2022-2023学年江苏省苏州市高二年级上册学期期末学业质量阳光指标调研数学试题含答案

2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末学业质量阳光指标调研

数学试题

一、单选题

1.记正项数列S'的前”项和为S，，且｛EJ是等比数列，且%=2,则%=（）

]_

A.16B.4C.8D.8

【答案】C

【分析】根据等比中项的性质可得出关于牝的方程，结合可求得的值，可求得数列｛$"｝的

通项公式，进而可得出牝=$5一邑的值.

【详解】由等比数列的性质，E=l,S2=%+1,S3=3+a2>

由题意可得即3+%="；+2见+1,即靖+"2-2=°,

S,_

（）q="―~=2

”>0,解得%=1,则$2=2,数列｛SJ的公比为S\

所以，S“=S「尸=2”,因此，-£7=244=8.

故选：C.

2.直线、一退了+4=°的倾斜角是（）

兀兀2兀

A.HB.6C.3D.兀

【答案】B

【分析】由直线方程确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得.

=立速

【详解】解：直线“一6夕+4=°的方程可化为，一7'+亍，可知倾斜角0,e他兀）），满足

故选：B.

3.设数列"J各项非零，且平面a的法向量为"=3，一々，0）,直线/的方向向量为机=（4，%吗）,

则”数列｛《，｝为等比数列，，是“平面a平行于直线/，，的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别从充分性和必要性进行说明即可判断.

【详解】若已知数列｛“"｝为等比数列，则03a6=%%,因此有色4一出％=°成立，所以可知而,人

但无法得知/是否在平面a内，因此充分性不成立；

若已知平面a平行于直线"则可知前,人根据定义，及《产°即可得到43%-%%=°,即

2=生

%“6,但不能认为｛""｝为等比数列，即必要性不一定成立.

所以“数列｛“”｝为等比数列，，是“平面a平行于直线/”的既不充分也不必要条件,

故选：D.

2y2

4.记椭x圆/十第-乂">'>°）的左焦点和右焦点分别为耳玛，右顶点为A,过片且倾斜角为

的方向向量”=心厂3）,则椭圆

3。的直线/上有一点8,且8在x轴上的投影为死.连接N8,

的离心率为（）

1<12V6

A.2B.2c.5D.3

【答案】C

【分析】根据直线的方向向量，分析出片的值，证明出484=90",最后借助忸闾的两种表

达方式列方程求解.

【详解】由于''-3）,根据直线方向向量的性质可得，直线力8的斜率为逐，即倾斜

角为120。，于是4/片=60。，即故闺研tan30。=忸用用，tan60’,由此得到

华=6(a-c)e-£-l

力,3a-3c=2c,3a=5c,所以离心率a5

故选：C

5.如图，正方形“圈CQ的边长为14cm,4,B"g,打依次将&牝B£,G2,24分为

3：4的两部分，得到正方形4鸟&乌，依照相同的规律，得到正方形483G2、44a2....

4B“c,Q”.一只蚂蚁从4出发，沿着路径444…4爬行，设其爬行的长度为x,K为正整数，且

X与K恒满足不等式X4K,则K的最小值是（）

【答案】c

5

【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列以6为首项，'为公比的等比数列，求和

分析即可.

A.A.,=—x]4=6cmA,A,=—x5/62+82=—

【详解】由题意可知，7,一77.

44=7

所以44

4/一=5

因此由数学归纳的思想可知，4-47.

5

设数列{44/},则该数列以6为首项，5为公比的等比数歹IJ,

所以"卜咤r,

士步(5丫

X—-Z1ZIX1--I</1

因此IF)

故选：C.

y_

6.已知数歹且q=2,记其前〃项和为S”.若是公差为万的等差数列，则Boo=()

A.200B.20200C.10500D.10100

【答案】D

1_〃+1

_cS=----CL

【分析】根据是公差为2的等差数列，求出其通项公式，进而可求2利用""与

S”的关系即可求出“"的通项公式，再用等差数列求和公式即可求解.

A县=1

【详解】容易得到1%的首项《

2=1+11)=四s=j

因此％22,所以"2",

S="+2.

将〃替换为〃+1,则有向2

两式相减得("+%"=""向.由于"0，〃+1*0,

%=am1=2

所以««+I1,

_〃(％+%)

cO,,----------一〃十〃

可得4=2〃，因此2,

所以Soo=10000+100=10100

故选:D.

