。、AC的中点，

：.FG//AD,FG=^AD,

：.ZFGC=ZDAC=\O0,

•.♦■E、G分别是AB、AC的中点，

AGE//BC,GE=gBC，

：.Z£GC=18O°-ZACB=I14°,

...NEGF=124°,

'：AD=BC,

：.GF=GE,

：.^FEG=^x(180°-124°)=28°；

故答案为：28°.

【名师指路】

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的

一半.

13.(2021•江苏工业园区.八年级月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，在

0c的延长线上取点E,使CE=；C。，连接。E交8c于点尸，若BC=12,则C/=.

BC

【标准答案】3

【思路指引】

过。作OM//BC交C。于M,根据平行四边形的性质得到80=DO,根据三角形的中位线的性质得到

CM=MD,可得CF是△EA/。中位线，根据中位线性质可求长.

【详解详析】

解：过。作OM〃BC交CO于M,

•.•在平行四边形48CO中，BC=U,

:.BO=DO,

：.CM=DM=-CD,OM=-BC=6

22

,:CE=-CD,

2

，CE=CM,

.♦.C尸是△EMO中位线，即C尸=1oM=3；

2

故答案为：3.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质和中位线的性质与判定，解题关键是恰当构建中位线，依据中位线的性质求

解.

14.（2021•江苏金坛•八年级期中）如图，菱形ABC。的周长为16.AC,BO交于点。，点E在BC上,

则。£的长是—.

D

【标准答案】2

【思路指引】

由菱形的性质得出A3=4,由三角形中位线定理即可得出OE的长.

【详解详析】

解：•••菱形48CD的周长为16,

：.AB=BC=CD=AD^4,AB//CD,ZDCO^ZBCO,ACJ.BD,

,JOE//AB,

.,.OE//CD,

：.ZDCO=ZCOE,

:.NBCO=NCOE,

：.OE=CE,

ABOE+NCOE=90°,ZOBC+NBCO=90°.

/.NBOE=NOBE,

：.OE=BE,

CE=BE,

，OE是AABC的中位线，

/.OE=-AB=2,

2

故答案为：2.

【名师指路】

本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理：熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.

15.（2021•江苏灌云•八年级期末）如图，在平行四边形ABCO中，M、N分别为CO、BC的中点，AM=

6,AN=3,NM4V=60。，则对角线BO的长为.

N

【标准答案】66

【思路指引】

延长AM至E,使得ME=4W,过点E作E”_LAN,交AN延长线于，点，连接MMBD.证明N点为

A”中点，求出AH,再运用勾股定理求出HE,最后根据三角形的中位线定理可得MN=g8。即可

求解.

【详解详析】

解：延长AM至E,使得ME=AM,过点E作EHLAM交AN延长线于H点，连接MMBD.

H

：.AE=2AM^\2.

,：ZMAN=60°,

/.Z£=30°,

：.AH=^AE=6,

HE=y]AE2-AH2=V122-362=65/3，

；AN=3,

点为A”中点，

:.MN=WHE=36,

：M、N分别为8、8c的中点，

：.MN=^BD.

：.BD=HE=6y/3.

故填6百.

【名师指路】

本题主要考查了了平行四边形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质，解决本题的关键是借助线段的

中点作“倍长中线”辅助线，使得线段得以转化.

16.（2021•江苏镇江•八年级期中）如图，△ABC中，A3=9,D、E分别是A&AC的中点，点厂在OE

上，且。f=3E凡当ARLB尸时，BC的长等于—.

【标准答案】12

【思路指引】

9

先根据直角三角形的性质得到比>=A£>=OF=/再根据0尸=3EF可求得DE,最后根据三角形中位线

定理求解即可.

【详解详析】

解：.N4FB=90，点力是A8的中点，

9

二BD=AD=DF=~,

2

13

,:DF=3EF,即EF=-DF=-

32

DE=DF+EF=3EF+EF=4EF=6

D、E分别是48,AC的中点，

/.BC=2DE=12.

