2022年猿辅导高考数学模拟试卷（新高考）

2022

年猿辅导高考数学模拟试卷（新高考）⼀、选择题。（共

60

分）本大题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。第

1-8

小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第

9-12

小题为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题意要求。全部选对的得

5

分，有选错的得

0

分，部分选对的得

3

分。已知集合

퐴

=

{−2,

−1,

0,

1,

2,

3}，퐵

=

{푥|푥−

4푥

<

0}，则

퐴∩퐵

=（）21.A.

{0,

1,

2,

3}B.

{1,

2,

3}C.

{0,

1,

2}D.

{−1,

1,

2,

3}1

−

i复数

푧

=3的虚部为（）1

+

2i2.1111A.

−iB.iC.

−D.55553.

“푎

<

8”是“方程

푥+

푦

+

2푥

+

4푦

+

푎

=

0

表示圆”的（）22A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件2π4.5.已知

훼∈(0,)，2

sin

2훼

=

cos

2훼

+

1，则

sin

훼

=（）√√√1532

55535A.B.C.D.푥

−

1函数

푓

(푥)

=2的大致图象为（

）|푥|3푥e

+

푥-1-6.核酸检测分析是用荧光定量

푃퐶푅

法，通过化学物质的荧光信号，对在

푃퐶푅

扩增进程中成指数级增加的靶标

퐷푛

푁퐴

实lg时푋监=测푛，lg在(

1

푃+퐶푝푅)

+扩l增g

푋的指数时푝期，荧光信号强푋度达到퐷푁阈퐴值时，퐷푁퐴

的数量

푋푛与扩增次数퐷푁퐴满足

10푛0，

其1中00

为扩增效率，0为的푝初始数量．已知某被测标本（参0考.3数6

9据：A.10扩增1.58次5

后1，0

数量变0.6为31原来的倍，那么该样本的扩增效率

约

为（）0.2−0.2≈，0.415

≈）B.C.0.585D.0.631푥푦2−22=

1

푎

>

0

푏

>

0퐹퐹푀3퐶푎푏7.已知双曲线

퐶：（，是的渐近线上一2点，√|5퐹퐹|

=

|푀퐹|，∠퐹퐹푀√7=

120°，则双曲线

퐶

3的离心率为（1221222A.B.푓

(푥

)

−

푓

(푥

)已知函数

푓

(푥)

的定义域为

R，푓

(5)

=

4，푓

(푥+3)

是偶函数，任意

푥

、푥

∈[3,

+∞)

满足>

0，푥1−

푥28.9.12푓

(3푥

−

1)

<

4

的解集为（）12222则不等式A.

(,

3)B.

(−∞,

)∪(2,

+∞)

C.

(2,

3)D.

(

,

2)333中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能量指数走势图，则下列说法正确的是（）A.

2019

年全年仓储业务量指数的极差为

24%B.

两年上半年仓储业务量指数均是

2

月份最低，4

月份最高C.

两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019

年低于

2020

年D.

2019

年仓储业务量指数的中位数为

59%10.

已

知1

ln

푥1>

ln

푦

>

0，则下列结1论正确1的

是（）4<B.

(

)

>

(

)C.

log

푥

>

log

푦D.

푥

+⩾

8푥푦33푦(푥

−

푦)푥푦2A.푦푥-2-√11.

已知函数

푓

(푥)

=

2

3

sin

푥5cos

푥

+

sin푥

−

cos

푥，则下列结论正确的是（）22A.

푓

(푥)

的图象关于点

(π,

0)

对称12B.

푓

(푥)

在

[,

]

上的值域为

[1,

2]4

2π

πC.

若

푓

(푥

)

=

푓

(푥

)

=

2，则

푥

−

푥

=

2푘π，푘∈Z1212D.

将

푓

(푥)

的图象向右平移

个单位长度得푔(푥)

=

−2

cos

2푥

的图象6π√12.

已知三棱柱

퐴퐵퐶

−

퐴

퐵

퐶

为正三棱柱，且

퐴퐴

=

2，퐴퐵

=

2

3，퐷

是

퐵

퐶

的中点，点

푃

是线段111111퐴

퐷

上的动点，则下列结论正确的是（）1A.

正三棱柱

퐴퐵퐶

−

퐴

퐵

퐶

外接球的表面积为

20π111√7

1⎡⎤B.

若直线

푃퐵

与底面

퐴퐵퐶

所成角为

휃，则

sin

휃

的取值范围为,⎢⎥7

2⎣⎦C.

若

퐴

푃

=

2，则异面直线

퐴푃

与

퐵퐶

所成的角为4π11√3D.

若过

퐵퐶

且与

퐴푃

垂直的截面

훼

与

퐴푃

交于点

퐸，则三棱锥

푃

−

퐵퐶퐸

的体积的最小值为2⼆、填空题。（共

20

分）本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。将正确的答案填在相应的横线上。13.

已知向量

퐚

=

(−4,

3)，퐛

=

(6,

푚)，且

퐚⊥퐛，则

푚

=．214.

