2022-2023学年天津市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知直线＜v=x-2,£丫=质,若〃〃2,则实数火=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】两直线平行，则斜率相等求解.

【详解】已知直线＜丫=丫-2,工丫=履，

因为“〃2,

所以*=1

故选：D

【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.

2.若圆x2+/_2x+4y+m=0截直线x+y—3=0所得弦长为2,则实数，”的值为（）

A.-1B.-2C.-4D.-31

【答案】C

［分析】先将圆的方程转化为标准方程形式，可得圆心为°'一2）,半径为r='而3＜5）,再求出圆

心到直线距离，根据弦长为2万"=2，即可求得m.

【详解】由题，由圆的一般方程x2+/-2x+4y+优=0可得圆的标准方程为（x-l）-+（y+2）-=5-m,

则圆心为（.2）,半径为"环（'"5）,

所以圆心到直线距离为

则弦长为2-彳=2,即5-机-8=1,所以机=-4,

故选:C

【点睛】本题考查利用弦长求参数，考查点到直线距离公式的应用，考查圆的一般方程与标准方程的

转化.

3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的

太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.己知大衍数列｛qJ满足《=°,

_+"+为奇数

a"''+为偶数,则4+%=（）

A.12B.20C.28D.30

【答案】B

【分析】根据递推关系求得々，的，。4M5,进而可得答案.

【详解】由已知得

〃2=。1+1+1=2

〃3=〃2+2=4

〃4=。3+3+1=8

〃5=。4+4=12

+G=8+12=20

故选：B.

4.与椭圆9/+4V=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（）

2

B.”句x~21IT

。7一+y=1

A.43C.6-D.85

【答案】B

【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出。的值，由已知条件可得出人的值，由此可得出。的值,

进而可得出所求椭圆的标准方程.

二+仁-1

［详解】椭圆9-+4产=36可化为标准方程Z+0-

」的焦点在y轴上，焦点坐标为士”）

可知椭圆49

2工2

故可设所求椭圆方程为7+记一乂则。=石

+x2=1

又2b=2,即6=1,所以/=/>2+°2=6,故所求椭圆的标准方程为6

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析楠圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.

22

rxy

5.已知耳、B分别为双曲线b2-的左、右焦点，点M在E上，

阳用:EM：阳M=2:3:4,则双曲线E的渐近线方程为（）

_，1_.V3

A.y=±2xB.'-"2AC.y=±6xD.1-亍

【答案】C

【解析】由阳引：l尸2即：阳M=2：3:4,可得忻q=2C,|玛〃|=3C,国M=4C,根据双曲线的

定义求得c=2。，进而得到6=技，即可求得双曲线的渐近线方程.

£.工-仁=]

【详解】由题意，片、鸟分别为双曲线后一的左、右焦点，点”在E上，

且满足怩闾:由⑷:阳M=2：3：4,可得|伍|=&,内叫=3%阳M=4C,

由双曲线的定义可知2"向"H用图=4C-3C=C,即c=2a,

又由6="2-‘=6”,所以双曲线的渐近线方程为y=±6\

故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率（或范围），常见

_c

有两种方法：①求出”，c,代入公式，一）；②只需要根据一个条件得到关于凡“。的齐次式，转

化为“，c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值（范围）.

6.已知等差数列｛"J,S,是其前〃项和，若儿=%=10,则（）

A.%=2B.%=-2c.$5=18口.$5=一20

【答案】D

【分析】设数列｛“"｝的公差为d,由等差数列的通项公式和前〃项和公式列关于％和"的方程，解

方程求出%和d,再计算的和Ss即可得正确选项.

【详解】设数列何｝的公差为",

10q+^^d=10

a]=-8

由题意可得卜+9"=1°

d=2

，解得

所以“5=4+4d=-8+4x2=°

5x4

S5=5a1+^-J=5x(-8)+I0x2=-20

故选项D正确,

故选：D.

