课程上课课件第2章刚体力学

第第2章刚体力学(Therigidbodymechanics§2.1§2.2§2.3§2.4平动

转动Mi

d2

\

(Therotationofarigidbodyaboutafixed(Thetranslationandrotationofarigid:D刚体的基本运动(平动转动 D Dr=r

limrA=lim A\

0=

wrwrv=v=2uu例1:一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圆盘绕水平轴匀速转动，转速为0.1rev/min。求:吊箱底部A点的轨迹及Aw解:w=2π= =w 10·60 t=0时，角位置为xA=xB=Rcos(wt+q0xAA2+( +L)2=xAA =

=vAy

v2vv2vA

==

\aA =Rw2=2.7·10-(Theangularvelocityandangularz角位置q 角位移Dq

w wDqO

q角加速度

dwd2q =dt =dtvv2an=

w2-ww2-w2=0

当b +v=

at=

00 求角加速度b和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；求制动开始后t=25s时飞轮的角速度w；设飞轮的半径r=1m，求在t=25s解:(1)设初角速度为w0,方向如 wv在t=50s时刻 w=0v b=w-w0t

=-

=-π[rad/s2 b =w0t=1250π[rad]

2

=50π·50

1·π·502w0w0,OrvP N=Δq=1250π t=25s +bt=50π-π·25=25π[rad/sw0Orvaw0Orvabvv=w·v=v=wrsinj=wrsin90wr25π[m/s] t =br=-π[m/s2ta =w2r=6.16·103[m/s2an+atan+at(6.16·103)2+3.142»6.16·103[m/s2

a的方向几乎和 (Theangularmomentofarigidbodyaboutafixed-axisrotationzwrizwriLiziODmiRi = 2 =

+ Lz=Liz=(Δmiri2 Lh

i

=(-Δmii

Lh

dLh Lh Lz=Liz=

r2 w=wrr2 (Themomentofinertiaofarigidbodyaboutafixed-axisrotation J=r

m•

r•m•1

J=mr2+mr2

mr

rJ=J=r

r

w l[kg/m]dm

J=rs[kg/m2]面密度

J=rr[kg/m3]体密度

VJ=r2V

J

JA=Jc+md取c为原点r2x2y2JA=Jc+md

A JA=r¢dm= + -2xd)dm= +md c Jz=Jx+Jz=Jx+Jx xJ

r2dm=

(x

+y2)dm

+J

L= p= L—p，J—m，w—Lx

J J J

Ly=J

J

JyzwyLJ LJ z

J

wzz zw绕z轴转动时Lx=Jxzwz =Jyzwz Lz=Jzzwz求1)定轴在一端,2)解:积分四大步 化整为零,写出微分寻找对称,选择坐 引入密度,统一变量

m

dJ=x2dm

x2ldx=x2dx1)J=

lx2dml

x2dx

1ml3 l cJc=J-c

= 例4:质量为m,长为l的均匀细杆,中点有一垂直于杆求:杆对O解:质元dm对O轴的角动量 dm dm vdL=r2

方向:2dL=wxdm=wx l

r=L=ml

2x2-

=

方向 解:取面积元dS,其质元的质量为 dm=

dJ=r2dm=r J=

Rr3dr

1m2问:1)圆盘绕y轴的转动惯量?(J

=1mR2+mR2)求绕OO轴的转动惯量?(J1m2

-m1R2圆盘对沿直径转轴的转动惯量?J1mR24§§2.2(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotationandit's(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotation(moment // //

=

r·=

+d·r r

r·F^+r·F//+d·FPaOPad dRO

F对转轴z的力矩为对O点=r=r·^ M=r·= r·F^t+r·F^n

M=r·F^t=rF^sina

M=M1+M2 M=0·N+0·mg+1·1+R2M=0+0-RF1+

NR˜

M=

，在沿转轴z方向M

=

=J

M=

M:b F=

M—F，J—m，β—:刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于定律的瞬时性, A wRB夹角为θ，转轴被AB两点固定，AO=BO=d，A wRB Lh

