2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）含答案解析版

2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5

月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合/={x|-lWxWD，B={-2,-1,0,1,2],则力0|8=（）

A.{-1,0,1}B.{-1,1}C.[-1,1]D.{-2,-1,0,1,

2}

2.（5分）已知向量4=（0,3）,ft=（4,0）,贝ljcos<2,a-b>=（）

3c4r4

AA.-B.-C.—D.—

5555

3.（5分）给出下列三个结论：

①若复数Z=（/-。）+山（4£火）是纯虚数，则Q=1；

②若复数z=2_,则复数Z在复平面内对应的点在第二象限；

1+Z

③若复数Z满足|z|=l,则Z在复平面内所对应点的轨迹是圆.

其中所有正确结论的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

4.（5分）2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名”云南省美丽县城”“云南省

特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”.其中这6

个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞

丽嘛町小镇、德钦梅里雪山小镇.若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意

选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）

1211

A.-B.-C.-D.-

3356

5.（5分）A/i8c为等腰三角形，且NC=90。，则以4,C为焦点且过点3的椭圆的离心

率为（）

A.—B.—C.73-1D.V2-1

22

6.（5分）已知等差数列{%}的公差为d,有下列四个等式：

①。1=-1;②d=l；③〃]+。2=0；④%=3.

第1页（共23页）

若其中只有一个等式不成立，则不成立的是()

A.①B.②C.③D.@

7.(5分)S+b)"=C"+C：a"-%+…+C"-0+…+C»"叫做二项式定理，取a=6=l,

可得二项式系数的和.执行如图所示的程序框图，如果输入〃=8,则输出S=()

A.64B.128C.256D.512

8.(5分)已知平面a截球。所得截面圆半径为百，该球面上的点到平面a的距离最大值

为3,则球。的表面积为()

A.4"B.8乃C.16"D.32〃

9.(5分)智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周

围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.

国I图2

已知某噪音的声波曲线y=/sin(s+-)(A>0,0>0)在上大致如图2所示，则通过

622

听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为()

Ac./乃、C2-\/3./2乃冗、

A.y=2sin(^x+—)B.y=---sin(——x---)

6353

2百.4乃2454、

C.y=---sin(——x----)D.y=2sin(^x----)

3536

第2页(共23页)

10.（5分）已知某物种经过X年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k-Sl，''\k>0）,

当x=0时，y的值表示2021年年初的种群数量.若f（feN*）年后，该物种的种群数量不超

过2021年初种群数量的1,则，的最小值为（）（参考值：加3名1.09）

4

A.9B.10C.11D.12

11.（5分）设片，E是双曲线。：鸟-乙=1（">0,6>0）的左，右焦点，点P在C上，若

ab"

=y,且I。尸1=3”（。为坐标原点），则C的渐近线方程为（）

^FXPF2

.2>/6「.2715,715

A.y=+±---xBn.y=±——xC.y=±-----xDn.y=±----x

3456

12.（5分）已知函数/（x）=e，-。-婀-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

X

A.（e,+<x>）B.（曰,+8）C.（；,+8）D.（l,4-oo）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2x—y—120

13.（5分）若x,y满足约束条件,x-yW。>则z=-x+2y的最小值为.

x+y-6@

14.（5分）甲、乙两组数据如表所示，其中a,beN”,若甲、乙两组数据的平均数相等,

要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，贝为—.（只需填一组）

甲12ab10

乙124711

15.（5分）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则片与《大小之比为

16.（5分）已知数列｛a,,｝的前〃项和为S,，4=1,S“+S,T=4〃“〃》2,〃GN.），则S?5=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:

第3页（共23页）

共60分.

17.（12分）A48C的内角力,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,J=60°,D为

8c边上一点，BD=2CD.

（1）若CD=1,求sinC；

（2）若A/IBC的面积为26，求的长.

18.（12分）如图，在三棱柱/8C-481G中，四边形8CC0是菱形，ABLBC,G在底

面N8C上的射影是8c的中点.

（1）证明：CB、_L平面/8G；

（2）若BC=2AB,求C81与平面/CG4所成角的正弦值.

19.（12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝

对贫困.某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解

脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽

取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x,消费支出y,食品支出z（单位:

千元），整理数据（占，=l,2,8）得到下面的折线图，由数据（％,z,.）（;=1,2,

…，8）得到如表.