故答案为12.

【名师指路】

本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行了-第三边

且等于第三边的一半是解答本题的关键.

17.（2021.江苏鼓楼.八年级期中）如图，AfiC中，M是BC中点，AN平分NR4C,AN工BN于■N,已

知/W=10,8c=15,ABC的周长等于41,则MN=.

【标准答案】3

【思路指引】

用角边角证明4ABN-AON,得到A£>=AB,BN=ND.再用中位线定理求出所求MN的长度.

【详解详析】

延长BN交AC于。，

AC=41-10-15=16,

AN平分ZZMC

ABAN=乙CAN

AN±BN

ABNA=90°

4DNA=ABNA=90°

/.4BNA=乙DNA

又，，AN=AN

:..ABN经/〃V（砌

/.AD=AB=IO,BN=ND,

：.DC=AC-AD=6,

用为BC中点、N为BD中点、

：.MN是△BCD的中位线

MN=-CD=3.

2

故答案为：3.

【名师指路】

本题考查了全等三角形的证明（角边角：在两个三角形中，如果有两组对应角和夹边对应相等，那这两个

三角形全等），中位线定理（三角形的中位线平行且等于第三边的一半）.解题的关键是作出辅助线.

18.（2021•江苏锡山•八年级期末）如图，在四边形48co中，AB//CD,NC=90°,AB=8,

AD=CD=5,点M、N分别为BC、Afi上的动点（含端点），E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度

的最小值为.

【标准答案】2

【思路指引】

作DHLABTH,连接DN,易得四边形BCDH是矩形，可得BH=CD=5,AH=3,由勾股定理可求得

DH；由三角形中位线定理知，EF=^DN,当最小值，EF最小，根据垂线段最短即可得EF的最小

值.

【详解详析】

作。于”，连接。N,如图

VAB//CD,NC=90°

/.ZB=900

■：DHLAB

：.NDHB=90。

四边形8C£>”是矩形

:.BH=CD=5

在放△QH4中，由勾股定理得：DH=\lAD2-AH2=725-9=4

*：E、尸分别为。M、MV的中点

Z.EF=-DN

2

当ON最小时，EF最小，而当QNLA8时，。N最小，即此时点N与点”重合，DN的最小值为4

EF=-DN=2

2

即EF的最小值为2

故答案为：2

【名师指路】

本题考查了三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键是通过中位

线定理把求线段EF的最小值转化为求点到直线的距离，体现了转化思想的运用.

19.（2021•江苏工业园区•八年级月考）在边长为8的正方形A8C。中，E为对角线AC上一动点，F为边

C。上一动点，BELEF,点、E从点、A出发,沿AC方向移动，若E点移动的路径长为4&，则8尸的中

点G移动的路径长.

【标准答案】4.

【思路指引】

取BC的中点连接MG并延长，交4C于点N,由题意可知，中点G在上移动，E点移动的路径

长为4夜时，中点G移动的路径为MN,求出长度即可.

【详解详析】

取3c的中点M,连接MG并延长，交ACT点M

G是BF的中点，

：.MG//CD,即中点6在MN上移动，N为AC的中点，

当点E在A点时，点F与点。重合，BF的中点即为AC的中点M

正方形ABC。的边长为8,AC=\lAB2+BC2=8>72>

E点移动的路径长为4夜，即E点与AC的中点N重合，点F与点C重合，8尸的中点即为8c的中点

M,

二8尸的中点G移动的路径长即为MW的长，

由中位线性质得，NM=^AB=4,

故答案为：4.

AD

【名师指路】

本题考查了正方形的性质、中位线的性质和动点问题，解题关键是利用中位线的性质得出肝的中点G移

动的路径并求出长度.

20.(2021•江苏镇江・八年级期中)如图，RdABC中，NC=90。，NA=30。，8c=5,点尸是AC边上的

一个动点，将线段8尸绕点8顺时针旋转60。得到线段8。，连接C。，则在点P运动过程中，线段CQ的

最小值为一.

c_

久S、!

