2022-2023学年北师大版九年级数学上册《相似三角形判定定理的证明》同步练习题

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》

同步练习题（附答案）

1.如图,正方形N8c。中,E是8c的中点,连接ズ£,DF丄AE于点、F,连接CF,FG丄

C凡作点G交4D于点G,下列结论:®CF=CD,②G是AD中点,③△。びかド,

④幽=2,其中结论正确有（）个.

EF3

2.如图矩形N8。中，点E是边8的中点,将沿XE折叠后得到△/FE,且点F

在矩形”8c。的内部,将スド延长后交边8c于点G,且竺=匡,则期・的值为（）

GB5AD

A.AB.§C.1D.

367

3.如图,在菱形ス8CZ）中,EF丄4c于点H,分别交ス。于点E,C2的延长线于点ド,且

AE：FB=\：3.则G8：C。的值为（）

AED

"BC

A.AB.Ac.2D.3

5534

4.如图,在正方形/8C。中，点E在ス8边上,スド丄。E于点G,交8c于点ド.若厶E=

15,BE=5,则aNEG的面积与四边形5ドGE的面积之比是（）

D

w

BFC

A.AB.2C.茎D.—

33416

如图,在△中,DEHBC,DF//AC,若殁=丄

5./BC,则下列结论正确的是（）

DB2

A

RDE-1

DF2

S;丄

DAADE

^ADBF4

6.如图,在△N8。中,ハ是/8的中点,E是8c延长线上一点,KBC=2CE,连接ハE

7.在△48C中，//8c=120°，点。在边スC上,且满足。8丄8/,。。=48,则迫=()

AB

A-料B・加C.近D.V3

8.如图,在RtZX/8C中，ZC=90°,ス。平分/C48,BE平分/CBA,/。、BE相交于

点ド,且ス尸=6,EF=2&,则メC的长为()

9.如图,矩形ル8C。中,ド是。C上一点,BFL4C,垂足为E,/8=2ズ。=4,则Cド长

10.如图，在等边△/BC中,点。,E分别在边8c,NC上,ZADE=60c,,若ス。=2,

里」,则ハE的长度为(

DC2

1

2

11.如图,团ス88中,E是/8延长线上ー点,DE交BC于点F,且8E：AB=3：2,AD

=10,则CF=()

Drr-----,C

12.如图，在△48。中,DE//BC,AD-.DB=3：1,四边形。8CE・的面积为21,求△4DE

的面积.

B，--------------

13.已知四边形ス88中,E、ド分别是ス8、メハ边上的点,ハE与C厂交于点G.

(1)如图1,若四边形ス88是正方形,且ハ£1丄”",求证:DE=CF；

(2)如图2,若四边形/18CZ)是矩形，且。E丄CF,求证:坦=理.

CDCF

14.已知矩形ABCD的一条边イ。=4,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处.

(1)如图,已知折痕与边8C交于点。，连结メ尸、。尸、OA.求证:△〇CPsMDA；

(2)若△。“与AP。ス的面积比为1：4,求边ル8的长.

15.如图,已知:在△N8C中,AB=AC,点、E、ハ是底边所在直线上的两点,联接メE、

AD.若心=DC,DE.

求证:

(1)NABC=NDAE；

⑵城=%

AD2

16.如图，在8c中,点ハ是边8c上一点，NADE=NC,DE交边んc于点E.

(1)求证:理=地;

DCAC

(2)若班=丝,求证:NABD=NADB.

ADBC

17.如图，四边形/I8C。为菱形，点E在イC的延长线上,/ACD=NABE.

(1)求证:^ABCSAAEB；

(2)当ス8=3,ZC=2时，求メE的长.

E

CD,且8O平分/N8C.

(1)求证:AAEBs^CED；

(2)若BC=9,EC=3,AE=2,求ス8的长.

19.如图,点ハ在△N8C的边N。上,已知ス。=2,。8=1,4C=戈,ZADC=60°,求

NBCD的度数.

20.如图,四边形ス8Cハ为平行四边形,E为边BC上一点,连接2ハ、AE,它们相交于点

F,且/BDA=NBAE.

(1)求证:BE2=EF*AE；

(2)若BE=4,EF=2,DF=9,求/18的长.

21.如图，在回48C。中，NE丄8c于点E,点ド在8c的延长线上,且C尸=8E,连接スC,

DF.

(1)求证:四边形4Eド。是矩形;

(2)若/イ。。=90°,AE=4,CF=2,求一些.