二项式

(푥+

1)(−

1)

的展开式中的常数项为．√푥272−

2푚,

(푥

<

1)15.

若函数

푓

(푥)

=

{푥−2有最小值，则

的一个正整数取值可以为푚．2푥

−

6푥

,

(푥

⩾

1)3216.

已知抛物线

푥=

8푦

的焦点为

퐹，准线为

푙，点

푃

是

푙

上一点，过点

푃

作

푃퐹

的垂线交

푥

轴的正半轴2于点

퐴，퐴퐹

交抛物线于点

퐵，푃퐵

与

푦

轴平行，则

|퐹퐴|

=．三、计算题。（共

72

分）本大题共

6

小题，共

70

分。根据题目要求，写出文字说明、证明过程或演算步骤。-3-√5

31√17.

在条件①

2푎

+

푐

=

2푏

cos

퐶，sin

퐴

=，②푏

sin

2퐴

−

푎

sin

퐴

cos

퐶

=

푐

sin

2퐴，푎

=

7푏，③142(2

tan

퐵

+

tan

퐴)

sin

퐴

=

2

tan

퐵

tan

퐴，2푐

=

3푏

中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．在

△퐴퐵퐶

中，角

퐴、퐵、퐶

的对边分别为

푎、푏、푐，且

푐

=

3，，求

△퐴퐵퐶

的面积．18.

已知数列

{푎

}

的前

푛

项和为

푆

，且

푎

=

20，푆

=

4푛+

푘푛．2푛푛2푛（1）求数列

{푎}

的通项公式．1푛푛（2）若数列

{푏}

满足

푏=

3，푏−

푏푛−1

=

푎푛−1（푛

2），求数列

{⩾}

的前

푛

项和

푇

．푏1푛푛푛-4-19.

某企业从生产的一批零件中抽取

100

件产品作为样本，检测其质量指标值

푚（푚∈[100,

400]）得到下图的频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：（1）根据频率分布直方图估计这

100

件产品的质量指标值的平均数

푥．（2）以样本分布的频率作为总体3分布的概率，解决퐴下列问题：（i）从所生产的零件中随机抽取

个零件，记其中

级零件的4件0

0数为

，求

的分布列和数퐴学期望．휉휉（ii）该企业12为节省检测퐵成本，采用混装的4方式将所有零件按个一箱包装，已知一个

级零件的利润是

元，一个

级零件的利润是

元，试估计每箱零件的利润．20.

如图所示，在三棱台

퐴퐵퐶

−

퐴

퐵

퐶

中，퐵퐶⊥퐵퐵

，퐴퐵⊥퐵퐵

，퐴퐵

=

퐵퐶

=

퐵퐵

=

2퐴

퐵

，퐷、퐸

分别11111111为

퐶퐶、퐴퐷퐵111퐸的//

中点．퐴퐵

퐶（1）证明퐴：퐵퐶

=

1平2

0面．

퐴퐵

퐶1（2）若

∠°，求平面和平面퐴

퐵

퐶所成锐二面角的余弦值．111-5-푥푦2√321.

已知椭圆

퐶：22+22=

1

푎

>

푏

>

0（）的离心率为，椭圆

的左、右焦点分别为

1、

2，点퐶퐹퐹푎푏2√퐶푃(4,

2)，且

△푃퐹

퐹

的面积为

2

6．1（1）求椭圆(2,퐶0

)的标准方푙程．（2）过点的푙

直线

与椭圆

相交于

、

两点，直线퐴퐵푃퐴

푃퐵、的斜率分别为푘、푘，当푘

푘1212最大时，求直线

的方程．22.

已知函数

푓

(푥)

=

ln(푥

+

푚)

−

푥e

．−푥（1）若

푓

(푥)

的图象在点

(1,

푓

(1))

处푥的>切0

线与直푓

(

푥线)

>푥

−0

2푦

=

0

平行，求

푚

的值．（2）在（푚1>）1的条件下푓，(푥证)

明：当时，．（3）当时，求的零点个数．-6-参考答案与解析⼀、选择题1.

【答案】B【解析】本题主要考查集合的运算．因为

푥0

<

푥

<

4−

4푥

=

푥(푥

−

4)

<

0，2所以

퐵

=

{푥|푥

，−

4푥

<

0}

=

(0,

4)2所以

퐴

퐵

=

{1,

2,

3}，所以

∩．故本题正确答案为

B．2.

【答案】C1

−

i1

+

i(1

+

i)(1

−

2i)31【解析】本题主要考查复数的四则运算．由题意

푧

=3===−

i，1

+

2i

1

+

2i

(1

+

2i)(1

−

2i)551所以

푧

的虚部为

−

．故本题正确答案为

C．53.

【答案】B【解析】本题主要考查充分条件与必要条件．因为

푥(푥

+

1)

+

(푦

+

2)

=

5

−

푎+

푦

+

2푥

+

4푦

+

푎

=

0，2222所以

5

−

푎

>

0푎

<

5，所

以퐴当=

(−

,

8)

，퐵即=

(−

,

5时)

，该方程表示圆．∞，因为

푎

<

8퐵⫋

퐴∞，，푥

+

푦

+

2푥

+

4푦

+

푎

=

0记22所以“”是“方程表示圆”的必要不充分条件．故本题正确答案为

B．4.

