高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1

已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明

设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）

当焦点内分弦时。如图1，，所以。

图1

（2）

当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。如图2，，所以。

图2

评注

特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）

证明

设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得，，所以。

图4

（1）当焦点内分弦时。如图4，，。，

所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

图5

如图5，，。

所以，

所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。焦点弦的弦长公式为。

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。

注

由上可得，当焦点内分弦时，有。当焦点外分弦时，有。

例6（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿

解

由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

解

（1）这里，，由定理1的公式得，解得。

（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿

解

易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，

。

例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿

解

因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。

例10

（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。

图6

解

由方程可知，，则。

设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴

的夹角为。代入弦长公式得，

，。故四边形的面积为，。

所以四边形面积的最小值为。

参考文献：

①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上半月）