=(-Δmi

L=-l/2MdRR2sinqcosq-

MdRR2sinqcos(p-

-L=-1Ml2wsinq =

=·

=

w

fA=-

fAfB

Mh=2f=1

(Theapplicationofthelawaboutafixed-axis第一类由角量运动求力矩。(微分法第二类:由力矩及初始条件,求运动。(微分方程)选定转动的正方向, 定在盘上,另一端挂重物m绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m,m=1kg,mt=3s,v0=0,h=1.5m。求:轮对OJ=?˜OmtR绳h解:轮与m为联结体,˜OmtR绳hT'=-NGT NGT x

对m

mg-T=

h=1at2gt

2联立解得:J

-1)mR=1.14[kgm2平动物体, 体法,写 转动物体,用 体法,分析力矩,写出转动方程由角量和线量关系,将平动和转动联系起来v=rw,at=rb例7:组合轮由二个匀质圆盘固结而成,己知mA=6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盘边缘绕有细绳,绳子下端挂二个物体m1=m2=2kg,二个物体离地面高度均h=2m,求1)二物体的加速度a1,a2;2)下降物体着地时间3)A m1:m1g-T1=-m1a ˜Bm2:m2g-T2=m2a2 a1= a2=rAb解得:a1=0.82[m/s2],

h

2xT1=m1(g+a1)=21.2[N],例8:如图装置(m1=5kg)可在斜面上滑动(m=0.25)斜面倾角q=30º定滑轮(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg求m2加速度绳中张力解:m:Tf-mgsinqm

T m2:m2g-T2=m2a2 2m:TR-TR= 2 J=mR22

a= m2f=mm1gcosq2a

-mm1cosq-m1sinq=2.52[m/s2m1+m2+m/T2=m2(g-a)=

O dm质

dm=mlM dM=1mgl2

2Jb=2J

3gJ=3

b=

=w

w02例10:匀质圆盘(m,R),w0不计轴承处的摩擦,w02受空气阻力矩?2)圆盘停止前转数解:取刚体m为对象 为正方w设t时刻圆盘角速度为w受的空气力矩dM=r·(2fdS)\dM=-2rf dS=-2rfrdqdr\M=dM=-2rkvrdq

M=-

2πRdqr3dr=-πkR4wR 根据转动定律M-πkR4w=1mR2d d0dw=-0

2πkR2

wdt=

-2πkR2dqq qq= 2πkR2 N=q=mw2π 4π2kR2§§2.3*2.3.3M=M= dL=d(Jw)=

tt2=L 2=2-1刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩的冲量矩等于M0

转动惯量J不变,角动量守恒时,刚如:导航定向回转仪零时,角动量也守恒。Jt=

例11:一均质棒,L,质量为M, 在距轴为y处水平射入 Nx棒 v 细棒共同的角速度wv0 mv0y=JJ

=1ML2+ \w

3ML+例y=2L( 心)，Nx=0,则水平方向动量守3NNx 3

=？=

mw

(wL/2)M(质心

mv01ML2+my23例12:转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为w0,转台J=5·10-5kgm2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,r=0.1m,求:砂粒落w在转台上使转台角速度减为w0/2所需时间 w解:取转台和落下的砂粒为系 M0Lt时刻落下的砂粒质量 m=0.001tJw0=(J+