【答案】B【解析】本题主要考查简单的三角恒等变换．因为

2

sin

2훼

=

cos

2훼

+

1，所以

4

sin

훼

cos

훼

=

2

cos훼．因为

훼∈(0,

)，所以

sin

훼

>

0，cos

훼

>

0，22π1则

2

sin

훼

=

cos

훼．又因为

cos훼

+

sin

훼

=

1，所以

(2

sin

훼)

+

sin

훼

=

1，所以

sin

훼

=

，解得222252答案解析

第

1

⻚（共

15

⻚）√√55sin

훼

=或

−

（舍去）．55故本题正确答案为

B．5.

【答案】D【解析】本题主要考查函数的概念与性质．由题意，函数

푓

(푥)

的定义域为

(−∞,

0)∪(0,

+∞)，关于原点对称，(−푥)

−

1푥

−

1因为

푓

(−푥)

=2=

−<

02=

−푓

(푥)，|

−

푥|3|푥|3(−푥)e+

(−푥)푥e

+

푥所以函数

푓

(푥)

是奇函数，其图象关于坐标原点对称，所以排除

A

项，B

项．푥

−

1当

푥∈(0,

1)

时，푓

(푥)

=2，|푥|3푥e

+

푥所以排除

C

项．故本题正确答案为

D．6.

【答案】C【解析】本题主要考查对数与对数函数．由题意1

0

llgg((110+0

푋푝))

==

l

1g

01

l0g0(

1=+2푝)

+

lg

푋，00所以

lg(1

+

푝)

=

0.2，所以

푝

=

10

−

1

，0.5850.2所以≈．故本题正确答案为

C．7.

【答案】B【解析】本题主要考查圆锥曲线．设

푀(푚,

푛)，퐹(−푐,

0)，퐹(푐,

0)，12由题意

|푀퐹|

=

|퐹퐹|

=

2푐，∠푀퐹푥

=

π

−

∠푀퐹퐹=，3π212221⎧{

푚

=

푐

+

|푀퐹

|

cos

푀퐹

푥

=

2푐⎨2푀퐹

푥

=

3푐∠2√{

푛

=

|푀퐹

|

sin⎩所以，2∠2√所以

푀(2푐,

3푐)，푏因为点

푀

在直线

푦

=푥

上，푎2푏푐√所以

3푐

=，푎所以

37푎

=

4푐=

4푏

=

4(푐

−

푎

)，222222所以，答案解析

第

2

⻚（共

15

⻚）√푐7所以

푒

==．푎2故本题正确答案为

B．8.

【答案】D【解析】本题主要考查函数的概念与性质．因为函数

푓

(푥)+

3)

是偶函数，

푥

=

3所以函푓

(数1)

=

푓

(

5的)

图=

4象关于直线对称，푓

(푥

)

−

푓

(푥

)所以，因为任意

푥、푥∈[3,

+∞)，>

0，푥1−

푥212所以푓

(푥)

在

[3,

+∞)

上单调递增푓

(푥)푥

=

31，2因为函数

푓

(푥)

的图(−象关,

3于]

直线对称，所以函푓

(数1)

=

푓

(

5在)

=

4∞

푓

(3上푥

−单1调)

<递4减，因为

1

<

3푥

−

1

<

5

，，2所以，所以<

푥

<

2，32即不等式

푓

(3푥

−

1)

<

4

的解集为

(,

2)．3故本题正确答案为

D．9.

【答案】AC【解析】本题主要考查随机抽样．A

项，2019

年全年仓储业务量指数

3

月份最高，为

66%，2

月份最低，为

42%，所以极差为

66%

−

42%

=

24%．故

A

项说法正确．B

项，根据折线图可知，两年上半年仓储业务量指数均是

月份最低，

月份最高．23故

B

项说法错误．C

项，根据折线图可知，2019年上半年仓储业务量指数的波动比202058年上半年的波动要小，所以

2019

年上半年仓储业务量指数的方差低于

2020

年．故

C

项说法正确．D

项，根据中位数的定义可知，故

D

项说法错误．2019年仓储业务量指数的中位数为

%．答案解析

第

3

⻚（共

15

⻚）故本题正确答案为

AC．10.

【答案】AC【解析】本题主要考查不等关系与不等式和均值不等式．因为

l푥n

>푥

푦>

>l

n1푦

>

0，11푦

−

푥所以．−=<

0，푥푦푥푦A

项，因为11<．푥푦所以1故

A

项正确．B

项，因为函数

푦

=

()

在

R

上单调递减，且

푥

>

푦

>

1，3푥11所以

()

<

(

)

．33푥푦故

B

项错误．푥

>

푦

>

1C

项，因为，所以loglog푥>푥

l>o

gl

o

g푦푦

=

1

=

log푥

>

log푦，푦푦푥푥即푦푥．故

C

项正确．푦

>

0

푥

−

푦

>

0D

项，因为푦，+

(푥

−

푦)

，

푥所以

푦(푥

−

푦)

⩽

[]

=，2242416所以

푥+⩾

푥

+⩾

8，푦(푥

−

푦)푥222⎧푦

=

푥

−

푦⎧{푥

=

2{16⎨⎨푥

={

푦

=

1{⎩当且仅当

⎩2푥，即时可取等号，2因为

푥

>

푦

>

1，4所以

푥+>

8．푦(푥

−

푦)2故

D

项错误．故本题正确答案为

AD．11.

