2021年浙江省高考数学真题试卷（含详解）

2021年浙江省高考数学试题

一、选择题

1.设集合A={》忖21},B^[x\-\<x<2],则AC|B=()

A.„>-1}B,C.(x|-l<x<l}D.{x[l<x<2}

2.已知aeR,(l+ai)i=3+i,(i为虚数单位)，则。=()

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量a,B,c,则“a.c=c"是"a=b"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

D.3也

x+120

5.若实数x,y满足约束条件〈，则z=x的最小值是（）

2x+3y-l<0

31

A.-2B.一一D.

2210

6.如图已知正方体ABC。一ABC?,M,N分别是AQ,的中点，则（)

A.直线4。与直线。乃垂直，直线肱V//平面ABC。

B,直线4。与直线。乃平行，直线平面5。。的

C,直线4。与直线相交，直线MN//平面A3CQ

D.直线4。与直线。乃异面，直线MNL平面8。。男

函数可能是()

广/⑶-g⑴T

g(x)

/(x)

8.已知a,尸,丁是互不相同的锐角，则在sinacos£,sin£cosy,sin7cosa三个值中，大于;的个数的最

大值是()

A.0B.1C.2D.3

9.已知a,Z?eR,出?>0,函数/(x)R).若/(S-/),/(§),/($+。成等比数列，则平面上点

(s,。的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.已知数列｛&｝满足6=1，4+1='1~，=(〃61<).记数列｛4,｝的前〃项和为5“，贝IJ()

399

34

A<E<3氏<<a4<<<<5

2-2-D.2-

00

二.填空题

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正

方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为号，小正

方形的面积为S2,则寸=

12.已知awR,函数若/=则。=•

44

13.已知多项式（X—I），+（X+I）=%+。］冗3+ci^X~+UyX+Cl4f则.=,

+。3+。4=,

14.在△ABC中，ZB=60°,AB=2,M是的中点，AM=2日则AC=

cosZMAC=.

15.袋中有4个红球小个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为若取出的两个球都是

红球的概率为,，一红一黄的概率为一，则机一〃=,E（4）=.

63

16.已知椭圆1+=l（a>b>Q）,焦点E（-c,0），K（c,0）（c>0）,若过大的直线和圆

Q-

2

（x—gc]+V=c相切，与椭圆在第一象限交于点P,且工x轴，则该直线的斜率是

椭圆的离心率是.

17.已知平面向量N6）满足"=1，W=2,。%=0,（。一看）年=0.记向量2在〃,否方向上的投影分

别为X，y，7—£在"方向上的投影为z,则V+y2+z2的最小值为.

三、解答题

18.设函数=sinx+cosx(xwR).

(1)求函数y=+的最小正周期；

(2)求函数y=-在0,|上的最大值.

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CQ是平行四边形，ZABC=120°,AS=1,BC=4,PA=汨,

M,N分别为3C,PC中点，PD工DC,PM人MD.

(1)证明：ABLPM-,

(2)求直线AN与平面POM所成角的正弦值.

20.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=—且4S,+|=3S“-9.

(1)求数列｛〃”｝的通项；

(2)设数列出｝满足物+(“-4)4=0(〃eN*),记也｝的前〃项和为(，若(《劝”对任意〃eN*恒

成立，求实数X的取值范围.

21.如图，已知尸是抛物线y2=2px(p>0)焦点，〃是抛物线的准线与x轴的交点，且目=2,

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点尸的直线交抛物线与A、B两点，斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,

R,N,且但N『=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.

22.设a,6为实数，且a>l,函数/(x)=a*-bx+e2(xeR)

(1)求函数的单调区间;

(2)若对任意。>2e2,函数/(x)有两个不同零点，求《的取值范围;

(3)当a=e时，证明：对任意〃>e4,函数/(x)有两个不同的零点.与,(々>%)，满足

b\nbe~

X-y>----r—X,d---

-2e21h

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

2021年浙江省高考数学试题

一、选择题

1.设集合A={》忖21},6={R—1<X<2},则AC|B=（）

A.{中>-1}B.C.（x|-l<%<1}D.{%|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：AnB={x|l〈x<2}.

故选：D.