7.如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱OQ的轴线在

2yz平面内且平行于x轴，圆锥与圆柱的高相同.48为圆锥底面圆的直径，AB=2,且2/8=°S.

若a到圆。所在平面距离为2.若/o,？。?，则sa与$°2夹角的余弦值为()

【答案】C

【分析】根据所建空间直角坐标系，由求出Q，Q的坐标，得到S«,S°2,002的长度,

利用余弦定理求sq与so?夹角的余弦值.

【详解】如图2所示的空间直角坐标系中，

设0G,0,2),a(加一4,0,2)4(0,-1,0),8(0,1,0),所以福=Q,1,2),9=(*4,-1,2),

由40]_LBO2,所以I%?—4加—1+4=—4〃?+3=0

所以叫=1,吗=3,由对称性这里取"?=1,则。0，°，2）,Q（-3,0,2）,又S（0,0,4）,

所以S«=石，S0『岳,OQi

/cs_5+13-16_V65

cos/O'SO2=-----<——=------

因此由余弦定理，2,6565

故选：C

8.在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面。上水平放置着一个半径为0.5m的正圆°,

其圆心C与絮语同学所站位置A距离2m.若絮语同学的视平面兀‘平面a,"Cl平面兀，，且

/Cc平面兀于点。，=则絮语同学视平面上的图形的离心率为（）

5VTTVn3

A.6B.5C.6D.5

【答案】D

【分析】作出图形，结合题中数据和三角形相似即可求解.

【详解】画出题中所述图：

可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即2a

-B-D-=-C--D--B-'-D=-D--D-'

通过相似关系，由AA，C'A及AA'D'A,代入数据:

8。=1.5）<1.5=0.98，。=21^=0.5

c2=a2-b2=-——=0.09—e=—x2=-

所以288'=26=0.8,贝42510,所以105

故选：D.

二、多选题

9.已知直线4："+、-2&+3=0,/2：X-@+3A-4=0,设两直线分别过定点48,直线4和直线

A的交点为尸，则下列结论正确的是（）

A.直线4过定点,（2厂3）,直线12过定点8（4,3）B.PA-PB=0

c.面积的最大值为5D,若C（T°）,0（1，°）,则P恒满足归行俨C|

【答案】AB

【分析】直线恒过定点参数上前面的系数为°判断选项A,由两直线垂直判断交点在以48为直径

的圆上，判断选项B,由面积最大值求选项C,点P满足方程（、-3）2+「=1°,再由题设得

f+6x+l+/=o,判断选项D.

【详解】对于A,♦可化作於―2）+N+3=0,可发现过定点4（2,-3）,同理，人过定点8（4,3）,

A正确；

对于B,•••后一无=°,可得4恒成立，因此P是以为直径的圆上的点，根据定义，

苏.丽=0,B正确；

I尸力『+|尸川阿二140

2AzM82<2-2'T

对于C,2

当且仅当归旬=归却时等号成立，故c错误;

对于D,由题可知尸在圆6一3）一+丁=10上运动，设“（XJ）,若颐|=&网,

则（1）+J'~=2[G+1）+J]，化简可得/+6川+/=0,与P的方程不符合，故D错误.

故选：AB.

10.设平面直角坐标系中，双曲线,3T一的左焦点为6,且与抛物线C：/=8x有公共的焦

点用.若尸是C上的一点，下列说法正确的是（〉

A.「和C不存在交点

B.若尸（2”则直线开与C相切

C.若△E9是等腰三角形，尸的坐标是（4*）

D.若"PK=9。。,则P的横坐标为-4+2石

【答案】BD

【分析】利用双曲线和抛物线的性质，对选项逐个验证.

【详解】对于A,联立：lh=8x，消去y得Y_24X-3=0,由X>5解得X=12+7«,

双曲线与抛物线有交点，A错误;

y2=8x

对于B,由P（2,4）,耳（-2,0）,则直线片尸的方程为V=x+2,与抛物线方程联立L=x+2,消去

x得V-8y+16=0,判别式△=（）,则直线卡与抛物线C相切，B正确；

对于C,04）不在抛物线上，故C错误；

对于D,尸是抛物线C上的一点，设P―力）,则有一=除,4（-2,0）,名（2,0）,

若乙三尸耳=90。，有|P用2+归图2=山段2,因此（x.+2y+yj+（x厂2）2+4=42,即

防-4=0,解得以=-4+2后，D正确.