邑二

7.设S，，是等比数列."｝的前〃项和，若$3=4,%+牝+4=6,则"（）

319519

A.2B.10C.3D.6

【答案】B

【分析】设等比数列｛“"｝的公比为力求得/的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列｛"/的公比为"，若q=1,则见+%+6=3%=$3,矛盾.

%(lp)a,q(1-<7)3

%+%+&=—1-------=■―.-------'qS3q=~

所以，力1故"qi-q，则2,

所以，"q2

\-q'/\-q4,

员二些219

因此，$645s310

故选：B.

8.已知等差数列｛""｝的前〃项和为S",几＜0,儿＞0,则当S取得最小值时，〃的值为（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】利用等差数列的前〃项和公式可知%即从而可确定当S取最小

值时n的值.

13x2£

13（a,+a,3）=L=10

【详解】因为22,故％＜0.

_14）+〃）_143+/）Q＞0

同理与一2-2-7（…）＞。，故…

所以例＞0,%＜0,即当”=7时，S"取得最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前〃项和的应用，属于基础题.

9.已知抛物线C：/=8）的焦点为尸，°为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物

线C上，且1小=4,则上川+12。1的最小值为（）

A.40B.2万C.3713D.4m

【答案】B

【分析】求出A点坐标，作。关于准线的对称点必，利用连点之间相对最短得出为

|P*+|PO|的最小值.

【详解】解：抛物线的准线方程为卜=一2,

•/"尸=4,；.A到准线的距离为4,故A点纵坐标为2,

把>=2代入抛物线方程可得x=±4.

不妨设A在第一象限，则"（4,2）,

点。关于准线卜=-2的对称点为加（°，Y）,连接,

则|POHPM\t于是|+|PO|=|PA\+\PM\>\AM|

故|尸川+1PO|的最小值为1=+6°=2A/13.

【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题.

«=1（4>0/>0）

10.已知F是双曲线C：a-6的右焦点，过点F的直线/与双曲线。的一条渐近

线垂直，垂足为4且直线/与双曲线C的左支交于点8,若3尸4=|/明，则双曲线。的离心率为

（）

554

A.2B.3C.4D.3

【答案】B

【分析】设C的左焦点为6,连接过片作片。,用于。，根据已知及双曲线性质有耳。为线

段房的中垂线，结合双曲线定义及a/，。关系得到“，c关系，即可得离心率.

设C的左焦点为耳，连接耳8,过耳作与于。,

易知RDHOA,所以。/为△。/尸的中位线，

又图中双曲线的渐近线方程为云一q=°

则E=b,••-M=3M=36,阿卜2b,

则。为线段FB的中点,所以△明尸为等腰三角形,即阙|=|甲1=2c

又|尸8|=46,|耳8|=46-2a=2c

即c+〃=2b,

:.c+a=2\Jc2-a2,

c_5

得。3.

故选：B.

二、填空题

II.圆C的圆心为⑵T）,且圆C与直线3x-4y-5=°相切，则圆C的方程为.

【答案】（x-2）2+3+1）2=]

【分析】先求圆心到直线/：3x-4y-5=°的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方

程.

【详解】圆°的圆心为（2,7）,与直线/：3x-4y-5=0相切，

|3x2-4x(-l)-5|

r=d==1

业+（不

圆心到直线的距离等于半径，即

二圆C的方程为（X-2）2+3+1）2=1.

故答案为:（*-2）2+3+1）2=1.

【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题.

12.若抛物线）；='内的准线与直线x=l间的距离为3,则抛物线的方程为.

【答案］/=-16x或/=8x

【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.

m

2X----

【详解】抛物线y=机、的准线为4,

_3-1=3

则4,解得"?=T6或m=8,

故抛物线的方程为V=76x或/=8x

故答案为：/=-16x或/=8x

a7a19

13.等比数列"J中，处,如是方程/+15+5=0的两根，贝ij%的值为.