第4页（共23页）

y消费支出（千元）

0d―3035404550—~5560—、收入（千元）

家庭（Z）12345678

消费支2730333537404244

出3）

食品支910111312111212

出（Z）

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合夕与X的关系，求y关于X的回归方程?=庆+0

（精确到0.01）,并解释3的现实生活意义；

（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个家庭收入越少，家

庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总

支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合

国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%〜59%为温饱，40%~50%为

小康，30%〜40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭

中达到最富裕的家庭户数.

参考数据：=360,之乂=288,之x,%=13310,^x,2=16714.

i=li=li=li=l

^xy-nx-y

附：回归方程j=+G中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=^-------,

少疗

/=1

Aj'—

a=y-bx.

第5页（共23页）

20.(12分)设函数=-冗2+(1_/口+43伍£火)的极大值点为西，极小值点为

(1)若再>(0,1),求。的取值范围；

(2)若加£(0,1］,/(再)+/(%)(2加，求实数机的取值范围.

21.(12分)已知斜率为;的直线与圆/+3-3)2=5相切，切点为T,且T在抛物线

E:y2=2px(p>0)_E.

(1)求点T的坐标和E的方程；

(2)已知点M(a,0),N(2a,0),R(4a,0)(a>0),点N是E上的任意一点(异于顶点)，

连接/"并延长交E于另一点8,连接8N并延长交E于另一点C,连接CR并延长交E于

另一点。，设直线ZC与8。的交点为P.设AP/8和APC。的面积分别为£,Sz，证明：

去为定值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔在答题卡选

考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与

参数方程］(10分)

x=t,

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线G：百。为参数)，以坐标原

y=2t--t+—

12

点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G：P=2acos0(4>0).

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程：

(2)设射线与G相交于N,8两点，与C2相交于M点(异于O),若,

求a.

［选修4・5：不等式选讲］

23.已知关于x的不等式2〃+36+4仁|%|+|工-1|(工£氏)恒成立.

(1)求2〃+36+4c的最大值；

(2)当〃〉，h>-,c>，2a+36+4c取得最大值时，证明：一—+—!—+—!—23.

2322Q+136-14c+2

第6页(共23页)

2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷(理科)(5

月份)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={x|-KxWl}，B={-2,-1,0,1,2},则川[8=()

A.{-1,0,1}B.{-1,1}C.[-1,1]D.{-2,-1,0,1,

2)

【解答】解：•.・4={x|-lWx«}，B={-2,-1,0,1,2},

始8={-1,0,1}.

故选：A.

2.(5分)已知向量。=(0,3),b=(4,0),贝(JcoscG,a-b>=()

3c4c3r4

AA.-B・—C.—D.—

5555

【解答】解：，•向量子=(0,3),6=(4,0),

a-b=(-4,3)9

一一2a\a-b)93

cos<a,a—b>=------------=------=—•

\a\-\a-b\3x55

故选：A.

3.(5分)给出下列三个结论：

①若复数z=(a2-a)+ai(aeR)是纯虚数,贝I」。=1；

②若复数z=—,则复数Z在复平面内对应的点在第二象限；

1+Z

③若复数Z满足|z|=l,则Z在复平面内所对应点的轨迹是圆.

其中所有正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：①若复数2=(/一〃)+出(〃€7?)是纯虚数，

第7页(共23页)

则,一解得。=1,故①正确；

②因为复数2=二=在也=l+i,则复数Z在复平面内对应的点（1,1）在第一象限，故②错

1+Z1+Z

误；

③设z=x+£R）,

因为复数Z满足IZ|=〃+/=1,

所以/+/=],即Z在复平面内所对应点的轨迹是圆，故③正确；

综上所述，所有正确结论的个数是2个，

故选：C.

4.（5分）2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省

特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”.其中这6

个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞

丽嘛町小镇、德钦梅里雪山小镇.若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意

选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）

“1c2c1r1

A.—B.—C.—D.—

3356

【解答】解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、

剑川沙溪古镇、瑞丽腕町小镇、德钦梅里雪山小镇.

某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，

基本事件总数n—C1=15,

其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m=C；C；=5,

则其中一个是安宁温泉小镇的概率为尸='』=_L.

n153

故选：A.

5.（5分）ZU4c为等腰三角形，且NC=90。，则以4,C为焦点且过点8的椭圆的离心

率为（）

A.BB.也C.y/3-lD.V2-1

22

【解答】解：由题意为等腰三角形，且NC=90。，可知：418c是等腰直角三角形，

设：BC=2c,AC=2c,AB=272<?

第8页（共23页）

由椭圆的定义可知：2缶+2c=2a,

c1<—

则椭圆的离心率：e=—=—f=—=V2-1.

aV2+1

故选：D.

