2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区普利桥镇中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区普利桥镇中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是（

）A. B. C. D.参考答案：D因为满足偶函数f（﹣x）=f（x）的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，故选D.

2.“a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】两条直线垂直的判定．【分析】当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在，只要看是否满足k1?k2=﹣1即可．【解答】解：当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率是，直线3x+ay+3=0的斜率是3，∴满足k1?k2=﹣1a=0时，直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=﹣1是直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．故选A．3.在函数中，最小正周期为的函数的个数为（

）A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B考点：函数的周期性.4.若函数的定义域为，则实数c的值等于()A．－1

B．1C．－2

D．－参考答案：A5.已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|kx﹣y≤2}，其中x，y∈R，若A?B，则实数k的取值范围是(

)A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，] D．[﹣，+∞）参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A和B均为点的集合，所以可以考虑用数形结合求解．【解答】解：集合A为单位圆上的点，集合B表示恒过（0，﹣2）点的直线一侧的区域，若A?B，如下图所示：当直线kx﹣y﹣2=0与圆相切时，k=±，故k的范围为故选C【点评】本题考查集合的关系问题，注意数形结合思想的运用．6.某学校有教师200人，其中高级教师60人，一级教师100人，二级教师40人，为了了解教师的健康状况，从中抽取40人的一个样本，用分层抽样的方法抽取高级、一级、二级教师的人数分别是（

）

A．20，12，8

B．12，20，8

C．15，15，10

D．14，12，14参考答案：B7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象

（）A．向上平移一个单位

B．向下平移一个单位C．向左平移一个单位

D．向右平移一个单位参考答案：D8.函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞）D．（－3，1）参考答案：D解析：y′＝－2xex＋（3－x2）ex＝（－2x＋3－x2）ex＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）．9.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：【知识点】等差数列等比数列D2D3【答案解析】C

∵等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项，

∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=-2，

∵△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，∴1×2+q＜0，∴q=-2，故选：C．【思路点拨】利用等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=-2，根据△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，确定q的值．10.已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤} D．{x|0≤x＜}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是

．参考答案：①②⑤【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．12.现有含盐7%的食盐水200g,需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水,设需要加入4%的食盐水xg,则x的取值范围是

参考答案：(100,400)13.已知函数的图像上一个最高点的坐标为，由这个最高点到其相邻的最低点间图像与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为__________．参考答案：由题意得,且所以函数的解析式为点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.14.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.参考答案：-315.设是方程的解，且，则k=

．参考答案：略16.如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．17.已知F是抛物线的焦点,A,B为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为________参考答案：【知识点】抛物线及其几何性质H7解析：因为抛物线的准线为，由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得M到抛物线的准线的距离为，所以到y轴的距离为.【思路点拨】在圆锥曲线中遇到曲线上的点与焦点的距离时通常利用其定义进行转化.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分).如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，是的中点。（1）求证：平面平面（4分）（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．（8分）

参考答案：略19.（本题12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且（I）求函数的最小正周期；（II）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.参考答案：20.【题文】（12分）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上。(I)当点M为EC中点时，求证:BM//平面ADEF；(II)求证:平面BDE丄平面BEC；(III)若平面说BDM与平面ABF所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积.参考答案：（1）证明

取中点，连结．在△中，分别为的中点，则∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四边形为平行四边形．于是，∥．又因为平面，且平面，所以∥平面．

………..3分（2）证明

在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因为平面，所以，平面平面．………..7分（3）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又，设，则，即.设是平面的法向量，则,.取，得，即得平面的一个法向量为.

……..10分由题可知，是平面的一个法向量.因此，，即点为中点.此时，，为三棱锥的高，所以，.

.............………..12分21.（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了名男志愿者和名女志愿者，调查发现，这名志愿者的身高如下：（单位：cm

）

男

女

9

15

7

7

8

9

9

9

8

16

1

2

4

5

8

9

8

6

5

0

17

2

3

4

5

6

7

4

2

1

18

0

1

1

19若身高在cm以上（包括cm）定义为“高个子”，身高在cm以下定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从志愿者中抽取人，“高个子”和“非高个子”各抽取多少人？（2）再从这人中选人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？参考答案：22.（2017?衡阳一模）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、O3、CO等六项．空气质量按照AQI大小分为六级：一级0～50为优；二级51～100为良好；三级101～150为轻度污染；四级151～200为中度污染；五级201～300为重度污染；六级＞300为严重污染．某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示：（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（Ⅱ）若从样本中的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率