2022-2023学年北京市大兴区高三年级下册学期数学摸底检测试卷

大兴区2022〜2023学年度第二学期高三年级摸底检测

高二数学

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

(1)已知集合。="€叫-2cx<5},集合N={0,l,2},则C0/=()

(A){0,2,3}(B){-1,0,2,3)

(C){-1,3,4}(D){354}

(2)若复数z满足>z=3-4i,则忖=()

(A)1(B)5

(C)7(D)25

(3)若a为任意角，则满足cos(a+h工)=cosa的一个上值为()

4

(A)2(B)4

(C)6(D)8

(4)在人类中，双眼皮由显性基因/控制，单眼皮由隐性基因”控制.当一个人的基因型

为44或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼

皮.随机从父母的基因中各选出一个N或者。基因遗传给孩子组合成新的基因.根据

以上信息，则“父母均为单眼皮''是"孩子为单眼皮''的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

V

(5)己知三个函数了=/,y=3,y=log3x,则()

(A)定义域都为R(B)值域都为火

(C)在其定义域上都是增函数(D)都是奇函数

(6)双曲线C:一=1的渐近线与直线x=1交于48两点,且明=4,那么双曲线C

的离心率为()

(A)72(B)也

(C)2(D)标

(7)设{a,,}是各项均为正数的等比数列，S”为其前〃项和.已知qq=16,53=14,若

存在〃。使得4生,…,%的乘积最大，则〃。的一个可能值是()

(A)4(B)5

(C)6(D)7

(8)一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画错误的

画X.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则用的值为()

题号学生12345678得分

甲XVXVXXqX30

乙XXqq7XXq25

丙VXXXq4qX25

TXJXqqXqm

(A)35(B)30

(C)25(D)20

(9)点P在函数y=e>•的图象上.若满足到直线y=x+a的距离为近的点P有且仅有3个,

则实数a的值为()

(A)2A/2(B)

(C)3(D)4

(10)如图，正方体/8C£>-45GA的棱长为2,点O为底面/8C。的中心，点尸在侧面

8CC蜴的边界及其内部运动.若。则面积的最大值为()

⑴(B)半A

(C)75(D)275：\Ip

第二部分(非选择题共110分)A一8

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)在(4+J)，的二项展开式中，常数项为―15—.(用数字作答)

X

22

(12)能说明“若机5+2)*0,则方程二+上=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的

m77+2

一组m,n的值是.

34

(13)在A48c中，a=4,cosA=-fcosB=-f则A46C的面积为.

(14)矩形48C。中，AB=2,BC=\,。为48的中点.当点。在8C边上时，

万万的值为;当点尸沿着8C,CD与“I边运动时，石•丽的最小值为

(15)曲线C:J(x+l)2+y2.J(x-i)2+y2=3,点P在曲线c上.给出下列三个结论:

曲线C关于y轴对称；

曲线C上的点的横坐标的取值范围是［匚2,2］；

若/(-1,0),5(1,0),则存在点P,使AP48的面积大于

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

已知函数f(x)=Asin(<wx+(p)(A>0,<w>0,0<^<y)同时满足下列四个条件中的三个:

/(--)=0；②/(0)=-1；③最大值为2：④最小正周期为万

6

(I)给出函数/(X)的解析式，并说明理由;

(H)求函数/(X)的单调递减区间

(17)(本小题14分)

如图，四边形为正方形，MAHPB,MA1BC,ABVPB,MA=\,AB=PB=2.

(I)求证：平面N2CD；

(II)求直线PC与平面PQM所成角的正弦值.

(18)(本小题14分)

为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬

奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中

小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下:

(I)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮

人数都超过40人的概率；

(II)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练

选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(III)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行

技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该

校中同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成

绩为“优能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

(19)(本小题15分)

V-2V2

已知椭圆。:=+与=1伍>6>0)的焦距和长半轴长都为2.过椭圆C的右焦点尸作斜率为

a-b

k(k#O)的直线/与椭圆C相交于尸,0两点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点X是椭圆C的左顶点，直线分别与直线x=4相交于点A/,N.求证：

以MN为直径的圆恒过点F.

(20)(本小题14分)

已知函数f(x)=ex-ax2,aeR.

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点N(0J(0))处的切线方程；

(II)若“X)在区间(0,+oo)上单调递增，求实数a的取值范围；

(III)当。=-1时，试写出方程f(x)=l根的个数.(只需写出结论)

(21)(本小题14分)

设集合/<={《,a2M3M“，其中3M4是正整数，记/=4+%+。3+。4♦对于

ai,ajeA(\<i<j<4),若存在整数左，满足左(。,+吟=邑，则称《+%整除与，设%是满

足a.+a.整除SA的数对(i,j)(i<j)的个数.

(I)若/={1,2,4,8},5={1,5,7,11),写出%,%的值;

(II)求％的最大值；

(W)设/中最小的元素为a,求使得％取到最大值时的所有集合A.