6.（5分）已知等差数列｛4｝的公差为d,有下列四个等式:

③q+4

若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（)

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：假设①②成立，则4=-1,4=1,4+a,=-1+0=-1w0,③不成立，=2#3,

④不成立；

故①②不可能同时成立，则③④一定同时成立，

即％+=0，=3，

所以［2q+d=0,解得d=2,4=7,

团+2d=3

所以②不成立.

故选：B.

7.（5分）（a+b）"=C°a"+C'na"-'b+•­•++…+C»”叫做二项式定理，取a=6=l,

可得二项式系数的和.执行如图所示的程序框图,如果输入〃=8,则输出S=()

（开.始）

/输△〃/

Jt=O,S=O

—

L.是

/输”/

，一十.、

（结束）

A.64B.128C.256D.512

第9页（共23页）

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=C：+C；+《+...+C；

的值，

由于（a+b）n=C°an+C'„a"-'b+…+C：尸b*+…+C：b",

取a=b=l,〃=8,可得（1+1）S=C：+C；+C；+...+C；=28=256.

故选：C.

8.（5分）已知平面a截球。所得截面圆半径为6,该球面上的点到平面a的距离最大值

为3,则球。的表面积为（）

A.4〃B.8乃C.16乃D.32万

【解答】解：如图，

设平面a截球。所得小圆为圆G,圆心为G,

由题意可得，PG=3,AG=y/3,

再设球的半径为R,则（3-汗+（⑨2=w，

解得：R=2.

球0的表面积为4行夫2=4万x4=16勿.

故选：C.

9.（5分）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周

围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.

已知某噪音的声波曲线y=Nsin（s•+?）（4>0,。>0）在［-y,y］上大致如图2所示，则通过

听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）

第10页（共23页）

JI2百.24冗

A.y=2sin(^x+y)B.y=---sin(——x---)

,353

2734万2乃

C.y=---sin(——x----)D.y=2sin(^rx--^)

353

【解答】解：根据曲线y=Zsin（3x+工）（4〉0,①〉0）在［-石，巴］上大致图象,

622

可得以皿0+a=1,.-.A=2.

再根据五点法作图，可得。x，+^=万，.•.（y=;r,故函数的解析式为了=2$皿乃》+令,

故选：D.

10.（5分）已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k-^'''（k>0）,

当x=0时，y的值表示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超

过2021年初种群数量的;，贝心的最小值为（）（参考值：比3=1.09）

A.9B.10C.11D.12

【解答】解：由题意可知%,=kx8『=8左，

」1

旅》，

即h8""飞1'8A,

4

23，“"（2,

3

加3

0—«10.9.

0.1

故选：C.

11.（5分）设耳，鸟是双曲线C:［-《=l（a>0/>0）的左，右焦点，点P在C上，若

N4Pg=。，且10Pl=3a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）

A_2#R_+V6r岳后

A・y=i-----xB.y=ixC・y=±-------xL）.y=±-------x

3456

【解答】解：设尸在双曲线的右支上，|尸£|=加，|%|=〃，*工上2°,

由双曲线的定义可得加-〃=2。，

又可=g（所+而），两边平方可得而2=；（西,+近2+2西•A后），

第11页（共23页）

艮口为9Q2=1(〃?2+/+2加〃cos工)=▲[(〃？-“)2+3〃7〃]=—(4a2+3mn),

4344

可得加〃=—a2,

3

乃32

在△PFiB中，由余弦定理可得4c2=/+/-2加〃cos§=(加一〃)2+2nin-mn=4a2+，

…后

化为c=-----a,

3

则b=yjc2-a2=汉"，

3

77

所以双曲线的渐近线方程为y=土9号Lc.

故选：A.

12.(5分)已知函数/(x)=e，-。-婀-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()

X

A.(e,+a>)B.(*,+8)C.(g,+8)D.(1,-H»)

【解答】解：依题意，j。-1=如有且仅有两个根，即函数g(x)=e'--l与函数〃(冷=蛆

XX

的图象有且仅有两个交点，

而“(外=工竺，易知函数〃(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

X

且xf0时，h(x)—>-oo,x—>+oo时，h(x)T0,

函数g(x)="L-l相当于函数y=1在水平方向向左(或右)平移了|〃|个单位，作出函

数g(x)与〃(x)的草图如下.

由图象可知，当。>1时，函数ga)=e・“-1与函数以乃=竺的图象有且仅有两个交点，符

x

第12页(共23页)

合题意.