\I

/

A---、B

【标准答案】I

【思路指引】

将RtAA8C绕B点顺时针旋转60°得至!JRtAEBD,首先证明Q随着P的运动在ED上运动，然后求解CQ

的最小值即为求C到ED的距离，当C。时，C。的长度即为最小，结合题意求解即可.

【详解详析】

如图所示：

将RtAABC绕B点顺时针旋转60。得到RtAEBD,

则此时E、C、8三点在同一直线上，

V^4BC=60°,NP8Q=60。，

:./ABP=NEBQ,随着产的运动，总有A8=EB,PB=QB,

.'.AAPB^AEQB(SAS),

即：E、。、。三点在同一直线上，

二。的运动轨迹为线段E。，

当CQ_L£»时，CQ的长度最小，

•.•R/Z4BC中，NC=90°,NA=30°,BC=5,

：.BD=5,EC=5,

即C为E8的中点，

,JCQA.ED,ZD=90°,

CQ，CQ为」EBD的中位线，

.••呐金=|,

故答案为：

2

【名师指路】

本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理等，解题关键是能够熟练运用旋转的性质，确定点。的轨

迹在线段EQ上.

三、解答题

21.(2021•江苏丹阳•八年级期末)综合与实践

如图，四边形ABC。和AFGH都为正方形，点F、H分别在AB、A。上，连接80、BH、FH,点N、

M、K分别是它们的中点.

C

H

B

图⑴图⑵图⑶

(1)观察思考

图(1)中，线段MN和MK的数量关系和位置关系为.

(2)探究证明

将正方形4FGH绕点4旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？并结合图(2)说明

理由.

(3)连接。F,取。F的中点R,连接M?,KR.

①判断四边形MNRK的形状，并说明理由；

②若4。=6,AH=2,在旋转的过程中，四边形A/NRK的周长的最大值为

【标准答案】(1)MN=MK,MNLMK；(2)没有发生变化，理由见解析；(3)①四边形MNRK为正方

形，理由见解析；②16.

【思路指引】

(1)先由中位线定理得MN〃。“且MK〃BF且MK=；BF,再由四边形A8C。和4FGH都

为正方形得BF=DH、NABC=NCBH+FBH=90°,进而NMW"+NKM”=90。，即得MN=MK且

(2)先由中位线定理得MN〃。//MK//BFFLMK=-BF,再证△BAFg/XOAH得

22

BF=DH,ZABF=ZADH,即可证且MN_LMK；

(3)①先由中位线定理证得四边形NRKM为平行四边形，再由(2)结论即可证明平行四边形NRKM为

正方形；

②由AC=6,AH=2,BF的范围A8-AFW8FWAB+AF得：4<BF<8,即可得8尸的最大值为8,进而NR最大

值为4,故正方形MNRK的周长的最大值为16.

【详解详析】

解：(1)•.•点N、M、K分别是80、BH、尸”的中点，

Z.MN//DH且MN=-DH,MK//HFS.MK=-BF,

22

四边形ABCD和AFGH都为正方形，

：.AB-AF=AD-AH,

：.BF=DH,

:.MN=MK,

\'MN//DH//BC,MK//AB,

：.ZNMH=ZCBH,ZKMH=FBH,

VZABC=ZCBH+ZFBH=90°,

：.ZNMH+ZKMH=90°,

:.MNLMK.