【答案】BD【解析】本题主要√考查三角函数、倍角公式与半角公式以及两角和与差公式．由=

√题3意sin푓

2(푥푥

)−=co2s

23푥sin

푥

cos

푥

+

sin푥

−

cos

푥22=

2

sin(2푥

−

)．6π5π2π√A

项，因为

푓

()

=

2

sin=

3，123答案解析

第

4

⻚（共

15

⻚）5π所以

(,

0)

不是函数

푓

(푥)

图象的对称中心．5π12故

A

项错误．B

项，当

푥∈[,

]

时，2푥

−

∈[

,

]，4

263

6π

πππ所以当

푥∈[,

]

时，푓

(푥)

=

2

sin(2푥

−

)∈[1,

2]．4

26π

ππ故

B

项正确．푓

(푥

)

=

푓

(푥

)

=

2C

项，因为12，所以

2푥−=+

2푘

π，2푥

−=+

2푘

π，푘

∈Z，푘

∈Z，6262ππππ112212所以

푥−

푥=

(푘푘−푘푘Z)π，푘∈Z，푘∈Z，1121212所以2π，

∈

．故

C

项错误．D

项，将函数

푓

(푥)

的图象向右平移

个单位得到푔(푥)

=

2

sin[2(푥−

)−

]

=

2

sin(2푥−

)

=

−2

cos

2푥6662ππππ的图象．故

D

项正确．故本题正确答案为

BD．12.

【答案】AD퐴퐵【解析】本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间几何体．A

项，由正弦定理可得

△퐴퐵퐶

的外接圆半径为

푟

=

2

sin

=

2，3π퐴퐴所以三棱柱

퐴퐵퐶

−

퐴퐵퐶的外接球半径为

푅

=√()

+

푟

=

√5，21222111111所以三棱柱

퐴퐵퐶

−

퐴故

A

项正确．

퐵퐶B

项，如图，取퐵퐶的外接球的表面积为

푆

=

4π푅=

20π．的中点

，连接퐹퐴퐹

퐷퐹

퐵퐷

퐴

퐵、、、1，√根据图形可知：242

7√√√当点

푃

与点

퐷

重合时，휃

最大，此时

퐷퐹

=

2，퐵퐷

=

2+

(

3)

=

7，sin

휃

==；722√721√√当点

푃

与点

퐴重合时，휃

最小，此时

퐴퐴=

2，퐴퐵

=

2+

(2

3)

=

4，sin

휃

==，222111√1

2

7⎡⎤所以

sin

휃∈,．⎢⎥27⎣⎦故

B

项错误．C

项，如图，将正三棱柱补全为直四棱柱，则퐵퐶

//퐴퐺，1所以异퐺面퐴直퐷线=퐴9푃0与

퐵퐶所成的角为

∠퐺퐴푃

或者它的补角，1因为

∠1°，√√所以

퐺푃

=

√(2

3)+

2

=

4，22√√√因为

퐴퐺

=

(2

3)+

2

=

4，퐴푃

=

2

+

2

=

2

2，2222答案解析

第

5

⻚（共

15

⻚）√√√4

+

(2

2)

−

422所以

cos

∠퐺퐴푃

=222=≠，42√2

×

4

×

2

2所以

∠퐺퐴푃

≠故

C

项错误．．4πD

项，注意到三棱锥푃

−

퐴퐵퐶的体积为定值，所以若퐸要三棱锥퐴

퐵푃퐶−

퐵퐶퐸

的体积最小，则三棱锥

퐸

−

퐴퐵퐶

的体积最大，则点

퐹

到平퐵퐶面设点

퐴푃为的距离最大，퐴퐴

퐷퐹的훼中点，考虑截面1，因为

퐸⊥

平面퐴

퐹，13所以点

在以为直径的圆上，从截面图可知，点

퐸

到平面

퐴퐵퐶

的最大距离为

ℎ

=|퐴퐹|

=，221π√√因为

푆

퐴퐵퐶=×

(2

3)

sin

=

3

3，232△1所以

푃−퐵퐶퐸푉=

푉푃−퐴퐵퐶−

푉퐸−퐴퐵퐶=푆⋅(퐴퐴

−

ℎ)3△퐴퐵퐶113√=×

3

3

×

(2

−

)32√3=．2故

D

项正确．故本题正确答案为

AD．⼆、填空题13.

【答案】8【解析퐚】本题主要考퐛查平面向量퐚的퐛数量积．因为

=

(−4,

3)，

=

(6,

푚)，

⊥

，则

有−24

+

3푚

=

0퐚⋅퐛

=

0，푚

=

8则，解8

得．故本题正确答案为

．答案解析

第

6

⻚（共

15

⻚）14.

