高考数学矩阵与变换课件

专题9系列4选讲第

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练矩阵与变换本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.题型分析高考展望体验高考高考必会题型高考题型精练栏目索引体验高考解析答案12解由已知，得Aα＝－2α，从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.解析答案返回12高考必会题型题型一常见矩阵变换的应用例1

已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；解析答案解设P(x0，y0)是曲线C：xy＝1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P′(x0′，y0′)，解析答案解析答案(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.解曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x.再顺时针旋转45°后，点评点评把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解.解析答案(1)求实数a，b的值；解设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′).又点M′(x′，y′)在直线l′：x＋by＝1上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，解析答案又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0).题型二二阶矩阵的逆矩阵解析答案所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，点评解析答案点评解设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，又点P′(x′，y′)在曲线C′上，对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.点评解析答案解因为|A|＝2×3－1×4＝2，解析答案(2)求矩阵C，使得AC＝B.解由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故题型三求矩阵的特征值与特征向量(1)求实数a的值；解析答案所以a＋1＝－3，所以a＝－4.点评(2)求矩阵A的特征值及特征向量.解析答案解得A的特征值为λ＝－1或3.(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量.点评点评返回＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值为7和－4.解析答案高考题型精练12345678解析答案解因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，解析答案(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.令f(x)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，12345678解析答案12345678解析答案(1)求(AB)－1；又|AB|＝－3－1＝－4，12345678解析答案(2)求直线2x＋y－5＝0在(AB)－1对应变换作用下的直线方程.解设P(x0，y0)是直线2x＋y－5＝0上任一点，P′(x，y)是在对应变换作用下点P的像，代入直线方程2x＋y－5＝0，得2(x－y)－(x＋3y)－5＝0，即x－5y－5＝0，即为所求的直线方程.12345678解析答案(1)求实数a，b的值；12345678解设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′).又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.12345678解析答案(2)求A2的逆矩阵.12345678解析答案1234567812345678解析答案12345678设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝2x上，12345678解析答案12345678可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2).计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|＝2×1＝2，所以k的值为－2或2.12345678解析答案(1)求矩阵M；12345678联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，12345678解析答案(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；