2ACFD

22,如图所示,在△48。中,40丄5c于点ハ,ZBAC=45°,BD=3,CD=2,求4。的

23.如图所示,在等腰三角形Z5C中,AB=AC,点、E,ド在线段らC上,点。在线段43

上,HCF=BE,AE2=AQ^B.

求证:(1)ZCAE=ZBAF；

(2)CF・FQ=AF・BQ.

CEFB

参考答案

1.解:如图,作CN丄ハド于".

••・四边形ス8C。是正方形,

:・AB=BC=CD=AD,:・/DAB=/B=/ADC=90°,

•：NADF+NCDF=90°,ZCDF+ZDCM=90°,

/./ADF=NDCM,

■:DFL4E,CM丄DF,

：.ZAFD=ZCMD=90°,

JADA心MCDM,

：.CM=DF,DM=AF,

VZADF+ZDAE=90°,ZDAE+ZBAE=90°,

/.ZBAE=ZADF,

♦：BE=CE,

:・AB=2BE,

・AF=1

**DFE'

:.DM=MF,

VCM1DF,

:・CD=CF,故①正确,

：.ZCDF=ZCFD,

u：ZCDG=ZCFG=90°,

:.ZGFD=ZGDF,

:.GF=GD,

9：ZGDF+ZDAF=9Q°,NGFD+/AFG=90°,

：.ZGAF=ZGFA,

：.GF=GA,

：.GD=GA,

・・・G是イ。中点,故②正确,

丁ZAFD=ZGFC,

:・ZAFG=ZCFD,ZGAF=ZCDFt

:.△DCFs/\AGF,故③正确,

设4r=a,则ハド=2。,AB=AQ,BE=^-a,

2

：.AE=—a,EF=3a,

22

.•.空=3,故④正确,

EF2

故选:D.

,.,四边形ス8CC是矩形,

：.AD=BC,

•.•点E是。的中点,

：.DE=CE,

•.,将△4OE沿AE折叠后得到△4FE,

：.DE=EF,AF=AD,NAFE=ND=90°,

：.CE=EF,

在RtZXECG与RtAEFG中，

<fEG=EG)

IEF=CE'

；.RtZ\£CG注RtZ^E/G(HL),

：.CG=FG,

..CG=4

•丽5"

设CG=FG=4a,则8G=5a,

.".AF=AD=BC=9a,

；.NG=13a,

A/I5=VAG2-BG2=7"(13a)2-(5a)2=l2a,

.AB12a_4

AD§a§

故选:A.

3.解:•.•四边形スBCハ是菱形,

:.AB=CD,AE//BF,

；.NEAB=NABF,ZAEF=ZF,

：.△EAGS^FBG,

3=幽=丄

FBGB豆

•.•GB_3,

AB4

•GB3

CD4

故选:D.

4,解:,•・四边形スBCク是正方形,

:.AD=BA,ZEAD=ZFBA=90Q,

:・/BAF+NBE4=90°,

•：AFLDE,

：.ZAGE=90°,

:.NBAF+NAED=90°,

二/BFA=NAED,

在△力£7)和△3脳中,

<ZEAD=ZFBA

<ZAED=ZBFA»

AD=BA

••.へAED込へBE4(AAS),

:.AE=BF,

,•[£*=15,BE=5,

：.BF=15945=20,

•••'='AB?+BF2=G02+152=25,

VZAGE=ZABF=90°,ZEAG=ZFAB,

：.AAGEsAABF,

.SAAGE=(AE)2=/15ヽ2=9

,△ABF研2525

△4EG的面积与四边形タFGE的面积之比是:9：(25-9)=9：16,

故选：D.

.AD1

AB3

,JDE//BC,

：.AADEsAABC,

.DE=AD1y1

BCAB§2

故”错误;

假设班=丄正确,

DF2

.,.DF//AC,

:.NA=NBDF,

'：NADE=NB,

△ADESADBF,

._DE=_AD=1

BFDB2

..DE=DE

•DFBF'

:.DF=BF,

'：△DBFs^ABC,

.DF=BF

.而BC，

：.AC=BC,

显然与已知条件不符,

故8错误;

AADEsAABC,

・込ADE/AD_\2（丄）2=lwユ

SaABC=AB=広丿"94

故C错误;

；/\ADE^/\DBF,

S

.AADE/AD\2=（丄］2=丄

S^DBFDB后丿4

故。正确,

故选:D.

6.解:如图，过ハ作。G〃メC交8c于G,

,•・。是ス3的中点,

:・BD=工AB,

2

,:DG"AC,

二△BDGs^BAC,

・BG=BD1

BCBA2

：.BC=2BG,

：.BG=CG,

■:BC=2CE,

：.CE=CG,

*：DG//AC,

・・・Cr是△。石G的中位线,

:・EF=DF=2,

故选:A.