2.已知aeH,（l+ai）i=3+i,（i为虚数单位），则。=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数。的值.

【详解】（1+ai^i=i+ai2=i-a=-a+i=3+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：一。=3,.-.a=-3.

故选：C.

3.已知非零向量。，及c,则“a.c=九c"是"a=B”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，/=2丽=瓦丽=洛丽=&-5,当A5LOC时，。一5与"垂直，@-可芝=0,

所以成立，此时互w。，

・・・32■石不是1=5的充分条件,

当M=B时，=0，・•=0,・・成立,

・•a・o・6・<?是1=5的必要条件，

综上，是"工■£'的必要不充分条件

故选：B.

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

D.3亚

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】几何体为如图所示的四棱柱ABC。-A4G2，其高为1，底面为等腰梯形ABCQ,

该等腰梯形的上底为正，下底为2起，腰长为1,故梯形的高为n=乎，

故匕BCOA”。=，x（及+2及）x也xl=。，

Ao（./i|£>|C|M|2、,22

故选：A.

1

x+l>0

5.若实数x,y满足约束条件,x—y«O，则z=x-Jy的最小值是（）

2x+3y-l<02

311

A.—2B.—C.—D.—

2210

【答案】B

【解析】

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为2的直线在N轴

上截距的最大值即可.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件<的可行域，

2x+3y-l<0

如下图所示:

目标函数z=x-gy化为y=2x-2z,

x=-lfx=-l

由c°in-解得〈,，设A(T,1),

2x+3y-l=0[y=l

当直线y=2x-2z过A点时，

13

z=x-一y取得最小值为一巳.

22

故选：B.

6.如图已知正方体ABC。—4耳CQi，M,N分别是4。，的中点，则()

A.直线4。与直线。出垂直，直线MN//平面ABCD

B.直线4。与直线。出平行，直线平面

C.直线4。与直线相交，直线MN//平面ABC。

D.直线AQ与直线异面，直线平面BOD4

【答案】A

【解析】

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面A8A，即可得出结论.

连AQ,在正方体ABCZ)-4gGR中，

M是4。的中点，所以M为A2中点，

又N是。出的中点，所以MN//AB,

MN(X平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面A8CO.

因为A3不垂直80，所以MN不垂直6。

则MN不垂直平面BDD&I,所以选项B,D不正确；

在正方体ABC。-中，A£)]_LA]。，

他,平面至。。，所以ABJ.A。，

A〃cAB=A,所以ADJ,平面ABR,

QBu平面所以

且直线A乃是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个

面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7.已知函数./■(>)=/+：,g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

B-y="x)—g(x)[

g(x)

c.y=/(x)g(x)D.y

/(X)

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)—：=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=/(x)—g(x)—；=sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=+；)$山》，贝ijy，=2xsinx+(%2+；］cosx,

当》=一时，y'——x-^—+---1—>0,与图象不符，排除C.

422(164)2

故选：D.

8.已知依月,/是互不相同的锐角，则在sinacos?,sinQcos/,sinycosa三个值中，大于■的个数的最

大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

3

［分析］利用基本不等式或排序不等式得sinacos/3+sin/cos/+sin/cosa<1,从而可判断三个代数

式不可能均大于，，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.

22

sin2a+cos20

【详解】法1：由基本不等式有sinacosp<

2

闩工田.Qsin2/?+cos2/sin2/4-cos2or

pJSSsinpcosy<-----i―-------,sin/cosa<-----------------

,3

故sinacos，+sin，cos/+sin/cos。<—,

故sinacos/?,sin(3cos/,sinycos1不可能均大于;.

tr冗仆冗冗

取2=—,/>=—,/=—

634

则sinacos/?=；<g,sin/?cos/=>g,sin/cosa=z~~~>~9

故三式中大吗的个数的最大值为2,

故选：C.

法2：不妨设a</?</,则cosa>cos(3>cos/,sina<sin^<siny,

由排列不等式可得:

sinacos/?+sinpcos/+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa,

[3

而sin2cosy+sinPcos/?+sin/cosa=sin(/+cr)+—sin2^<,

故$m。以)$/?,$皿/?以)$7闾11/(^0$。不可能均大于3.