大兴区2022〜2023学年度第二学期高三年级摸底检测

高三数学参考答案与评分标准

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

12345678910

DBDACDABCc

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)15

(12)加=4,〃=2(答案不唯一，满足加=〃+2>0或力+即可)

(13)6

(14)2.-2

(15)①②(只写对一个3分)

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题14分)

解：(I)若函数/(x)满足条件③，

则/'(0)=Nsine=-l,这与Z>0,0<9</矛盾，所以/(x)不能满足条件

③........2分

所以“X)应满足条件①②④

24

由条件①得=冗，且口〉0,所以切=2.......4分

㈣

由条件②得4=2.......6分

再由条件④得/(--)=2sin(-—+(p)=0,且0<°<工

所以片。.......8分

所以/(x)=2sin(2x+y)........9分

TTTT"X-rr

(II)由2攵1+作<21+〈(2攵万+二,(％EZ).......2分

232

TT7rr

得+—<x<k?r+——,(AeZ)........4分

所以/（x）的单调递减区间为伏"+会,版■+,]/eZ）...............5分

（17）（本小题14分）

解：（I）证明：因为W5C,〃必，所以P818C......................2分

又因为Z81P8,且46nBe=8,..............4分

所以P5_L平面Z3CD................5分

（H）（方法一）因为四边形月8。为正方形，尸8,平面力88,MA//PB,

所以/。，‘民""俩俩垂直，如图建立空间直角坐标系〃一肛z,..............2分

则P（0,2,2）肛0,0,1）C（2,2,0）0（2,0,0）

PC=（2,0,-2）丽=（2,—2,—2）丽=（0,—2,-1）

，，

设平面POW的法向量为"=（X〃，Z）..................5分

Jh-PD-0f2x-2y-2z=0

则I小两=0,即（-2y-z=0,

令z=2,则x=l,尸一1.所以平面POM的法向量为〃=（LT2）.

...............7分

2-

sinex—।

设直线尸。与平面所成的角为。，所以『0卜眄........9分

所以直线PC与平面所成角的正弦值为6.

（方法二）因为P8J_平面/BCD,所以P8J.Z8,PB1AD.

因为四边形/8。为正方形，所以Z818C.

如图建立空间直角坐标系8-个z,...............2分

则一

（0,0,2）,M（2,0,1）；C（0,2,0）£＞（2,2,0）,4

PC=（0,2,-2）丽=（2,2,-2）丽=（2,0,-1）

设平面的法向量为〃=（x，%z）,...............5分

fiPD=02x+2y-2z=0

<

则i〃.两=°,即〔2x-z=0

令z=2,则x=l,，=1.所以平面尸00的法向量为1=（1'2）.................7分

如。=常邛

设直线尸C与平面所成的角为夕，所以9分

所以直线PC与平面尸。加所成角的正弦值为6.

(18)(本小题14分)

解：(I)设“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”的事件为儿1分

4x3

量_2_2

「⑷

C：o10x915

则24分

(II)X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.

.......1分

C°C2]_C2.C02

P(x=o)=『=P(X=I)=萼-C

3^1015')C；。15

X的分布列为:

X012

]_82

P

315155分

4

E(y)=oX1+1XA+2X2=

315155........7分

(HI)答案不唯一.

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为"优''的概率发生了变化.理由如下:

指导前，甲同学总考核为“优''的概率为：-0.12.0.9+^-0.13=0.028

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考

核达到“优”的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C•0.产.0.9+C；Q1=0.028

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了

变化….3分

(19)(本小题15分)

解：(I)由已知得a=2,c=l,.......2分

所以从=。2一=3.......4分

所以椭圆C的方程为片+片=1.......5分

43

(II)4-2,0),F(l,0),设直线/的方程为尸女(x—1).......1分

y=k(x-1)

由,x?v2消元得：(3+4公)/-8左、+4/—12=0.......2分

—+」=1

143

A>0

设尸（再,乂），。（乙,力），则，8/4A-2-12.........3分

又直线力尸的方程为y=——（x+2）,令x=4得"（4,-6弘_）

%,4-2玉+2

同理可得N（4,&1）.......5分

%+2

-^_-0

所以直线尸N的斜率为km=9—=①

4-1迎+2

旦一0

直线FN的斜率为kFN=........6分

所以人心=2、2必_4公（•-1）（〉一1）_4r|>亡2-（占+%）+1]

小王+24+2（x,+2）（X2+2）演X2+2（再+W）+4

4攵2（4公一12-8公+3+4公）一36公

=-----------------------=-----=-1........y7y

4r-12+2x8抬+4（3+4公）36公

所以EMJ.FN,即以及W为直径的圆恒过点F........10分

注：第（H）问，用以下方法证明相应给分

用①丽•丽=0；②8为线段MN的中点，证忸尸|=3〃M；③以"N为直

径的圆的方程；

（20）（本小题14分）

解：（I）<7=1,所以/（x）=ex—x2

所以f'（x）=ex-2x.......2分

所以切线斜率上=/'（0）=1,又〃0）=1.......4分

所以切线方程为y=x+l.......5分

(II)f'(x)=ex-2ax.......1分

因为/(x)在区间(0,+8)上单调递增

所以对Vx6(0,+8),都有f'(x)>0恒成立

即Wxe(0,+oo),恒成立，等价于aW(£•⑹”........2分

2x2x

设g(x)=J，xe(0,+<»),则g[x)='°,D.......3分

2x2x~

令g'(x)=。，得x=l........4分

当X变化时，/'(X),/(X)变化情况如下表:

X(0,1)1(1,+CO)

f'(x)—0+

f(x)减函数极小值增函数

所以，函数g