故答案为：MN=MK且MNLMK；

(2)不会变化，理由如下：

•:点、N、M.K分别是它们的中点，

Z.MN//DHJLMN^-DH,MK//BF3.MK=-BF,

22

；四边形ABCD和AFGH都为正方形，

二/区4。=/项”=90°,

/.ZBAD-ZFAD=ZFAH-^FAD,即NBAF=NDAH,

在4BAF与AD4〃中，

AB=AD

<ZBAF=ADAH,

AF=AH

••.△84金△£%//(SAS),

：.BF=DHfNABF=NADH,

:・MN=MK,

如图，延长BF交DH与T,

VZABF=ZADH9

・♦・NDAB=NDTB=90。,

:・DHLBF,

•:MN〃DH,MK〃BF,

:.MNLMK；

(3)①正方形，理由如下：

•:R、N分别DF、8。的中点，

:.NR〃BF且NR=>BF,

2

由(2)知，MK//BF^MK=-BF,

2

:.NR〃MK,NR=MK,

・・・四边形NRKM为平行四边形，

再由(2)知，MN=MKRMNLMK,

・•・平行四边形NRKM为正方形；

②・.・40=6,AH=2f

：.AD=AB=6,AH=AF=2f

在旋转的过程中BF的范围为：AB^AF<BF<AB+AFf

A4<BF<8,

・・・B厂的最大值为8,

...NR最大值为4,

二正方形MNRK的周长的最大值为16.

故答案为：16.

【名师指路】

本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、中位线定理、全等三角形的判定与性质、正方形的判

定与性质，证明出△84/丝△D4”,清楚在旋转的过程中8尸的范围为：48-4仁尸是本题的关

键.

22.(2021•江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中)我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这

一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.

重温定理，识别图形

图1图2

(1)如图1,我们在探究三角形中位线OE和第三边8c的关系时，所作的辅助线为“延长OE到点F,

使EF=DE,连接CF”,此时OE与。F在同一直线上且。E=又可证图中的四边形为平行

四边形，可得BC与。尸的关系是,于是推导出了“。引/BC,DE=；BC”.

寻找图形，完成证明

(2)如图2,四边形ABCO和四边形AEFG都是菱形，ZXBEH是等边三角形，ZABC=ZAEF=60°,连

接CF、CH.求证：CF=BE.

构造图形，解决问题.

(3)如图3,四边形A8CO和四边形型G都是正方形，连接BE、CF.直接写出C尸与BE的数量关

系.

【标准答案】(1)BCFD,平行且相等，理由见详解；(2)见详解；(3)CF=^BE.

【思路指引】

(1)根据全等三角形的性质得到4D=CF,ZADE=ZF,根据平行四边形的性质即可得到结论；

(2)连接8”,先证明△根据全等三角形的性质得到C”=AE=E/,NCHB=NAEB,推

出四边形£FCH是平行四边形，得到CF=E4,进而得到结论；

(3)BE绕点8逆时针旋转90。，得到8H,连接EH,CH,则△2EH是等腰直角三角形，

根据正方形的性质得到AB=BC,ZABC=90°,即乙48E+/C8E=90。根据全等三角形的性质得到AE=

CH,NAEB=NCHB,推出四边形EFC”是平行四边形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解详析】