L兀c兀乃

取0=一,0=一，y=—

634

则sinacos夕=；v；,sin/?cos/=>g,sin/cosa:，

故三式中大吗的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注

意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

9.已知a”eR,">0,函数/(力=加+咐：€1<).若/(sT),/(s)"(s+f)成等比数列，则平面上点

(s,f)的轨迹是()

A.直线和圆B,直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】由题意得/(sT)/(s+f)="(s)]2,即[a(s-f)2+可[a(s+t)2+b]=(ay2+b)2,

对其进行整理变形：

(as?+at2-last+b)(as2+at2+last+匕)=(as2+匕)，

(ds~+ar+—(2ast)~—(as-+〃)~-0>

｛las2+at2+2b^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2f+a2t4+2abF=0，

所以一2as2+〃2+2)=0或，=0,

22

£_2_=1

其中8”一为双曲线，f=0为直线.

aa

故选：c.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心

素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

e

10.已知数列｛a“｝满足4=1，4+1=]+为(〃N)记数列｛《,｝的前〃项和为S“，则()

3「99

A.—<Si00<3B.3vS]00V4C.4<Bo。<-2D.耳<S】oo<5

【答案】A

【解析】

,—=f,—+，再放缩可得

【分析】显然可知，S1(X)>|,利用倒数法得到—

a

2n+\、届la2)4

1114

北;<石+万，由累力口法可得4?(”1)2,进而由。，用一匚节=局部放缩可得"'V「然后

也%〃+3

利用累乘法求得词,最后根据裂项相消法即可得到加<3,从而得解.

【详解】因为4=l，a”+i=K^(〃eN*),所以a“>0,SIOO>|.

>4.〃=%<%="+1〃

—("+1)2，，+11+归一i+2n+3"

n+1

...U"1

ann+3

6

由累乘法可得见“诉1E当且仅当〃=1时取等号,

由裂项求和法得:

所以S|ooW6（；—13

++-=6<3,即/<Sioo<3.

33445'1011022-102

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到禽，血二的不等关系，再由累加法可求得42品产，由

题目条件可知要证Soo小于某数，从而通过局部放缩得到凡,。什|的不等关系，改变不等式的方向得到

6

3证1E'最后由裂项相消法求得加<3.

二、填空题

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正

方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为S一小正

方形的面积为用，则崇=.

【答案】25

【解析】

【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

2}

【详解】由题意可得，大正方形的边长为：a=yj3+4=5-

则其面积为：5=52=25,

小正方形的面积：S2=25-4X(/X3X4)=1,

5,25”

从而

J2I

故答案为：25.

嵩乱2若小网6

12.已知aeR,函数/(x)=<则。=

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得。的值.

【详解】/[/(#)]=/(6_4)=〃2)=|2_3|+a=3,故。=2,

故答案为：2.

13.已知多项式(x—I)'+(x+1)4=£*+qx，+a^x~++"4，则%=

CL[+q+4——.

【答案】①.5;②.1().

【解析】

【分析】根据二项展开式定理，分别求出(x-l)3,(x+4)4的展开式，即可得出结论.

【详解】(X—1)3=/一3/+3X一1,

(x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+1,

所以q=1+4=5,4=—3+6=3,

%=3+4=7,4=—1+1=0,

所以。2+。3+/=1°.

故答案为：5,10.

14.在AABC中，/8=60。,48=2,M是8C的中点，AM=273.则AC=

cosZMAC=.

【答案】①.2V13②.笔^

【解析】

【分析】由题意结合余弦定理可得8C=8,进而可得AC,再由余弦定理可得cosNM4c.

【详解】由题意作出图形，如图，

在^ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM•84•cos8，

即12=4+BA/2-2BMX2XL,解得5Mm(负值舍去)，

2

所以BC=2BM=2CM=S,

在AABC中，由余弦定理得AC?=4B2+BC2-2A8BC-COSB=4+64-2X2X8X—=52,

2

所以AC=2jB;

AC2+AM2-MC252+12-162439

在△AA/C中，由余弦定理得cosNMAC

2AM-AC2x26x275—13

故答案为：2万；名回

13

15.袋中有4个红球机个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为。，若取出的两个球都是

红球的概率为一红一黄的概率为J,则，〃-〃=，电）=

63

Q

【答案】①.1②.§

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得相，〃的值，再根据随机变量4的分布列即可求出£（3.

c261

【详解】P(g=2)=?+=吠4=36,所以w+几+4=9,

〃+4

C：C_4m_m

P（一红一黄）3,所以“=2,则加一〃=1.