【答案】−561푟

−

7【解析】本题主要考查二项式定理．22由二项式定理可知，(−1)

的展开式中第

푟+1

项为

푇

=

퐶

()⋅(−1)

=

(−1)

⋅2

퐶

푥，√푥√푥7푟7−푟푟푟7−푟푟2푟+1772所以

(−1)

的展开式中

푥

项的系数以及常数项分别为

(−1)

⋅2

퐶

=

−560

以及

(−1)

2

퐶

=

−1，√푥7−2343707772所以

(푥+

1)(−

1)

的展开式中的常数项为

−560

+

(−1)

=

−561．√푥27故本题正确答案为

−561．15.

【答案】4（答案不唯一，填

1、2、3

亦可）【解析⩾】本题主要考查函数的概念与性质和导数在研究函数中的应用．当

푥

1푥时[，1,

2푓

()푥)

=

2푓푥(푥)

<

0−

6푥

，푓

(푥)

=

6푥

−

12푥

=

6푥(푥

−

2)，′322푥

(2,

+

)푓

(푥)

>

0，′′所以当

∈푓

(푥)

时[1，,

2]；当

∈

(2∞,

+

时)，所以函数푥

<

1

在

푓

(푥)

=上2单调−递2푚减，在∞

上单调递增，푥−2因为当

푓

(푥)时

，(−

,

1)，所以函数

푓

(푥)

在

(−∞,

1)

上单调递增，

[1,

2]所以函数

푓

(푥)

在∞上单调递增，在上单调递减，在(2,

+

)∞

上单调递增，所以

푚⩾

푓

(2)

=

−8，因为函−2数푚有最小值，所以

푚⩽

4，4123所以

的一个正整数4

取值为

（答案不唯1

一2，填3

、

、

亦可）．故本题正确答案为

（答案不唯一，填

、

、

亦可）．16.

【答案】6【解析】本题主要考查圆锥曲线．由题意

퐹(0,

2)，准线方程为

푦

=

−2，2

−

(−2)4푚不妨设

푃(푚,

−2)，则

푘푃퐹==

−

，퐵(푚,2)，0

−

푚푚8因为

푃퐹⊥푃퐴，1푚所以

푘푃퐴

=

−=，푘4푚푃퐹所以直线

푃퐴：푦

+

2

=(푥

−

푚)，48令

푦

=

0，得到

푥

=

푚

+，푚8所以

퐴(푚

+,

0)，푚因为

퐹푘

、=퐵、푘

퐴

三点共线，所以

퐹퐵퐹퐴，答案解析

第

7

⻚（共

15

⻚）푚2

−282

−

00

−

푚80

−

(푚

+)所以=，푚整理可푚得=푚8+

8푚

−

128

=

(푚

−

8)(푚

+

16)

=

0，4，2222所以8所以

|퐹퐴|

=√(푚

+

)

+

2푚2264=

√푚

++

20푚22√=

8

+

8

+

20=

6．故本题正确答案为

6．三、计算题√5

317.

【答案】14选①：2푎

+

푐

=

2푏

cos

퐶，sin

퐴

=．由正弦2

s定in理(

퐵可+得퐶

)2+s

isni

n퐴퐶+

=s

i

n2

퐶s

i

n=퐵2csoisn퐶퐵

cos

퐶，所以

2

cos

퐵

sin

퐶

+

sin

퐶

=

0，所以

퐶

(0,

)，......2

分因为

sin∈퐶

π0，1所以≠

，所以

cos

퐵

=

−

，......4

分......6

分2因为

퐵∈(0,

π)，2π所以

퐵

=，3푎푏==，sin

퐴sin

퐵5由正弦定理可得√3푏sin

퐵27所以==，......8

分푎sin

퐴√5

314设

푎

=

5푘，푏

=

7푘（푘

>

0），푎

+

푐

−

푏由余弦定理可得

cos

퐵

=222，2푎푐25푘

+

9

−

49푘122=

−2

×

5푘

×

32所以，答案解析

第

8

⻚（共

15

⻚）所以

2푘

4>푘

0−

15푘

−

9

=

(푘

−

1)(24푘

+

9)

=

0，2因为

푘

=

1，所以

푎

=

5，푏

=

7√......10

分......12

分所以，

1，15

3所以

푆

퐴퐵퐶=푎푏

sin

퐶

=．241△√选②：푏

sin

2퐴

−

푎

sin

퐴

cos

퐶

=푐

sin

2퐴，푎

=

7푏．21由正弦定理可得

sin

퐵

sin

2퐴

−

sin퐴

cos

퐶

=

sin

2퐴

sin

퐶，22所以

2퐴s

i(n0퐴,

c)o

s

퐴

sin

퐵

−

sin퐴

cos

퐶

=

sin

퐴

cos

퐴

sin

퐶，2因为

si∈n

퐴

π0，所以

2

cos

퐴≠sin，퐵

=

sin

퐴

cos

퐶

+

cos

퐴

sin

퐶

=

sin

퐵所以

퐵

(0,

)，......2

分因为

si∈n

퐵

π0，1所以≠

，所以

cos

퐴

=，......4

分......6

分2因为

퐴∈(0,

π)，所以

퐴

=，3π푏

+

푐

−

푎所以由余弦定理可得

cos

퐴

=222，2푏푐푏

+

9

−

7푏122=2

×

푏

×

32所以，......8

分整理可푏

得>

02푏+

푏

−

3

=

(푏

−

1)(2푏

+

3)