7.解:过点。作C"丄ス8,交ス8的延长线于点〃,如图,

AZCSZ/=180°-120°=60°,

设BH=x,贝リCH=MX,BC=2X,

设牆

9：CD=AB,

.AD=

■,CD

"：DB±BA,CHVAH,

：.BD//CH,

・AB=AD=t

BHCD

：.AB=tx=CD,

'.AD=^x,

5£>=VAD2-AB2=^Vt2-l}

・：BD〃CH,

：.△ABDsdAHC,

♦BDABt

HCAHt+1

txYt-J._t

V3xt+1

2T.(什1)=V3-

两边平方得:

(P-l)*(?+2r+l)=3,

A/4+2?+?-?-2Z-4=0,

♦,.戸(/+2)-2(什2)=0,

,(バー2)(什2)=0,

V/+2>0,

•••戸-2=0,

・“炳・

故选:A.

8,解:如图,过点E作EG丄ス。于G,连接CR

•；AD,8E是分别是284c和/45c的平分线,

:・/CAD=NBAD,NCBE=/ABE,

VZACB=90°,

A2(NBAD+/ABE)=90°,

工/BAD+NABE=45°,

ZEFG=ZBAD+ZABE=45°,

在Rtz^どドG中,EF=2瓜

：.FG=EG=2,

'：AF=f>,

：.AG=AF-FG=4,

根据勾股定理得,/£=MAG2+EG5=J?+22=さ后,

•.【ハ平分/C/8,

BE平分/ABC,

尸是ノ/C8的平分线，

：.ZACF=45°-ZAFE,

:NCAF=NFAE,

工AAEFs^AFC,

.AEAF

AFAC

22

•JC-AF6_18V5

AE2泥5

故选:D.

9.解:•.,矩形ス88中,AB=2AD=4,

：.BC=2,

.•.根据勾股定理得ス。=頁2+ユ2=2遥，

■:SAABC=エメABXBC=LXACXBE,

22

22=

根据勾股定理得CE=7BC-BE1-i，r5»

：.AE=AC-CE=^--J^>,

5

•.•四边形ス8cハ为矩形,

：.AB//CD,

故选:D.

10.解:设8D的长为X,

.•.-B-D----1，

DC2

***DC=2jCf

：.BC=BD+DC=3x,

,/△ZBC是等边三角形,

：.AB=BC=3xfZB=ZC=60°,

VZADE=60°,

AZADB+ZCDE=12O°,

ZCDE+ZDEC=12O°,

/.ZADB=ZDECf

：.AABDs^DCE,

・AB_AD

DCDE

•；AD=2,

••—=—

2xDE

:.DE=生.

3

故选:C.

11.解:•.•四边形ス58是平行四边形,

：.DC//AB,AD//BC,DC=AB,AD=BC,

:.△CDFsgEF,

:.BE：DC=BF：CF,

,:BE；AB=3：2,DC=AB,

:.BE：DC=BF：C尸=3：2,

：.CF：BF=2：3,

：.CF：BC=2：5,

•..んD=8C=10,

：.CF：10=2：5.

：.CF=4.

故选：C.

12.解:"：AD：DB=3：1,

.•.スハ=_±し__/8=3ス8,

3+14

•AD=3.

,AB了

DE//BC,

△ADEs^ABC,

SAADE一,ADヽ2=/3ゝ2=9

SABC=S^ADE^-S四边形ハ8CE，且S四边形O8CE=21，

SAADE_9

3△ADE+2116

S&ADE=21,

△イ。£的面积是27.

13.(1)证明:如图1,♦.•四边形ス88是正方形,

AD=DC,ZA=ZFDC=90°,

OE丄Cド于点G,

NCGD=90°,

NADE=NDCF=90°-ZCDE,

在△/£)£・和△ハCと中,

，ZA=ZFDC

<AD=DC，

ZADE=ZDCF

：./\ADE^/\DCF(ASA),

：.DE=CF.

(2)证明:如图2,•.•四边形メ88是矩形,

；.N4=NFDC=90°,

•.,ハE丄CF于点G,

：.ZCGD=9Q°,

ZADE=ZDCF=900-ZCDE,

：.AADESMCF,

.AD=DE

"CDCF'

14.(1)证明：•.•四边形メBC。是矩形，AD=4,

二/C=-8=90°,BC=AD=4,AB=CD,

由折叠得/O必=NB=90°,OP=OB=4-OC,

：.ZCOP=ZDPA=90°-ZCPO,

:AOCPs^PDA.