【答案】一石

【分析】由韦达定理可得为%=5,%+%=-"，易知牝，&i<°,再由等比数列的性质有

%%9=嫉=。5殉，结合等比数列通项公式判断%的符号，进而求目标式的值.

【详解】由题设知：牝%=5吗+%=-11,又包｝为等比数列，

<0,且。7a"=5,而％3=%夕*<0,

：.《3=一亚，故q-x/5

故答案为：.亚

226

C:j+%=l（a>b>0）—

14.已知椭圆a〃的离心率为2,直线/与椭圆C交于4,B两点,且线段

力8的中点为“（-2,1）,则直线/的斜率为；

【答案】5

【分析】由椭圆离心率和出瓦C关系可得"力关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可

得所求值.

e，=口=@

【详解】由题意可得。N/2,整理可得"=2b,

设4（玉,凹）,8&,为），

匕2£=1迂+迂=1

2

则/b下b2,

（♦-%）（为+xJ।（X-乂）（乂+%）.0

两式相减可得/b2

•.•AB的中点为M（-2J）,:-x\+Z=~4,必+%=2,

k=2^=_£.A1^」X(_2)」

则直线斜率不一/a'“+%42

故答案为：2.

15.已知各项为正数的数列｛"”｝的前"项和为S”，且4=1,S,=S^+(〃N2,weN),则

数列｛“"｝的通项公式为.

【答案】。,=2〃-1

【分析】先由题干求出眄｝是以1为首项，公差为1的等差数列，并且求得S“=〃2,进而写出数列

."｝的通项公式.

【详解】解：

当"22时，由S'=QS"-i+M),可得7^7=JS”T+M,

即叵一=1

•••梃｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

,y[S^=1+(〃-1)x1=〃

S”=

.•.当〃22时，a-,=/i2-(M-l)2=2n-l

当〃=1时，上式成立.

故数列｛""｝的通项公式为为=2〃-1.

故答案为：4=2〃-1

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力,

属于中档题.

S-5-S<一

16.已知等差数列中，%=9,%=17,记数列的前"项和为S”,若2向”-10对任

意的“eN•都成立，则实数机的取值范围为.

'28)

——,+。

【答案】L9)

【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列｛“"｝的通项公式，令b.=SS”,通过计算

晨的正负确定也｝的单调性，进而求出｛4｝的最大项，则可求出实数m的取值范围.

【详解】设等差数列也｝的公差为4,

fa3=«1+2J=9=1

则1%=%+4d=17,解得,/=4,

则等差数列也｝的通项公式为=4”3,

M1=1

则数列1a">的通项公式为&4"-3,

令"=$2"+|-5,,

2+1-2=($2”+3-S,,+|)一($2“+]-S")=+—------

则a2n+3a2n+2"〃+1

111-40/7-31八

=------1------------=­；-----r-7----------r<0

8〃+98〃+54/7+1(8〃+9)(8〃+5)(4〃+1)

即％<4,即也｝为递减数列，

=身14

包｝的最大项为145

m1428

—>—m>9一

1045,

-

28

9一

故答案为:一

三、解答题

17.若数列｛"J的前〃项和为色，且2S“=3a"々GeN),等差数列｛4｝满足4=3%,a=%+4

⑴求数列也｝的通项公式：

c=h_

⑵设“3。，，求数列匕｝的前〃项和T”

【答案】(1尸"=3"，4=2〃+1

7；=2--

⑵3”

【分析】（1）利用""=S"-S"T得到数列｛例｝是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列｛%｝,

再代入数列也｝满足的等式可得也｝的通项公式；

（2）利用错位相减法可求和.