=

0，2因为

푏

=

1，√......10

分......12

分所以，

1+3

3所以

푆

퐴퐵퐶=푏푐

sin

퐴

=cos

퐴．24△(2

tan

퐵

+

tan

퐴)

sin

퐴

=

2

tan

퐵

tan

퐴

2푐

=

3푏2

sin

퐵

sin

퐴2

sin

퐵选③：，．=，cos

퐵cos

퐴

cos

퐵所以所以

2

cos

퐴

sin

퐵2+푏

ccooss퐵퐴s+in푎퐴co=s

2퐵s=in2퐵푏，......2

分......4

分푏

+

푐

−

푎푎

+

푐

−

푏由正弦定理可得，由余弦定理可得

2푏⋅222+

푎⋅222=

2푏，2푏푐2푎푐整理可2

푐得=푏3푏

푐

=

3+

3푐

−

푎

=

4푏푐，222因为

2

+

3

×，3

−

푎

，=

4

×

2

×

3222所以

푎

=

√7，푏

+

푐

−

푎1......6

分......8

分所以，所以

cos

퐴

=222=，2푏푐2因为

퐴∈(0,

π)，√3√所以

sin

퐴

=

1

−

cos퐴

=，......10

分22答案解析

第

9

⻚（共

15

⻚）√13

3所以

푆

퐴퐵퐶=푏푐

sin

퐴

=．......12

分22△1【解析】本题主要考查两角和与差公式和正弦定理与余弦定理．若选①，根据两角的和与差公式以及

퐶∈(0,

π)

可以得到

cos

퐵

=

−

，从而可以使用正弦定理得到2푏7=，再使用余弦定理可以求出

푎、푏

的值，从而可以求出

△퐴퐵퐶

的面积．푎51若选②，根据两角和与差公式以及

퐵∈(0,

π)

可以计算出

cos

퐴

=

，再根据余弦定理可以计算出푏2的值，进而可以求出

△퐴퐵퐶

的面积．푏

+3푐

−푎

=222

若4푏选푐，③从，而首

可先

以对

求题

出干

中푎

的的

值等

，式

再进

使行

用转

余化

弦，再定使理用可正以弦求定出理c和os余퐴

的弦

值定

，理

从对

而等

可式

以变

求形

出，得△到퐴퐵퐶

的面积．18.

【答案】（1）因为

푆

=

4푛+

푘푛，2푛所以

푆푎

==

푘푆

+−4

푆，푆=푘=+2

푘1

2+=1

62，012所以

푘2=

821，所以

푎

=

푆，=

12

푆

=

4푛

+

8푛......2

分21，푛，所以当

푛푛⩾

2

时，푆

=

4(푛

−

1)

+

8(푛

−

1)

=

4푛

−

4，푛−1所以122所以当푎

=

12⩾

2

时，푎

=

푆

−

푆

=

8푛

+

4，푛푛푛−1......4

分......5

分因为

푎1=

8푛，+

4

푛

N∗푛=

（8푛

−∈4

）．所以푎（2）因푏

为−

푏푛−1

=

8푛

−

4，푛⩾

2，푛∈N

），∗所以

푏푛=

(푏푛−1

−

푏

)

+（

+

(푏

−

푏

)

+

푏푛4)

+푛(8푛

−푛−112)

+⋯

+

(⋯21−

4)

+13所=

(以8푛

−8

×

2(8푛

−

4

+

12)(푛

−

1)=+

32=

4푛

−

1（푛

⩾

2），......7

分2因为

푏=

34푛，−

1

푛

N12∗11（

∈

），111......8

分所以푛所以=2=(−)，......10

分푏4푛

−

1

2

2푛

−

1

2푛

+

1111푛所以

푇=++

⋯

++

⋯

+푏푏푏푛11111112푛===(1

−+−−)23352푛

−

1

2푛

+

111×

(1

−)22푛

+

1푛2푛

+

1．......12

分【解析】本题主要考查数列的递推与通项、等差数列以及数列的求和．（1）首先根据

푎=

20

求出

푘

的值，再递推作差并验证

푎=

12，得到

푎=

8푛

+

4（푛∈N

）．∗21푛答案解析

第

10

⻚（共

15

⻚）（2）根据累加法可以求出

{푏}

的通项公式，再根据裂项法可以求出

푇的表达式．푛푛19.