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2x-y-120

13.（5分）若x,y满足约束条件，x-yWO，则z=-x+2y的最小值为1

x+y-6^0

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

2x-y-l=0

联立y-y=o,解得41,1）,

\2x-y-\=0

由z=-x+2y,得夕=1+：,由图可知，当直线y=；x+|■过/时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-1+2=1.

故答案为：1.

14.（5分）甲、乙两组数据如表所示，其中a,bwN*,若甲、乙两组数据的平均数相等，

要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（。力）为（6,6）（其它答案：（5.7）,（7.5）,（4.8）,

（8,4））_.（只需填一组）

甲12ah10

乙124711

【解答】解：由题意可得，l+2+a+b+10=l+2+4+7+ll,

所以a+b=12,平均数为5,

因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，

所以

(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5『+(10-5)2<(1-5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(11-5)2，

第13页(共23页)

即(a-5)2+S-5)2<16,

所以(a,b)可以为(4,8),(6,6),(5,7),(7,5),(8,4).

故答案为：(6,6)(其它答案：(5,7),(7,5),(4,8),(8,4)).

15.(5分)两同学合提一捆书,提起后书保持静止，如图所示，则片与月大小之比为—中

【解答】解：设这捆书所受的重力为G,进行力的合成，如图所示:

.与_且_逅

■'■K=V2=T-

故答案为：逅.

2

16.(5分)已知数列｛4｝的前“项和为S,,4=1,S“+S“T=4”2(©2,"WM),则与=

1297.

【解答】解：S,+S,-=4/(〃)2,”6N*),S„+l+S,,=4(”+以，

相减可得：a„+1+an=8n+4,

...$25=1+8(2+4+……+24)+12x4=49+8J*(2+24)=1297.

第14页(共23页)

故答案为：1297.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:

共60分.

17.(12分)A48c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,/=60。，D为

8c边上一点，BD=2CD.

(1)若CD=1,求sinC；

(2)若A45c的面积为26，求4D的长.

【解答】解：(1)依题意得8。=2,贝IJ8C=3,

在A4BC中，由正弦定理得：一乙=—J,

sin4sinC

即号=工，所以sinC=@.

V3sinC3

T

i77

(2)因为SMBC=]bcsin/=^-6=2石，所以6=4,

,__1__2__

由80=2。可得，AD=-AB+-AC,

33

222

^AD=^-AB+-AB-AC+-AC,

999

=-x22+-x2x4xl+-x42=—,

99299

所以/。=义巨.

3

18.(12分)如图，在三棱柱N8C-48cl中，四边形是菱形，4B工BC,G在底

面ABC上的射影是BC的中点.

(1)证明：C5一平面/8G；

(2)若BC=2AB,求Cq与平面4CG4所成角的正弦值.

第15页(共23页)

小

【解答】（1）证明：设5c中点为。，连结CQ,

因为C在底面ABC上的射影为8c中点，所以CQ1平面ABC,

又因为CQu平面8CC4,所以平面8CC4_L平面N8C,

又因为平面48CC平面8CC£=8C,AB1BC,

所以48_L平面8CC4,

因为qcu平面BCGA,

所以/8_L5C，（4分）

又因为四边形8CG用为菱形，

所以,

而所以qC_L平面Z8G.（6分）

（2）解：不妨设8c=2,贝=

因为CQLBC,BD=DC,所以G8=£C,

又因为四边形8CG4为菱形，所以GC=C8,故△C8C为等边三角形,

第16页（共23页）

所以NBCC|=6O。，故C1O=VL由(1)知平面8CC4，AB工BC,

以B为原点，建立空间直角坐标系5-中z如图，8(0,0,0),A(0,1,0),C(2,0,0),

5,(-1,0,73).C,(1,0,73),

所以西=(-3,0,石)，(8分)

设平面4CC/法向量为斤=(x,N,z)，就=(2,-1,0),而=(1,-1,我，

[AC,-n=0

可得一个万=(百,2行,1),(10分)

设C片与平面ACC,A,所成角为。，则sin0=乌包=网=

|C5,|.|«|2^X44

所以eg与平面/CG4所成角的正弦值为;.(12分)

19.(12分)我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝

对贫困.某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解

脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽

取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x,消费支出y,食品支出z(单位:

千元)，整理数据(占，y,)(/=l,2,--8)得到下面的折线图，由数据(％,z,.)(/=1,2,

…，8)得到如表.

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家庭⑴12345678

消费支2730333537404244

出3）

食品支910111312111212

出（Z）

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合夕与x的关系，求y关于x的回归方程/=八+占

（精确到0.01）,并解释♦的现实生活意义;

（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个家庭收入越少，家

庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总

支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合

国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%〜59%为温饱，40%〜50%为

小康，30%〜40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭

中达到最富裕的家庭户数.