解：⑴'：AE=CE,DE=EF,NAED=NCEF,

：.(SAS),

：.AD^CF,NADE=NF,

J.BD//CF,

；AD=BD,

：.BD=CF,

：.四边形BCFD是平行四边形，

:.DF=BC,DF//BC,

故答案为：BCFD,平行且相等；

(2)连接

ABEH是等边三角形，ZABC=ZAEF=60°

:.NEBH=NABC=6Q。,BE=BH=EH,

：.NABE=ZCBH,

图2

又,：AB=BC,

:.丛AEBQ4CHB(SAS),

：.CH=AE=EF,NCHB=NAEB,

■:NCHE=ZCHB-NBHE=NAE8-60。，

ZFEH^360°-ZAEF-ZAEB-ZBEH=2400-ZAEB,

；.NCHE+NFEH=180°,

尸且CH=EF,

：.四边形EFCH是平行四边形,

，CF=EH=BE；

(3)证明：BE绕点B逆时针旋转90。，得到8",连接EH,CH,则△8EH是等腰直角三角形,

:四边形ABC。姥正方形

：.AB=BC,NA8C=90°,即NA8E+NCBE=90°,

•.•△8EH是等腰直角三角形，

:.EH=6BE=^BH,NBEH=NBHE=45°,NEBH=90°,即NC8H+NC8E=90°

：.ZABE=ZCBH,

在4ABE和小CBH中，

AB=CB

</ABE=NCBH,

BE=BH

:.XABE/IXCBH(SAS),

：.AE=CH,NAEB=NCHB,

：.ZCHE=ZCHB-ZBHE=ZCHB-45°=ZAEB~45°,

•.•四边形AEFG是正方形，

:.AE=EF,NAE尸=90°,

：.EF=HC,NFEH=36。。-NAEF-NAEB-NBEH=225。-NAEB,

：.ZCHE+ZFEH=ZAEB-45o+2250-ZAEB=l80°,

J.EF//HC且EF=HC,

•••四边形EEC"是平行四边形，

【名师指路】

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的

判定和性质，正确是作出辅助线是解题的关键.

23.(2021•江苏苏州•八年级月考)我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证

明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.

(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理.

已知：如图①，在一ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DEHBC,DE=；BC.

证明：如图①，延长。E到点凡使得Er=£>£,连接C尸；

请继续完成证明过程.

(2)【问题解决】如图②，四边形A2CZ)和四边形AEPG都是正方形，△BEW是等腰直角三角形，

ZEBH=90。,连接CF、CH.求证：CF=^BE.

(3)【思维拓展】如图③，四边形ABCO和四边形AEFG都是菱形，ZABC=ZAEF=120°,连接8E、

CF,直接写出CF与BE的数量关系.

【标准答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)CF=6BE

【思路指引】

⑴根据全等三角形的性质得到AO=CF,ZADE=ZF,根据平行四边形的性质即可得到结论；

(2)根据正方形的性质得到AB=BC,ZABC=90°,即/43E+NC8E=90。根据全等三角形的性质得到

AE=CH,NAEB=NCHB,推出四边形EFC”是平行四边形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论;

(3)如图，过点8作使NE8H=120。，且BH=BE,连接E从CH,根据全等三角形的性质得到

CH=AE=EF,NCHB=NAEB,推出四边形EFCH是平行四边形，得到CF=EH,过B作BNLEH于N,

根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解详析】

(I)'：AE=CE,DE=EF/AED=/CEF,

.AED工CEF(SAS),

：.AD=CF,EF=DE,NADF=NF,

：.BDHCF,

'JAD-BD,

：.BD=CF,

，四边形BCFD是平行四边形,

:.DF=BC,DF//BC,

即。E=」BC,DF//BC,

2

(2)证明：Y四边形48C。是正方形，

：.AB=BC,NA8C=90。，即48E+NCBE=90°

•••△BE”是等腰直角三角形，

:.EH=OBE=-JiBH，/BEH=/BHE=45。,/EBH=90。,即"B"+"BE=90。,

:.NABE=4CBH,

.•.在△ABE和△CBH中,

AB=CB

{ZABE=ZCBH,

BE=BH

：.AABE^ACBH(SAS),

AE=CH,NAEB=NCHB,

：.ZCHE=ZCHB-ABHE=ZCHB-45°=ZAEB-450,

•••四边形AEFG是正方形，

：.AE^EF,NAEF=90°,

EF=HC,ZFEH=3600-ZAEF-ZAEB-ZBEH=2250-ZAEB,

：.NCHE+NFEH=NAEB-45°+225°-NAEB=180°,

:.EFHHC旦EF=HC,

二四边形EFCH是平行四边形，

:.CF=EH=y[iBE；

⑶CF=^BE,

如图：

过点B作8",使/E8”=120。，且BH=BE,

连接EH、CH,

则/8"E=N8E〃=30。，

•.•/A8C=NEB，=120°,

ZABE=ZCBH,

'：AB=BC,BE=BH,

.♦.△AEB丝△CHB(SAS)

；.CH=AE=EF,NCHB=NAEB,

•：NCHE=NCHB-NBHE=NAEB-3Q。,

ZFEH=360°-ZAEF-NAEB-NBEH=2\O°-ZAEB,

:./CHE+NFEH=180。,

:.CHHEF旦CH=EF,

.••四边形EFC”是平行四边形，

CF=EH,

过B作BNLEH于N,

在ZE8”中，NEBH=120°,BH=BE,

ZBEN=30°,EH=2EN,

：.EN=^-BE,

2

:.EH=6BE,

：.CF=EH=43BE

【名师指路】

本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确是作出辅助

线是解题的关键.