故选：BD

11.Farey数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用.Farey数列是把中的分母不大

0

于〃的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上T,在最后一个分数之

]_

后加上该数列称为〃阶Farey数列，记为｛入｝,并记其所有项之和为'，.Farey数列还有一个神

ac

奇的性质.若设｛£｝的相邻两项分别为石，牙，则加一4=1.下列关于Farey数列说法正确的是

（）

A.F"=〃B.数列｛工｝中共有18项

।ac

C.当“22g寸，但｝的最中间一项一定是5D.若优｝中的相邻三项分别为了，N,f,则

c_a+e

~d='bTf

【答案】CD

【分析】举特例即可说明A项错误；根据定义，列举即可判断B项；根据Farey数列的定义，可得

数列中元素的特征，进而即可判断C项；由题意可得命-〃=1,de-cf=\t整理即可判断D项.

（p\JL-F-,=—=A2

【详解】对于A,列举数列2,1,可知一2,A错误；

对于B,列举可得：

0111121231432s34561

6,5,4,7,3,5,7,5,7,5,3,7,4,5,6,7,1,共19项，B错

误；

对于C,由于Farey数列按照大小排列，且若在优｝中，则1-。一定也在优｝中，又当

〃22时，5在｛居｝中，所以｛工｝个数一定为奇数个.因此根据｛工｝的定义可得，中间一项一定为E,

C正确；

ca+e

—=----

对于D,由于儿-〃=1,de-qf=l,整理即可得到",D正确.

故选：CD.

12.《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的

“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标

系（原点。为该正方体的中心，x,y,z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，夕轴,

z轴旋转45°,得到的三个正方体〃=1,2,3（图4,5,6）结合在一起

便可得到一个高度对称的，，三立方体合体，，（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确

的是（）

图7

A.设点瓦，'的坐标为(x"/"，z“)，〃=i,2,3,则x：+»+z,：=3

B.设为C2n4员=%则第4

276

c.点4到平面82G层的距离为3

71

D.若G为线段层G上的动点，则直线4G与直线/圈所成角最小为7

【答案】ACD

【分析】正方体的顶点到中心°的距离不变，判断A,写出各点坐标，利用空间向量法求解判断

BCD.

【详解】正方体棱长为2,面对角线长为2万，

由题意”(1,一1,1),8(1,1/)，C(-l,l,l)>0(-1,-1,1),

旋转后4。，-拉，0),4(1,0,夜)，C,(-l,0,V2)>£),(-1-72,0),4(V2,-l,0)；鸟(及,1,0),

C2(0,l,V2)；D式0,-1,亚),4正，。，1),员(0,0,1),。3(-&，。，1),鼻(0,-3,1),

旋转过程中，正方体的顶点到中心。的距离不变，始终为劣，因此选项A中，〃=1,2,3,

怎+灯+z,=3正确；

83A3=(A/2,-%/2,0)设名后=2员4=(/尢-0彳,。)则

B[E=B2B3+B,E=(-j2,y/251+(V2/1,—V22,0)=(s[2A—\/2,—s/2/1.+\/2—1,1)

“=(-0,0,立)，

EwB?G,则存在实数加，使得"E=mB2c2,

(V2A_V2,->/2A+>/2_1,1)=(_>/2/w,0,

V2A-V2=-V2m

--V22+V2-l=0rr

"鬲彳=1一#B、E=胆As=Q-乌)x2=2

=(-72,0,72)(^=(0,l-V2,V2-l)(

设n=(x,y,z)是平面B2C2B｝的一个法向量，则

n-B2C2=->/2x+6z=0

万•&C2=(l-0)y+(a-l)z=O,令x=l,得％=(1,1,1),

又福=(-1,2啦,1),

卜./闯—卜1+2应+(_276

••.4到平面跖出的距离为H"3,C正确;

B2C2=(->/2,0,>/2)设B[G=kB[G=(-6k,0,五k)(04/41)

Afi=AX+丽=(0,2,0)+(~y/2k,0,y/2k)=(-而,2,6k)

丽=（0,及，及）

cos(4G，48)=4G•/£_2叵+2k5/2+k

丽丽广丽?77

2收+1

以k)=中kf'(k)=(1-岳)

令2〃2+],则2(1+〃)，1+上

72

0<k<—■.