【答案】（1）由题意

푥

=

125

×

0.05

+

175

×

0.1

+

225

×

0.15

+275

×

0.4

+

325

×

0.25

+

375

×

0.05

=

267.5．......2

分（2）（휉i）퐵因(3为,

0一.9)个零件为

퐴

级的概率为

푝

=

1

−

2

×

50

×

0.001

=

0.9，......3

分......4

分所以

푃∼(휉

=

푘)

=

，퐶

푝

(1

−

푝)휉

=

0123푘푘3−푘所以

푃(휉

=

0)

=

0.3001

푃(휉

=，1)

=

0.0、27

、푃

(、휉

=，2)

=

0.243

푃(휉

=

3)

=

0.729所以휉，，，，......6

分所以随机变量

的分布列为：......7

分......8

分所以

퐸(휉)

=

푛푝퐴=

3

×

0.9

=푋2.7．

퐵（ii）设푌

每=

箱12中푋

+

4级(

4零0

0件−有푋)

=个8푋，+

1级60零0

件有(400

−

푋)个，每箱零件的利润为

元，푌所以

푋

퐵(400,

0.9)，......9

分因为

퐸

(∼푋)

=

400

×

0，.9

=

360所以

퐸(푌)

=

8퐸(푋)

+

1600

，所=

8以×

360

+

1600......10

分=

4480

元，即估计每箱零件的利润为

4480

元．......12

分【解析】本题主要考查随机抽样和随机变量及其分布．（1）根据平均值的定义进行计算即퐴

可．（2）（i）首先计算出一个零件为

级的概率，然后判断出

∼휉

퐵(3,

0.9)，从而可以求出

的分布列휉和数学期望．

퐴푋퐵(400

−

푋)푌（ii）푌

设=

每12箱푋

+中4(4级00零−件푋)有=

8푋个+，160级0零件有

푋

퐵(40个0,

0，.9每)

箱零件的利润为퐸(푋元)．根据定义可得到푌，判断出

∼，从而可以求出，从而可以求出随机变量

的数学期望，即估计出了每箱零件的利润．20.

【答案】（1）如图，取

퐴퐴

的中点

퐹，连接

퐷퐹、퐸퐹，1因为点퐷퐹퐷

是

퐶퐶所以

퐷퐹/是/

퐴梯퐶

形퐴的퐶퐶中点퐴

，点

퐹

是

퐴퐴的中点，퐴퐶

//퐴퐶111111的中位线，所以퐸퐴，퐵퐹퐴퐴......1

分因为点퐸퐹

是1퐴1퐴的퐵

中点，点是1的中点，所以

퐸퐹/是/퐴퐵△11的中位线，所以

퐷퐹

퐸퐹1=，퐹

퐴퐶

퐴퐵

=

퐴

퐷퐹

퐸퐹퐷퐸퐹

퐴퐶

퐴퐵퐴퐵

퐶......2

分......3

分因为∩퐷퐸퐹//

，

퐴∩퐵

퐶1，、⊂

平面，、1⊂

平面1，所以平面平面1，答案解析

第

11

⻚（共

15

⻚）因为

퐷퐸⊂//

平面

퐷퐴

퐵퐸

퐹퐶，所以퐵平퐶面퐵퐵1퐴．퐵

퐵퐵

퐵퐶

퐴퐵

=

퐵

퐵퐶

퐴퐵퐴퐵퐶......4

分......5

分（2）因퐵퐵为⊥

퐴⊥，∩，、⊂

平面，1퐵，퐶1所以1⊥

平퐵面

퐵퐺

，퐴퐶퐴퐶퐺퐵퐶

퐵퐵

퐵퐺如图，过点

퐵

作⊥交퐵퐶

于퐵点퐵

，퐵퐺则、1、

푥

两푦两互푧

相垂直，2如图，以퐵퐶点=

2为坐标原点，、1、所在的直线为

、

、

轴，建立空间直角坐标系，√3不妨设，1⎛⎞√⎜⎟所以

퐴(−1,

0,

3)，퐵(0,

0,

0)，퐶(2,

0,

0)，퐴−

,

2,，퐵

(0,

2,

0)，2⎝⎠11√13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⎛⎞所以

퐴퐶

=

(3,

0,

−

3)，퐵퐶

=

(2,

−2,

0)，퐴퐵=⎜

,

0,

−⎟，......7

分22⎝⎠111⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗设平面

퐴

퐵퐶푛퐶

的=法0

向量为

푛3푥

=−(

푥3,푧푦,=푧0)，⎧

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1⎧1√111{{⎨⎨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗⃗⃗⃗

⃗1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗11{

퐵

퐶

푛

=

0{2푥

−

2푦

=

0⎩⎩所以，即，1⋅111⎧푥

=

1{{令

푥=

1，得到푦

=

11......8分⎨{1{11=

3，√푧⎩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√所以

푛퐴=

퐵(1,퐶1,

3)，1⃗

푛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=

(푥

,

푦

,

푧

)11的法向量为

2푥⎧2222，设平面−

2푦=0⎧

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗{{

퐵

퐶

푛

=

0{12√32⎨⎨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗⃗

⃗⃗⃗12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗{

퐴퐵

푛

=

0{푥

−푧

=

0⎩{所以，即

⎩

22，11⋅222⎧√푥

=

3{{√2√令

푥=

3

得到푦

=

3⎨{2{22=

1

，푧⎩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√

√所以

푛퐴=퐵(

퐶3,

3,

1)，퐴

퐵

퐶......10

分2设平面cos

휃1=

|和cos平⟨

⃗푛⃗⃗面⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,

⃗

푛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1⟩|1所成锐二面角的大小为

，휃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|푛

푛

|12==⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|푛1|⋅|푛22|121

×

√3

+

1

×

√3

+

√3

×

1√√√

√√1

+

1

+

(

3)