(2)解:,:△OCPs^PDA,

.。△0CP_zPCヽ2_1

SAPDA知4

.PC=^

"'AD2

.•.尸C=Lw=丄X4=2,

22

\"OC2+PC2=OP2,

：.OC2+22=(4-OC)2,

.•.0C=±,

2

..OC=PC=1

PDAD2

.♦.PO=2OC=2X3=3,

2

=CD=PC+PD=2+3=5,

.•・边ス8的长为5.

15.证明:(1)"：AD2=DC'DE,

.ADDE

DCAD

,:ZD为公共角,

/\ADC^/\EDA,

：.NACD=NDAE,

\'AB=AC,

：.NABC=ZACD,

：.NABC=NDAE；

(2)VZABC=ZDAE,NE为公共角,

:.AABEs^DAE,

2

AAEJDE；gpAE=EB'DE,

EBAE

.AE2_EB>DEEB

虹)2DC-DE--DC

即迎!旦.

AD2CD

16.(1)证明：•:NADE=/C,NEAD=NDAC,

.•.△屈40s△〃な,

.DE=AD

**DCAC"

(2)证明:•.•聖=坦,

DCAC

.DE=DC

,■ADAC"

..DE=CE

.AD而,

.DC=CE

,•而BC，

vzc=zc,

...ADECsAABC,

：.NCED=NABD,

'：/CED=ZDAC+ZADE=ZDAC+ZC,

：.NADB=NDAC+NC,

：.ZCED=ZADB,

：.ZABD^ZADB.

17.(1)证明:•.•四边形ス8co为菱形,

C.ZACD^ZBCA,

'：ZACD=ZABE,

NBCA=NABE,

,：ZBAC=ZEAB,

：.AABCsAHEB；

⑵解:•:AABCSAAEB,

.AB=AC

*'AEAB，

*•*AB=3fAC=2.f

.3_2

AE3

・レ£"=£-.

2

18.(1)证明:.：BC=CD,

:・立CBD=4CDB,

・・・8O平分

：.ZCBD=ZABD,

：./CDB=NABD,

又・：/CED=/AEB,

:.MAEBsACED.

(2)解:,:BC=CD,BC=9,

，.CD=9,

：AAEBsへCED,

•AB=AE=2

DCCE3

\AB^^-DC=6.

3

19.解:如图,作CE丄ス8于点£,

.70=2,DB=1,AC=76,

\AB=2+1=3,

.AC_V6AB_3_V6

由2AC遅2

.AC=AB

'ADAC'

ZA=ZA,

♦.△ABCsAACD,

BC=AB=V6；NABC=NADC=60°,

CDAC2

•.8C=V^_CD,

2

：ZCED=90°,ZADC=60°,

\ZZ)C£，=30°,

・.DE=LCD,

2

\CE=^CD2-バ=亨8,

^^-CE,

・・CD=

•.8C=逅XCE=,

23

,,BE=yj(V2CE)2-CE2=C£>

,.NB=NECB=45°,

•.//CD=N8=45°,

,.NBCD=60°-45°=15°,

•.N88的度数是15°.

A

E

D

B

20.(1)证明:,•・四边形スBCハ为平行四边形,

:・AD〃BC,

・・・NDBC=NBDA,

•?NBDA=/BAE,

：./DBC=NBAE,

'：/BEF=/BEA,

：.△EBFs^EAB,

•.•EB二—EF,

EAEB

：.BE2=EF'AE；

⑵解:'：BE2=EF'AE,且8E=4,EF=2,

：.AF=AE-EF=S-2=6,

'JBE//AD,

.BF=EF

,,而AF'

即更=且,解得8尸=3,

96

△EBFS/XEAB,

.BF=EF

•’而丽,

即_L=2,

AB4

：.4B=6.

21.(1)证明:,:CF=BE,

：.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

在国188中,スハ〃8c且ス。=8C,

；.AD〃EF且AD=EF.

.♦・四边形ス£ドハ是平行四边形.

*：AELBC,

：.ZAEF=9O0.

，四边形スE尸。是矩形;

(2)解:••・四边形ス班つ是矩形,

:・/AEC=NDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC+ZECA=90<),

VZACD=90Q,

AZECA+ZDCF=90°,

・・.ZEAC=ZDCF,

J/\AEC^/\CFD,

.胆=CF=21

ECDF42

：.EC=2AE=Sf

o-^XAEXEC-^X4X8

解法一:.------------------------------=4.