2)w2 5·10-

5s=0.001r

1·10-3·0.12*2.3.3进动(Precession)(又叫旋进Or wOr

O

L+

=MM

dL=

^L(俯视图Ldt时间内轴OOdqL

wp=dt=

为什么筒内壁上刻有螺旋

w §§2.4(Theworkandenergyofarigidbodyaboutafixed-axis(Theworkofmoment DA=

Fcosf=FrsinaDq F =

r

fa表示称为AAq1

P=DA=Mdq= (Themechanicalenergyofarigidbodyaboutafixed-axisi

vi=wri

=1Dmv

= i=12

=(Δmiri2 k2 k2Ep=Dmighi=gDmi Dmi=mg m

••c= Ep=Ep=mghc(Theoremofkineticenergyofarigidbodyaboutafixed-axis

A=Ek2-A= dq =1Jwq2

dq

1Jw2-

Jw1 1

A非保内

=k

+Ep

-k

+Ep1Ek

12

+1Jw22

AA非保内 Ek+Ep=例13:滑轮(rM)m，开始时静止，求h时重物的速度vO解:取m、M和地球为系统。Om的重力势能转化为滑轮和mmgh=1mv2+1JwJ=2

M+vM+v=例14:一匀质细棒长为l,质量为m,可绕通过其端点O的为m,它与地面的摩擦系数为m,相撞后,物体沿地面滑行一距离s而停止;求:相撞后棒的质心C上升的最大高O质心所在处取为势能零点用w表示棒这时的角速度,则

•CCC mgl=

2

s体碰撞后的速度,则(1ml2)w=mvl+(1ml2)w 式中w'为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。w'取正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右摆。直线运动,加速度由 -mmg=m 得0=v +2asv =2mgs3gl-3gl-2mgs3gl2mgs -3gl2mgs3gl2mgs -3gl2mgs••hw'smgh=1(1mlC C6msl\h=l+3ms6msl2h可以大于l/2(1ml3

3l)w=mvl+(3l3

ml

1mgl‡1mv2+1(1ml2)w v‡lw\h£1 ms£38例15匀质圆盘(mR)在水平桌面上可绕过圆心并与桌面垂直的轴转动,它与桌面之间摩擦系数为m;求：1)从w0到停止转了多少圈 解法1: w dm=mrdq df=m πR2

dM

r·df\dM=-r

M=dM=-rmg

取w0=-m

R22dqrdr=R22

mgR根据动能定理: －

A

13

1Jw 3Rw

Δ

\

=

2 16 mg解法2:根据转动定律-2mmgR=1mR2

M= 3R 3Rww-w0

2bΔq解得:Δq

0= 2)由w=w +

t=w

- 4mg例16匀质细杆(m1L)一端挂在墙上O处一端固定有一物体(m2),求:1)转动惯量;2)从图中水平位置无初速落b;3)落到铅直位置时的角加速度、角速度。解1)以m1、m2为系统的转动惯量

•J=1mL2+•3 3由

=

mgL+mgL= b=(6m2+3m1)g(6m2+2m1

取w(6m2+3m1)g(3m2+m1(6m2+3m1)g(3m2+m1mgL+mgL=1Jw2+mg

\w 端与弹簧相连,另一端与质量为m的物体相连,弹簧另一端固定在地面上,轻绳与盘无滑动,系统处于静止状态,此时靠近圆盘边缘质量为m0的小物块从h高度处自由落下,与m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s。解:m0的质量很小。 下降。m0与m碰撞前的速度v0 mgh=mv v0=

mvR=

+mRv+

=1

M mv2

v

+1kx2+m+s=1x+

x0为m下降前弹簧的伸长量,且mg滑轮与弹簧之间,滑轮与物体之间的内力做功多少? 对小物块m0与m的碰撞过程,对M、m、m0例18:能绕OZ轴旋转的静止匀质圆盘(m1,R),盘底面与水平接触面之间的摩擦系数为m,一个质量为m2以速度v射入盘边缘并嵌在盘边求: 盘共转多少角度? L守mvR=(mR2+1mR2 w (2m2+m1)Rt2tt1

Mdt=L2-L1f1Mf1MwM1=dM1=-=-

r =-2mmg M2=－f2R=－mm2-(2mmgR+mm

=0-(mR2+1mR2

\Dt

+

22

--(3

gR+

gR)Dq=0

1(mR222

+1mR2)w1213m2v (2