C,，4369

c'-c\4x55C；105

由于pe=2）=，，p（g=i）=—4—=-,^=0)=^=-=-

6C；36

£(^)=-x2+-xl+—x0=-+-=-

6918399

Q

故答案为：1：一

9

22

16.已知椭圆5+二=1（。＞。＞0）,焦点6（—c,0）,F2（C,0）（C＞0）,若过大的直线和圆

ab

2

+y2=c.2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且轴，则该直线的斜率是.

椭圆的离心率是,

【答案】①.巫y

【解析】

【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/P6层=g,再根据同角三角函数基本关系即可求出

Z=tanNP6石；再根据椭圆的定义求出明即可求得离心率.

【详解】

如图所示：不妨假设c=2,设切点为B,

AB222/T

sinNPF\F,=sinZBEA=~=_tanNP£居=•?、;=-y/5

'2'山4|3-V32-225

所以人手，由Z=陶，寓用=2c=4,所以忙用=竽，l^l=l^|x—27^12A/5

5

于是2a=|P耳|+归用=4石，即〃=2逐，所以6=£=2=且.

a2V55

故答案为：巫；昱.

55

17.已知平面向量满足“=1,忖=2,。4=0,(4-310=0.记向量/在43方向上的投影分

别为X,)，，7一£在£方向上的投影为Z,则f+y2+z2的最小值为—

2

【答案】y

【解析】

【分析】设1=(1,0),5=(0,2),5=(m,〃)，由平面向量的知识可得2x+y-6z=2,再结合柯西不等式

即可得解.

【详解】由题意，设M=(1,0),6=(0,2)忑二(m,〃)，

则(a-B)•c="-2〃=0,即〃2=2〃，

又向量2在£花方向上的投影分别为％，y，所以2=(羽y),

(d-a)-c_in(x-l)+ny_2x-2+y

所以在2方向上的投影z=

Ic|y/m2+”2土石

即2x+y+s/5z=2,

所以f+V+22+l2+(±V5)-(x2+y2+z2)>^(2x+y+V5z)-=|,

X~

x_y_z

当且仅当12T+75即，y=

时，等号成立,

2x+y+\[5z=2

A/5

Z=?T

-2

ffrl^x2+y2+z2的最小值为

2

故答案为：—■

点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出无，y，z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小

值.

三、解答题

18.设函数/(x)=sinx+cosx(xwR)

(1)求函数y=[/(x+5)的最小正周期；

(2)求函数y=/(x)/[x—在0,|上的最大值.

【答案】(1)%；(2)1+”.

2

【解析】

【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可得y=l-sin2x,再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得y=sin（2x-再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】(1)由辅助角公式得/(x)=sinx+cosx=&sin[x+?

所以该函数的最小正周期T=—=1;

2

(2)由题意，y=/(x)/[x—?=V2sin[^x+>/2sinx=2sin(x+^sinx

、

2sinx-——sinx+也cosx=V2sin2x+V2sinxcosx

22

7

夜匕密+与加当心也O葭n“〕+g

22222I4j2

由xc呜可得2》一台J三

所以当2》一工=工即x=包时，函数取最大值1+受.

4282

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CQ是平行四边形，NABC=120。,AB=1,BC=4,PA=，

例，N分别为3C,PC的中点，PD±DC,PM1MD.

（1）证明：ABVPM-,

（2）求直线AN与平面PZW所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

6

【解析】

【分析】(1)要证AB_LPM，可证£>C_LR0,由题意可得，PD1DC,易证从而DC上

平面PDM,即有。C_LPM,从而得证；

(2)取中点E，根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角

坐标系，再分别求出向量4耳和平面PZM/的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】(1)在△DCM中，。。=1,CM=2,ZDCM=60.由余弦定理可得DM=百，

所以DAr+oc?=。用2,,OM_LOC.由题意。且P£>cDW=O，.•.DCJ_平面PDM,

而PMu平面PZW,所以。C_LPM,又ABIIDC,所以AB_LPM.