【详解】⑴2s）

又2S»T=3a,i-l（〃22）,

两式相减得羽=3%-3勺一，

a

，,,3

即4-，故数列｛""｝是以3为公比的等比数列，

又当〃=1时,2S]=2a]=3a]-1得I*

.,y=3"T

b[=3q=34=〃2+4=3+4=7

9J=2

,等差数列也｝的公差为3-1~2~,

bn=2/74-1

_2〃+1

(2)由⑴可得C"3",

.3572«-12"+1

•u=§+*+尹+…+亍二+丫，

1„3572"-12”+1

二/=三+?+下+-+丁+*pr

2T32222n+l1c2〃+142〃+4

—/=---1—+…+-------=-+2x

3n332333”3fl+,

上两式相减得

〃+2

=2-

2丘）。且…,e（〃协）

18.已知数列也｝,满足％=4=1

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式;

⑵记"心「廉一）（〃'刈求证：…

+1

【答案】（I）"2,b"=n'y，'

⑵证明见解析.

【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；

_2f11）1

（2）利用裂项相消得到,'+，2+6++,"3U3'i—J,即可证明J+J+G+…+C"<§

加=3卜+斗a攀=%丁

【详解】（1）根据I〃）可得”〃，

b"—xZ>,

所以“如b"-2瓦

=n-3"-',

当”=1时，4=1X3"=1,成立，所以“=〃.3",

。向-。“=3"’

所以%=(%-«„-1)+(«»-1-%-2)+…+(见-4)+4

=3"2+3"T+…+3°+1

-----+1

3-1

3n~'+l

2.

3°+1,3n-1+1

a.=----=1a=--------

当”=1时,2，成立，所以n2

（2）由（1）可得

2<11111

所以。+&+G+…77r二+二一二+…+目

=2?__B+!1_)

3{23-1J；

111211

因为23〃”一12,所以।23〃323.

19.已知椭圆C：+b-的左、右焦点分别为耳，F1,离心率为5,点/在椭圆。

上，|力用=2,/耳"鸟=60。，过鸟与坐标轴不垂直的直线/与椭圆。交于尸，。两点，N为线段

尸0的中点.

（1）求椭圆C的方程：

0,-|

⑵已知点18人且求直线/的方程.

【答案】（1）43

（2）3%—2y-3=0x——1=0

【分析】⑴根据椭圆的几何性质和条件列方程求出。，b,c；

（2）设直线/的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N的坐标，再利用,求出

直线/的斜率.

【详解】⑴］用+1/周=2°,.•.同|=2"2,忸g|=2c,在△4常中,

阳用2=|四『+|第八2|尚卜|典|cosq盟,

_c_\

即4c2=22+（2a-2）2-2x2x（2a-2）cos60C=~a=~2

解得.a?-4Q+4=0,/.a=2c==V3

由题意设/的方程为：，=T）（"*°）,P（"），O（X2，%）,

'22

+=1

<JT（1k2）,2k2k2

联立方程|…卜一），得I43J33,

2k2

—+一

43,

13k

+2

_8374Fr4k+24k+3

（4k2-3k

MN4k232k2

13+4〃，3+4公v------7

3+4公,

_14k2+24k+3_1

•■-MN1PQ,：小二,即工一="7，

化筒得「（”3）（21"。「叫”齐丹,

直线/的方程为标_2夕-3=0或者x-2y-l=0.

x2V

--+..-1

综上，椭圆C的方程为：43，直线/的方程为3x-2y-3=°或者x-2y-l=0.

20.已知数列｛%｝中，％=1,%=2,%+2-4=4（〃€><）,数列初,｝的前〃项和为，

（1）求数列｛“"｝的通项公式；

1

bn-

⑵若"52„+5〃，求数次j达，｝的前〃项和9；

c1女鼠<8一崇

（3）在（2）的条件下，设“‘她+2

求证:k=\乙

为奇数

2〃-2/为偶数

【答案】（1）

n

⑵4（〃+1）

（3）证明见解析

【分析】（1）根据条件可得数列"J的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列｛""｝的通项公

式；

（2）先分组求和求得$2"，再利用裂项相消法求得1；