24.(2021•江苏射阳•八年级期中)综合与实践：

如图1,已知ABC为等边三角形，点。，E分别在边48、AC上，AD=AE,连接。C,P、Q、M分别

为DE、BC、0c的中点.

D

A

D

QQ

Q

图1图2图3

(1)观察猜想

在图1中，线段PM与2M的数量关系是,NPMQ的度数是；

(2)探究证明

若把—ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，再连接8E,取8E的中点N,连接尸N、QN.

①判断四边形PMQN的形状，并说明理由；

②求NPMQ的度数；

(3)拓展延伸

当/B4C=90°,AB=AC=1,AD=AE=3,把.ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3.

①四边形PMQN为；

②请直接写出四边形PMQN面积的最大值.

【标准答案】(1)PM=QM,120°；(2)①四边形/WQN为菱形，证明见解析；②NPA/Q=120。；

(3)①正方形；②Sy"”最大=25

【思路指引】

(1)根据三角形中位线定理和三角形的外角性质，即可得到答案；

(2)①连接CE、BD,证明△408丝结合三角形的中位线定理，即可得到结论成立；

②利用三角形的中位线定理，以及角的关系，运用等量代换，即可求出答案.

(3)①结论：四边形PMQN是正方形.连接8。，EC,延长CE交8。于点儿交点0.证明

hDAB^^EAC(SAS),推出BD=CE,NABD=NACE,推出CH1BD,再证明PM=MQ=QN=PN,

ZPMQ=90°即可解决问题.

②求出EC的最大值，即可求出正方形边长的最大值，由此即可解决问题.

【详解详析】

解：(1)如图1中，

A

：.BD^CE,ZB=ZACB=60°,

•:点、P,M,。分别为DE,DC,BC的中点，

：.MQ//BD,PM//EC,MQ=^BD,PM=^CE,

：.MQ=PM,ZMQC=ZB,NDMP=NACD,

：.NPMQ=NPMD+ZDMQ=ZACD+NDCB+ZMQC=ZACB+ZB=120°,

故答案为：PM=QM,120°.

(2)①连接CE、BD,如图

"：AD^AE,AB^AC,

：./\ADB^/\AEC(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

:点P、点M点。、点M分别是OE、BE、BC、CD的中点,

PM=NQ=^CE,PN=MQ=；BD,

：.PM=NQ=PN=MQ,

.••四边形PNQ例是菱形；

@"：MQ//BD,PM//EC,

:.NMQC=NDBQ,ZDMP=ZECD,

：.ZPMQ=NPMD+ZDMQ=ZECD+ZDCB+ZMQC=NECB+NDBQ,

■:ZECB=ZACB-ZACE=600-ZACE,

NDBQ=/ABC+=60°+/ABD,

YZABD=ZACE,

.・・ZPMQ=60°-ZACE+60°4-ZABD=120°；

(3)①如图3中，结论：四边形PMQN是正方形.

理由：连接8D,EC,延长CE交BD于点H,交于点。

图3

・；NBAC=/DAE,

:・NDAB=/EAC,

*：AD=AE,AB=AC,

：./\DAB^/\EAC(SAS),

:,BD;CE,ZABD=ZACE,

VZACO+ZAOC=90°,/AOC:/BOH,

：.NABD+/BOH=90。,

・・・ZCHB=90°,

:.CHIBD,

■:DP=PE,DM=CM,

：.PM=-EC,