(完整版)高等数学(下)知识点总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(完整版)高等数学(下)知识点总结高等数学（下）学问点

主要公式总结

第八章空间解析几何与向量代数1、

二次曲面

1）

椭圆锥面：2

2

222zbyax=+2）

椭球面：122

222

2=++c

zbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）

单叶双曲面：122

222

2=-+c

zbyax双叶双曲面：1222222=--czbyax4）

椭圆抛物面：zbyax=+2222双曲抛物面（马鞍面）：zb

yax=-22

225）

椭圆柱面：1222

2=+byax双曲柱面：122

22=-b

yax

6）

抛物柱面：

ayx=2（二）平面及其方程1、

点法式方程：

0)()()(000=-+-+-zzCyyBxxA

法向量：),,(CBAn=ρ

，过点),,(000zyx

2、

普通式方程：

0=+++DCzByAx

截距式方程：

1=++c

z

byax3、

两平面的夹角：),,(1111CBAn=ρ，),,(2222CBAn=ρ

，

22

22

22

21

21

2

1

2

12121cosC

BA

CBACCBBAA++?++++=

θ

?∏⊥∏210212121=++CCBBAA；?∏∏21//

2

1

2121CCBBAA==

4、

点

),,(0000zyxP到平面0=+++DCzByAx的距离：

2

2

2

000C

BAD

CzByAxd+++++=

（三）空间直线及其方程

1、

普通式方程：?????=+++=+++0

22221111DzCyBxADzCyBxA

2、

对称式（点向式）方程：

p

zznyymxx0

00-=-=-

方向向量：),,(pnms=ρ

，过点),,(000zyx3、

两直线的夹角：),,(1111

pnms=ρ

，),,(2222pnms=ρ

，

22

22

22

21

21

21

212121cosp

nmpnmppnnmm++?++++=

?

?⊥21LL0212121=++ppnnmm；?21//LL

2

1

2121ppnnmm==

4、

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

2

2

2

2

2

2

sinp

nmCBACp

BnAm++?++++=

?

?∏//L0=++CpBnAm；?∏⊥Lp

Cn

Bm

A==

第九章多元函数微分法及其应用1、延续：

),(),(lim

00)

,(),(00yxfyxfyxyx=→

2、

偏导数：

x

yxfyxxfyxfxx?-?+=→?),(),(lim

),(00000

00；yyxfyyxfyxfyy?-?+=→?)

,(),(lim),(0000000

3、

方向导数：

βαcoscosy

f

xflf??+??=??其中

β

α,为

l

的方向角。

4、

梯度：),(yxfz=，则jyxfiyxfyxgradfyxρ

ρ),(),(),(000000+=。

5、

全微分：设

),(yxfz=，则dddzzzxyxy

??=

+??（一）性质1、

函数可微，偏导延续，偏导存在，函数延续等概念之间的关系：

2、微分法

1）复合函数求导：链式法则

若

(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy===，则

zzuzvxuxvx?????=?+??????，zzuzvyuyvy

?????=?+??????（二）应用

1）

求函数),(yxfz=的极值解方程组?????==0

yxff求出全部驻点，对于每一个驻点),(00yx，令

),(00yxfAxx=，),(00yxfBxy=，),(00yxfCyy=，

①若02>-BAC，0>A，函数有微小值，若02>-BAC，0③若

02=-BAC，不定。

2、几何应用

1）

曲线的切线与法平面

曲线????

???===Γ)

()()

(:tzztyytxx，则Γ上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的

切线方程为：

)

()()(00

0000tzzztyyytxxx'-='-='-

法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'zztzyytyxxtx

2）

曲面的切平面与法线

充分条件

曲面

0),,(:=∑zyxF，则∑上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：

0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：

)

,,(),,(),,(0000

00000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx-=-=-

第十章重积分

（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积

1、定义：

∑??=→?=n

kkkk

D

fyxf1

),(limd),(σηξσλ

2、计算：1）

直角坐标

?

??

???≤≤≤≤=bxaxyxyxD)()(),(21??，

21()

()

(,)ddd(,)db

xa

xD

fxyxyxfxyyφφ=???

?

?

??

???≤≤≤≤=dycyxyyxD)()(),(21φφ，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx??=????

2）

极坐标

?

??

???≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D，

21()

(

)

(,)dd(cos,sin)dD

fxyxydfβ

ρθαρθ

θρθρθρρ=????

