解直角三角形及其应用2020年安徽中考数学(沪科版)思维导图核心素养提升高分分项突破课件

第六节解直角三角形及其应用（必考，1道，5~10分）玩转安徽10年中考真题考点特训营中考试题中的核心素养解直角三角形（仅2012年考查）1．(2012安徽19题10分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2.求AB的长．

第1题图1解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴AD＝AC·cos30°＝2×＝3，CD＝AC·sin30°＝2×＝.(5分)在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.答：AB的长为3＋.(10分)第1题解图直角三角形的实际（必考，2019

年与垂径定理的应用结合考查）2．(2017安徽17题8分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处．假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41)

第2题图2类型一直接解直角三角形（10

年2考）

解：在Rt△BDF中，由sinβ＝可得，DF＝BD·sinβ＝600·sin45°＝600×＝300≈423(m)，(3分)在Rt△ABC中，由cosα＝可得，BC＝AB·cosα＝600·cos75°≈600×0.26＝156(m)，(6分)∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC＝300＋156≈579(m)．答：DE的长约为579m．(8分)【一题多解】如解图，连接AD，过点B作BG⊥AD，垂足为G，∵AB＝BD＝600(m)，∴AG＝GD＝AD，∠ABG＝∠DBG＝∠ABD，又∵α＝75°，β＝45°，∠FBC＝90°，∴∠ABD＝360°－75°－45°－90°＝150°，∴∠ABG＝75°，∴∠DAB＝∠BAC＝15°，∴∠DAE＝30°，在Rt△ABG中，sin∠ABG＝，∴AG＝AB·sin∠ABG＝600×sin75°≈600×0.97＝582(m)，在Rt△DEA中，∵∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝AG＝582(m)．答：DE的长约为582m．(8分)第2题解图3．(2011安徽19题10分)如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(参考数据：≈1.73)

第3题图解：由已知条件可知：△COB为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝1500(m)，(3分)在Rt△COA中，∠ACO＝90°－60°＝30°，∴OA＝OC·tan30°＝1500×＝500(m)，(7分)∴AB＝OB－OA＝1500－500≈1500－500×1.73＝635(m)．答：隧道AB的长约为635m.(10分)4．(2010安徽16题6分)若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A处到B处约需时间几分．(参考数据：≈1.7)

第4题图类型二作高构造直角三角形（10

年6考）一、解一个直角三角形有AB＝，(5分)因而时间t＝≈3.4(分钟)．答：船从A处到B处约需3.4分钟．(6分)解：如解图，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C，则在Rt△ACB中，第4题解图5．(2018安徽19题10分)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)

第5题图解：如解图，过点F作FG⊥AB于点G，AG＝AB－GB＝AB－FD＝AB－1.8，由题意知：△ABE和△FDE均为等腰直角三角形，∴AB＝BE，DE＝FD＝1.8，∴FG＝DB＝DE＋BE＝AB＋1.8.在Rt△AFG中，＝tan∠AFG＝tan39.3°，即≈0.82，解得AB＝18.2≈18(米)．答：旗杆AB的高度约为18米．(10分)第5题解图【一题多解】由题意知：∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝90°，在Rt△AEF中，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°，＝tan∠AFE＝tan84.3°≈10.02，在△ABE和△FDE中，∠ABE＝∠FDE＝90°，∠AEB＝∠FED，∴△ABE∽△FDE，∴≈10.02，∴AB＝10.02×FD＝18.036≈18(米)．答：旗杆AB的高度约为18米．(10分)6．(2013安徽19题10分)如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°，若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)

第6题图二、解两个直角三角形①辅助线在三角形外(母子型)解：如解图，过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ABF中，AB＝20m，∠α＝60°，∵sinα＝∴AF＝AB·sinα＝20×＝10(m)，(5分)在Rt△AEF中，∠β＝45°，AF＝10m，∵sinβ＝答：改造后的坡长AE为10m．(10分)∴AE＝第6题解图7．(2016安徽19题10分)如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点．某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离．第7题图解：∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝60°－30°＝30°，∴∠DAB＝∠ADE，∴DE＝AE＝20(米)，(3分)如解图，过点D作DF⊥AB于点F，则∠EDF＝30°，∴在Rt△DEF中，EF＝DE＝10(米)，∴AF＝AE＋EF＝20＋10＝30(米)，(6分)∵DF⊥AB，∠CAB＝90°，∴CA∥DF，又∵l1∥l2，∴四边形CAFD是矩形，∴CD＝AF＝30(米)，答：C、D两点间的距离为30米．(10分)

第7题解图8．(2015安徽18题8分)如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度．(参考数据：≈1.7)

第8题图②辅助线在三角形内(背对背型)解：如解图，过点B作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12米，在Rt△BCE中，BE＝(米)，(3分)在Rt△BDE中，∵∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝12(米)，(6分)∴CD＝CE＋DE＝12＋12≈32.4(米)．答：楼房CD的高度约为32.4米．(8分)第8题解图9．(2014安徽18题8分)如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km；CD段长为30km，求两高速公路间的距离．(结果保留根号)

第9题图③其他

解：如解图，过点A作AB的垂线交DC延长线于点E，过点E作l1的垂线与l1、l2分别交于点H、F，则HF⊥l2，由题意知AB⊥BC，BC⊥CD，AE⊥AB，∴四边形ABCE为矩形，∴AE＝BC，AB＝EC，(2分)∴DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝50(km)，又∵AB与l1成30°角，∴∠EDF＝30°，∠EAH＝60°，在Rt△DEF中，EF＝DE·sin30°＝50×＝25(km)，(5分)在Rt△AEH中，EH＝AE·sin60°＝10×(km)，∴HF＝EF＋HE＝25＋5(km)．答：两高速公路间的距离为(25＋5)km.(8分)第9题解图10.(2019达州)渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3

m．于是，他们很快就算出了AB的长，你也算算？(结果精确到0.1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41，≈1.73)第10题图解：如解图，过点B作BF⊥CE于点F，过点A作AG⊥BF于点G，则四边形AGFE为矩形．在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，AE＝3，∴DE＝＝≈1.73.在Rt△BCF中，∠BCF＝40°，BC＝5，sin∠BCF＝，cos∠BCF＝，∴BF＝BC·sin∠BCF≈3.2，CF＝BC·cos∠BCF≈3.85.∴EF＝CD＋DE－CF＝0.58，AG＝EF＝0.58.∴BG＝BF－GF＝BF－AE＝0.2.∴AB＝≈0.6(m)．答：AB的长约为0.6m.第10题解图【对接教材】沪科：九上第23章P111－P139；人教：八下第十七章P21－P39；九下第二十八章P60－P85；北师：九下第一章P1－P27解直角三角形及其应用锐角三角函数直角三角形的边角关系解直角三角形的实际应用锐角三角函数的定义特殊角（30°、45°、60°、）的三角函数值三边关系三角关系边角关系1.仰角、俯角2.坡度、坡角3.方向角正弦余弦正切sinαcosαtanα精确度在

Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则有：

∠A的正弦：sinA＝__________

∠A的余弦：cosA＝__________∠A的正切：tanA＝__________锐角三角函数的定义考点精讲锐角三角函数返回思维导