×

(

3)

+

(

3)

+

122222√3

3==√35√3

10535，√3

105即平面

퐴퐵퐶

和平面

퐴퐵퐶

所成锐二面角的余弦值为．......12

分35111答案解析

第

12

⻚（共

15

⻚）【解析】本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用．（퐸1퐹）//取퐴퐵퐴퐴的中点

퐹，连

接

퐷퐹、퐸퐹，根据梯形的中位线퐷定퐸理퐹/和/

三角形퐴

퐵的퐶中位线定理得到

퐷퐷퐹퐸////퐴

퐶、11，从而可以根据面面平行的判定定理得到平面平面1，从而可以得到平面

퐴퐵퐶．1（2）首先判断出퐵퐵⊥

平面퐴퐵퐶，过点퐵作퐵퐺

퐴퐶⊥交퐴퐶于퐵点퐶

=，2

可以判断出퐺퐵퐶

퐵퐵

퐵퐺、、两11两互相垂直，从퐴퐵而퐶可以建立如퐴

图퐵

所퐶示的空间直角坐标系．设

퐴퐵

퐶

，可以퐴写퐵出相퐶

关点和向量的坐标，求出平面1和平面11的法向量，即可求出平面1和平面11所成锐二面角的余弦值．⎧√푐3{푒

=={21.

【答案】{푎21⎨√6푆=⋅2푐

×

2

=

2{2（1）由题意

{，......2

分푃퐹퐹{12푎△

=

푏

+

푐⎩222⎧푎

=

8{{2푏

=

2⎨{2{所以

푐

=

6，⎩2푥푦所以椭圆

퐶

的标准方程为2+2=

1．......4

分......5

分82221（2）当直线

푙

的斜率为

0

时，푘푘=⋅=．2√√4

−

2

2

4

+

2

212当直线

푙

的斜率不为

0

时，设直线

푙

的方程为

푥

=

푚푦

+

2，⎧

푥푦{+=

12282(푚

+

4)푦

+

4푚푦

−

4

=

0⎨22{푥

=

푚푦

+

2......6分联立

⎩得到，设

퐴(푥,

푦)，퐵(푥,

푦)，4푚41122所以

푦+

푦=

−，푦

푦

=

−，......7

分푚

+

4푚

+

411221222

−

푦

2

−

푦所以

푘푘=⋅4

−

푥14

−

푥22(2

−

푦

)(2

−

푦

)12==[4

−

(푚푦

+

2)1][4

−

(푚2푦

+

2)]4

−

2(푦

+

푦

)

+

푦

푦124

−

2푚(푦1+

푦2)

+

푚1푦2푦21212答案解析

第

13

⻚（共

15

⻚）−8푚−44

−+푚

+

4

푚

+

4=222푚(−4푚)−4푚4

−+2푚

+

4푚

+

422푚

+

2푚

+

3=22푚

+

4212푚

+

1=+，......9

分22푚

+

42푡

−

1令

푡

=

2푚

+

1，则

푚

=，21当

푡

=

0

时，푘푘==；211221푡当

푡

≠

0

时，푘푘+2푡

−

12()

+

42212푡==++2푡

−

2푡

+

921229푡

+

−

2，푡9因为

푦

=

푡

+−

2∈(−∞,

−8]∪[4,

+∞)，푡12所以当

푡

=

3

时，(푘푘)=+=

1，2412max此时

푡

=

2푙푚

+

1

=

3，푥所−以푦

−푚2==

10，......11

分......12

分此时直线

的方程为．【解析】本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线．（1）根据椭圆的离心率和

△푃퐹퐹的面积，可以求出椭圆

퐶

的参数，从而可以求出椭圆

퐶

的标准121方程．（2）当直线

푙

的斜率为

0

时，可以求出

푘푘=．当直线푙

的斜率不为

0

时，设直线

푙

的方程为212푥

=

푚푦

+

2，与椭圆方程联立，使用韦达定理表示出

푦

+

푦

、푦

푦

，然后可以表示出

푘

푘

，并研究121212其最大值，从而可以求出对应的直线

푙

的方程．22.

【答案】（1）因1为

푓

(푥)

=

ln(푥

+

푚)

−

푥e

，−푥所以

푓(푥)

=+

(푥

−

1)e

，......1

分......2

分......3

分′푥

+

푚−푥11由题意

푓(1)

==，′1

+

푚2所以

푚

=

1．1（2）当

푚

=

1

时，푓

(푥)

=

ln(푥

+

1)

−

푥e

，푓

(푥)

=+

(푥

−

1)e

，′푥

+

1−푥−푥1e

+