基本不等式教学设计范本

#3.4基本不等式（第一课时）一、教材分析：基本不等式是人教A版必修五第三章的最后一节，是学习过一元二次不等式和简单线性规划后的又一工具性的知识，它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式，在此基础上探究基本不等式的证明，了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想，进一步培养学生的抽象思维能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开，既有逻辑推理又有直观的几何图形，使得不等式的证明成为本节课的核心部分，同时也是本节课的重点。二、学情分析：学生在此之前已经具备了圆和三角形的基本知识，熟知了三角函数的定义，掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因此本节课的难点是基本不等式的证明及应用。三、教学目标：.理解重要不等式与基本不等式及其证明..能对基本不等式进行灵活变形，并应用基本不等式解决简单的最值问题..切实把握好应用基本不等式求最值问题的前提条件.四、教学重点：对基本不等式的证明及利用基本不等式求最值问题.教学难点：正确应用基本不等式的“三个限制条件”解题.五、教学方法:1.题组训练法2.学生展写、展评，教师指导六、教学过程：（一）新知剖析提问两个不等式：.重要不等式：一般地，对于任意实数a,b，有a2+b2>2ab，当且仅当a=b时，等号成立..基本不等式：如果a>0,b>0，那么、.•法<a+b（*），当且仅当a=b时，等号成2立.出问题：1.大家可以证明这两个不等式吗？（提问学生口头回答）.怎样理解“当且仅当”？“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，a2+b2=2ab；

当a2+b2=2ab时，a2+b2=2ab.（二）创设情境，深化理解如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一，代数和几何的紧密结合、互不可分.（设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.利用图中相关面积间存在的数量关系，引导学生数形结合认识基本不等式.）（三）几何证明，相见益彰探究：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形，得到不等式（*）的几何解释吗？由于圆的弦长的一半CD小于半径OD,根据射影定理可得：CD=AACC-由于圆的弦长的一半CD小于半径OD,于是有7ab<当且仅当点C与圆心O重合时，即a=b时等号成立.故而再次证明：当a>0,b>0时，Obb<S,当且仅a=b时，等号成立.2（意图在于进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）我们称此不等式（*）为基本不等式.其中"b称为a,b的算术平均数，abb称为2a,b的几何平均数基本不等式":a<S又可叙述为：2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数（四）应用举例，巩固提高1、课前自主练习下列命题是否正确？（1）当x>0时，函数y=x+1的最小值为2.x变式①当X<0时，函数y=X+1的最小值为2.x2一②当0<X<1时，函数y=x+—的最小值为2,：2.X(2)当X>0时，有1+X2>2X，当且仅当1=X2，即X=1时，等号成立.所以函数y=1+X2(x>0)的最小值为2.(意图在于通过两个练习及变式让学生感受并总结求最值时的三个限制条件“一正二定三相等”，使学生在问题解决中增强意识，提升能力)2、利用基本不等式求最值例1⑴设x>0，y>0，xy=100，求x+y的最小值.(2)设x>0，y>0，x+y=18，求xy的最大值.例2(1)设x>-1，求y=X+—的最小值.X+1(2)求函数y=x(4-X)(0<X<4)的最大值.变式：求函数y=x(4-2x)(0<x<2)的最大值.学生板书并讲解做题过程，教师做必要点评.意图在于通过例题及其变式引导学生领会运用基本不等式"茄<a^b的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中2的作用，并能凑成两个数的和或积为定值，提升解决问题的能力，体会方法与策略．(五)反思总结，整合新知：通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些疑问？老师根据学生回答情况完善如下：一个不等式：当a>0,b>0时，abb<S(当且仅当a=b时，等号成立)2两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”意图在于通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.(六)布置作业：.课堂作业：P110习题A1、2、3.课后思考题.19(1)已知X>0，y>0，且—+—=1，求x+y的最小值.Xy19(2)已知x>0，y>0，且x+y=2，求—+—的最小值.Xy七、教学反思1、对于基本不等式'a<b±b的引入的思考：由于本节课的重难点在于基本不等2式的应用，所以通过面积问题，从任意实数的平方非负的观点引入直奔主题，言简意赅.但欠缺了启发性引导以及数学的文化内涵。把两个图形问题放一起讲解，能使学生进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性.2.对于例题的安排的思考:本节课解决了以