参考数据:Jx,=360,次乂=288,次xj=13310,=16714.

/=1/=1/=1i=l

Y,xy-rix-y

附：回归方程步=八+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：3=--------------,

/=1

a=y-bx.

88

Z"360

-288..

【解答】解：（1）由题意可知，x=^=—=45,y=------=-----=36,

8888

13310-8x45x36175

所以g=R--------------0.681»0.68,

16714-8x452257

-8矛

1=1

故&=歹-宸*36-().681x45z5.36,

所以y关于x的回归方程为y=0.68x+5.36,

h的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元:

（2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：

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家庭⑴12345678

恩格尔33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.2%

系数

所以样本中达到最富裕的家庭有3个，

估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为±X40=15(户).

8

20.(12分)设函数/(x)=gx'--+q_02口+/5©尺)的极大值点为王，极小值点为马.

(1)若石w(0,l),求。的取值范围：

(2)若%e(0,1],/(%,)+f(x2)^2m,求实数用的取值范围.

【解答】解：(1)函数/(x)=$3-/+(1_/)*+/(碇R),

则，(X)=X2_2X+]_“2=[x-(l-a)][x-(l+a)],

①当l+a=l-a,即a=0时，/'(x)》0,/(x)单调递增，与题设矛盾，则”0；

②当1+〃<1-4,即a<0时，/(x)在(-co,1+a],[1-67,+8)上单调递增，

在(l+a,l-a)上单调递减，所以内=1+0,由0<l+a<l,解得

③当l+a>l-a,即a>0时，〃x)在(-<»,1-a],[1+a,+oo)上单调递增，

在(l-a,l+a)上单调递减，所以阳=1-°,由解得0<"1.

综上所述，”的取值范围是(-1,0)0(0,1)；

(2)0^/(x)=1(x-l)3-a2(x-l)+a3-a2+1,

所以/(x)图象关于对称，而"L=1,所以/区)；/a)=〃1),

又因为mae(0,1]使/(%)+/(Z区2机，即三。©(0,1]使机刀(1)=<?-/+；,

令g(x)=x}-x2+-,xe(0,1],

所以g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),可得g(x)在(0,|]上单调递减，(|刀单调递增，

所以g(x)而“=g(|)=>则加吟,

综上，加的取值范围为[捺,+8).

21.(12分)已知斜率为;的直线与圆/+3-3)2=5相切，切点为T,且7在抛物线

第19页(共23页)

E:y23=2px(p>0)上.

(1)求点T的坐标和E的方程；

(2)已知点M(a,O),N(2a,0),R(4a,0)(a>0),点Z是E上的任意一点(异于顶点)，

连接并延长交£于另一点8,连接8N并延长交£■于另一点C,连接CR并延长交£■于

另一点。，设直线ZC与8。的交点为尸.设AP/8和APC。的面积分别为£,工,证明：

去为定值.

【解答】(1)解：由己知可得，经过7和圆心的直线方程为y=-2x+3,

代入工2+(y—3)2=5得5x?=5,x=l或x=-1(舍去)，

所以7(1,1).(2分)

由点7在抛物线上，得F=2pxl,所以p=L

故E的方程为V=x.…(4分)

(2)证明：设/(苏，用)(加。0),直线Z8的方程为x=W+4,

2

代入E的方程，得「一少-。=0,所以“4=-〃，所以见=-q，所以8(j,_3),

tnm~m

同理可得C(4〃?2,2m),,

m~m

直线AC的方程为歹一根=—(x-m2),即x-3my+2nr=0,

3m

直线的方程为y+区=—■—(x——y),Bpx4-—y+—=0.

m3am~mm~

x-3tny+2m2=0,

3a2a2得力=,(利一勺，(8分)

由<

x+—y+—z-=0,3tn

mm"

c-\PA\\PB\smAAPB.D...DDI

则。="____________=\PA^K\PB\=yP-yAxyP-yB

$2J尸。||尸。sin4PB1PC1y^-yc4一打

e2a1/2a.

y-y=—(znt--)x—m=——(m+——),

PA3m3m

y—y=—(m——)-2m=——(2m+—)，

p“c3tn3tn

2a.a1"〃、

yp一九=彳(z加—)+—=彳(2加+一)，

3mm3m

第20页(共23页)

2.a、2a2,2a.

y-y=~（,n—）+—=彳（阳+—）,

PD3mm3m

所以昱=」是定值.（12分）

$2