（二）三重积分

1、定义：∑???

=→Ω

?=n

kk

kkk

vfvzyxf1

),,(lim

d),,(ζηξ

λ

2、计算：

1）

直角坐标

???

???

=Ω

D

yxzyxzzzyxfyxvzyxf),()

,(21d),,(ddd),,(“先一后二”

??

????

=Ω

Z

Db

a

yxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(“先二后一”

2）

柱面坐标

????

???===z

zyxθρθ

ρsincos，

(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzzρθρθρρθΩ

Ω

=???

???

3）

球面坐标

????

???===?

θ?θ?cossinsincossinrzryrx

2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrrφθφθφφφθ

Ω

Ω

=???

???

（三）应用曲面

DyxyxfzS∈=),(,),(:的面积：

yxy

zxzAD

dd)()(

12

2??

??+??+=

第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分

1、定义：0

1

(,)dlim(,)n

iiiL

ifxysfsλξη→==??∑?

2、

计算：

设

),(yxf在曲线弧L上有定义且延续，L的参数方程为)(),

(),

(βαψ?≤≤????

?==ttytx，其中)(),(ttψ?在],[βα上具有一阶延续导数，且

0)()(22≠'+'ttψ?，则

(,)d[(),(,()L

fxysftttβ

α

φψαβ=时，nnkvu≤，而∑∞=1

nn

v

收敛，则

∑∞

=1

nn

u

收

敛；若存在正整数

m，当mn>时，nnkvu≥，而∑∞=1

nnv发散，则∑∞

=1

nnu发散.

5）

比较法的极限形式：∑∞

=1

nnu，∑∞

=1

nnv为正项级数，若)0(lim+∞∞→n

n

nvu或+∞=∞→nnnvulim，而∑∞=1nnv发散，则

∑∞

=1

nn

u

发散.

6）

比值法：∑∞

=1nnu为正项级数，设luun

nn=+∞→1

lim，则当1l时，级数∑∞

=1

nnu发散；当1

=l时，级数

∑∞

=1

nn

u

可能收敛也可能发散.

7）

根值法：∑∞=1

nnu为正项级数，设lunnn=∞

→lim，则当1l时，级数∑∞

=1

nnu发散；当1

=l时，级数

∑∞

=1

nn

u

可能收敛也可能发散.

8）

极限审敛法：∑∞

=1

nnu为正项级数，若0lim>?∞→nnun或+∞=?∞

→nnunlim，则级数∑∞

=1

nnu发散；若存在1>p，使得

)0(lim+∞∑

∞=1p111发散，收敛，pnnp（二）函数项级数1、

定义：函数项级数

∑∞

=1

)(nn

xu

，收敛域，收敛半径，和函数；

2、幂级数：

∑∞

=0

nn

nx

a

3、

收敛半径的求法：ρ=+∞→n

nnaa1lim

，则收敛半径???

?

?????=∞++∞=+∞<<=0,,00,1

ρρρρR4、泰勒级数

nnnxxnxfxf)

(!

)()(00

0)(-=∑

∞

=?0)(!)1()(lim)(lim10)1(=-+=++∞→∞→nnnnnxxnfxRξ绽开步骤：（直接绽开法）1）求出Λ

,3,2,1),()(=nxfn；2）

求出

Λ

,2,1,0),(0)(=nxfn；

3）写出

nnnxxnxf)(!

)

(00

0)(-∑

∞

=；4）

验证0)(!

)1()(lim)(lim10)1(=-+=++∞→∞→nnnnnxxnfxRξ是否成立。

间接绽开法：（利用已知函数的绽开式）1）),(,!

10+∞-∞∈=

∑∞

=xxnenn

x；2）),(,!

)12(1

)1(sin0

121

+∞-∞∈+-=∑∞

=++xxnx

nnn；

3）),(,)!

2(1)1(cos0

21

+∞-∞∈-=∑∞

=+xxnx

nn

n；4）

)1,1(,11

-∈=-∑∞

=xxxnn；5）)1,1(,)1(110

-∈-=+∑∞

=xxxnnn6）]1,1(,1)1()1ln(0

1

-∈+-=+∑∞

=+xxnxnnn

7）

)1,1(,)1(11

22

-∈-=+∑∞

=xxxnnn8）)1,1(,!)1()1(1)1(1

-∈+--+=+∑

∞

=xxnnmmmxnn

m

Λ

5、傅里叶级数1）

定义：

正