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文档简介

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4平面向量的数量积第二章平面向量1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作

＝a，

＝b，则

称作向量a和向量b的夹角，记作

，并规定它的范围是

.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝

.(2)当

时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作

.∠AOB知识回顾：〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b2.数乘向量运算律知识回顾：

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）F由此引入向量“数量积”的概念。θ功是标量S

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ定义规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。求向量数量积的步骤：1.求两个向量的模（长度）2.求两个向量夹角θ及cosθ3.向量的数量积（内积）θ

向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：大于零等于零小于零CB60。58A答：24答：-20课内练习：重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1×√×××√×练习一练习二：403或－360°二、平面向量的数量积的运算律：其中，是任意三个向量，例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a2＋2a·b＋b2.＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.例2：求证：证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b

＝a2－b2.解:解:练习三：K=6练习四：AD1.向量的数量积(内积)

叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝

.

叫做向量a在b方向上的投影，

叫做向量b在a方向上的投影.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)a·e＝e·a＝

；(2)a⊥b⇒a·b＝

且a·b＝

⇒a⊥b；|a||b|cos〈a，b〉填要点·记疑点|a||b|cos〈a，b〉|a|cos

θ|b|cos

θ|a|cos〈a，b〉00小结(3)a·a＝

或|a|＝

；(4)cos〈a，b〉＝

；(5)|a·b|

|a||b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b＝

(交换律)；(2)(λa)·b＝

＝

(结合律

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