(2)由PA/LMD，ABLPM.而A8与相交，所以PM，平面A8CQ,因为AM=J7,所以

PM=2叵,取A。中点E，连接A/E，则ME,DM,PAT两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，

建立空间直角坐标系，

则A(-百,2,()),尸((),(),20),0(君,(),())，M(O,(),()),C(V3,-1,O)

由(1)得CO_L平面PDW，所以平面PDW的一个法向量为=(0』,0)

2.小

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sin0=

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABLPM，可以考虑。CLPM,

题中与DC有垂直关系的直线较多，易证。C_L平面尸DM,从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第

一间的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.

Q

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=一彳，且4S,m=3S“—9.

(1)求数列｛a,,｝的通项：

(2)设数列｛〃｝满足地+(〃-4)a“=0(〃wN*),记物,｝的前”项和为％,若7；W/l2对任意〃GN*恒

成立，求实数X的取值范围.

3

【答案】⑴a„=-3-<-)n；(2)-3<2<1.

【解析】

【分析】(1)由4S,川=3S,,-9,结合S,与。“的关系，分〃=1,〃22讨论,得到数列｛〃“｝为等比数列,

即可得出结论：

(2)由32+(n-4)%=0结合6的结论，利用错位相减法求出7；,Tn<A对任意〃EN*恒成立，分

类讨论分离参数尤，转化为2与关于〃的函数的范围关系，即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，4(6+4)=3%-9,

当“22时，由4s的=3邑一9①,

得4S.=3S“T-9②,①一②得4a,用=3a“

13

--*0,.-.anNO,:.%

16"a,,4

a,3..9公比为的等比数列,

又Y=：，，{aJ是首项为一7,3

a}444

9

——3•

4

Yl—4

(2)由3"+(〃-4)a“=0,得b“=——^―%=(〃一

32、4f3

所以7；=—3x二—2xm.lxr3Y0<3+•••+(〃-4),—

⑷⑷

"4147

，3丫<3Y+I

+,•,+(71—5)•+(77—4)•

’3(3丫"

两式相减得一(〃-4)・—I

4"、4

_2+2_4m_(〃—丹仅］

44⑷⑷⑷

所以7；=-4〃•

由小做得用.令』(…・令恒成立,

即4(〃-4)+3〃20恒成立,

〃=4时不等式恒成立；

〃<4时，2<--=-3一一—,得241：

〃一4〃一4

〃>4时，A>一一-=-3--------,得；12一3；

n-4〃一4

所以—3W2W1.

【点睛】易错点点睛：(1)已知s.求凡不要忽略〃=1情况；(2)恒成立分离参数时，要注意变量的正负

零讨论，如(2)中4(〃-4)+3〃20恒成立，要对“―4=0,〃—4>0,〃—4<0讨论，还要注意〃一4<0

时，分离参数不等式要变号.

21.如图，已知尸是抛物线丁=2法(〃>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且=

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点尸的直线交抛物线与4、8两点，斜率为2的直线/与直线初4,加氏45,x轴依次交于点P,Q,

R,N,且|RV『=|PNHQN|,求直线/在X轴上截距的范围.

【答案】⑴y2=4x；（2）4月］U［-7+46,l）U（l，+°°）.

【解析】

【分析】（1）求出，值后可求抛物线的方程.

（2）方法一：设A8:x=）+1,4（石,乂）,8（々,%），N（〃,0）,联立直线AB的方程和抛物线的方程后

可得X%=-4,必+必=*,求出直线M4,MB的方程，联立各直线方程可求出外,治,外,根据题设条

f«+lY3+4产

件可得一7=;——从而可求〃的范围.

【详解】（1）因为曰=2,故〃=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

（2）［方法一］:通式通法

设A6:x=）+1,A（X|,yJ,B（X2，，2），N（〃,0）,

所以直线/：x=2+〃，由题设可得〃。1且fw'.

22

x=fy+l,

由，2\可得》-4"-4=0,故y%=-4，X+%=4,,

y=4x

因为|/?N『=|PNHQN|,故1+;闻，故*=|力|瓦

y=_)L(x+1)z

...X/x+lv2(n+l)y,

又M4:y=­、(九+1),由＜1可得y=」——心,

X|+1y''2x,+2-y,

Ix=—2+n

2(〃+l)%

同理%=

2x?+2—%

x=ty+l

2(〃T)

由＜y可得力=

F

IX—2IT2r-l

f--12

所以2(〃-1):2(〃+1)%「(〃+])/

2t—12x)+2—%2百+2—x

2

n-1

整理得到|=(21)2_________)^2_________

〃+1(2工2+2-%乂2司+2-凶)

4(21)2

1+2一五+2一]

4⑵-I1(2-1『

|竽+(%+yJ,-％X-X必当—2(必+必)+43+4”

〃+1j_3+4/

故

71-1一(2""

出且SHO,

令s=2r—1,则」=

2

3+4/52+25+41+2+—卓113、3

故-------7+->-,

(2f52S4；44

〃+1|\2।

n2+14H+1>0

故〈［??一114即〈

n#1

n丰1

解得〃4一7-4省或-7+4尺〃<1或">1•

故直线/在x轴上截距的范围为〃4-7-4百或-7+4百4〃<1或〃>1.

［方法二］:利用焦点弦性质

设直线45的方程为X=K）'+1,直线M4的方程为彳=勺〉-1,直线MB的方程为％=直线/的方

程为x=^+m,A，必，N（机,0）,由题设可得加。1且匕wg.

7

x=£y+1,,,,,,

由，2_a得y--他y-4=0,所以y+%=4勺,y%=-4・

y=4x

i+1

因为左，=^^="+_1,%-%+1，

弘4厂4%

&2+乂=—+—+—+—

一4%4%4X%

A+1Y%I1[=>»11.(弘+%)211

k2%3=—=—片—i.

4416

IyJly2J4%%%为

工=k2丁一L_m+l

由《y得”一，1.

x=——\-m"2-X

122

_m+1

同理坨一，1.

K,----

・2

x=k,y+l,_m-\

由y得)“一71.

x=—+m*1--

I22

因为|RNF=|PN|-|QN|,

(Y

(zn+1)2_(zn+1)2

所以方=%几即i=-(11、一一2.

k\~2)-收-2(&-2)"3

72+3

5f/M+lV闯K4.

令i-5,则(…V产+，+111,<11?33

=——；—=丁+-+1=-+-+->-.

Jrtt\t2)44

一fm-1^0,

所'm2+14//?+l>0,>解得加4-7-46或-7+4G«用<1或心1・

故直线/在x轴上的截距日J范围为(-00,-7-473)11［-7+4A/3,1)U(1,+»)

［方法三］【最优解】：

^A(a2,2a)(a>0),B(b2,2b),

“八八一”田M/口2b—2a2

由A,£3二点共线得)=二=，一,即，出=—1.

b~-a~a+Z?a

所以直线M4的方程为丫=一程二(x+1),直线MB的方程为>=一二(x+D=三5(x+D，直线A8的

+1Zr+1a~+1

方程为y=?7(x—1).

a

设直线/的方程为y=2x+m(根x-2),

mil(2-ni)a(m-2)a(—2—m)am

贝2,1，为=2.4,%二=2।，/=•

ci-a+1a+a+1a-a—12o

所以IRN『=|PN|•|QN|o&+〃，)%；(2-

(矿+l)—Q

2+/nY—21+141

F-----e0,一(其中，=〃——cR).

12-向”+33a

所以me(-co』4-8&]U[14+86,+oo).

因此直线I在X轴上的截距为一£e(-W,-7—46]U[-7+40,1)U(l,+8).

【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.

方法一：主要是用4(%,凹),8(工2，%)坐标表示直线加4，知3，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标

关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.

方法二：利用焦点弦的性质求得直线MA,MB的斜率之和为0,再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将

所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.

方法三：利用点A,8在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点A8横坐标的关系，这样有

助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范

围.

22.设。，〃为实数，且a