2时，/W>°,/（%）递增，时,/w＜o,7w递减,

,V2〃八V2+172

/(^)max=/(等)=g又〃。）=三，川）=玄＞7,

所以施喏亭,

即cos（电词点号国画哼牙

7t71

4G,44夹角的最小值为％,从而直线4G与直线4屈所成角最小为％,D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐

标，例如绕x轴旋转时时，各点的横坐标（X）不变，只要考虑各点在坐标平面＞°z上的射影绕原

点旋转后的坐标即可得各点空间坐标.

三、填空题

13.已知“=&®2）,各=（〃22加），且力兀则加=

【答案】

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列出等式解出即可.

【详解】由"（LG'?）,%（〃22〃，），且力坂

则75=0,

所以》ixl+5x6+2x2m=0,

解得切=一百，

故答案为：-6

2

z（l,争—+^-=1八（X-1）+/=-3尸力|+|P0

14.若I2九且「在43上，0在圆'-4上，则।的最小值为

【答案】1

【分析】结合点与圆的位置关系可得#俨乖#旬”叫一5,证明归周等于点P到直线

-\PA\+\PQ\

x=4的距离的一半，利用平面几何结论求2i।的最小值.

占尸才|+|尸0|，向+|尸月|」八

【详解】如图，2112111/2,当且仅当。为线段也与圆的交点时等号成立:

设点尸的坐标为「（加'"），则彳+不一,-2<m<2,

|「马=—一2/n+4=g帆一4|

所以归国等于点P到直线x=4的距离的一半,

过点A作直线x=4的垂线，垂足记为G,过点尸作直线x=4的垂线，垂足记为//,

则刎+闸吗射+；1叫十/幽十用二=1

“一1

当且仅当点P为线段4G与椭圆43的交点时等号成立，此时点P的坐标为，所以

2的最小值为1,

15.已知圆。的直径4）上有两点B、C,且有MB卜忸C=|C〃=2,MN为圆。的一条弦，则

丽,丽的范围是.

'17-

—16,—

【答案】L2」

【分析】分析可知8c的中点为圆心°,利用平面向量数量积的运算性质可得

^CN=OMON-OBON+OBOM-\,计算可得

（OB+ON-OM\=\9-2（OMON-OBON+OBOM}…一-十科一」砺+丽-两i

<14利用二角不等式可求得।।的

取值范围，可得出丽•丽-丽•丽+历•丽的取值范围，进而可求得西•西的取值范围.

【详解】因为圆。的直径“。上有两点8、C,且有1,同=忸。=|8|=2,

则8c的中点为圆心°,故圆。的半径为3,

^-CN=^）M-0By^）N-0C^=（0M-0B^>）N+0B^

^OMON-OBON+0BOM-I,

…〈3z,,■•—―------------•——*■、

由于0+ON-OM)=OB.•2+OM2+0N'-2ON-OBON+OBOM)

=\9-2（（^ON-OBON+OBOM^

目便+而一两卜回网2°,当且仅当日两时，等号成立，

|O^+GW-OM|=|OB-W|<|OS|+|W|<7

当且仅当赤、两方向相同且"N为圆。的直径时，两个等号同时成立,

故|丽+丽一丽k[0,7]则19-2（^7.而一丽.而+历.两>[0,49]

------------------------'19'--------

OMON-OBON+OBOMe_15,—BMCNe

所以L2」，所以

-16,12

故答案为:2

四、双空题

16.若数列'J和数列也｝同时满足噌=1,瓦=0,4%=3%-4+4,4b„+l=3b,-a„-4f则

an=,6=

1111

\-n——-----〃+—

【答案】2"----22"-----2

【分析】将4a用=3%-4+4,4%=3”,-4相加，相减分别可得依一"｝为等差数列，

｛“，，+"｝为等比数列，即可求解.

［详解】因为4“用=3%-〃+4,4鼠=3"-4-4,

令前式-后式,化简可得4+「鼠尸％+2①,

令前式+后式，化简可得2"向+2W,②

由①，且4-4=1,故｛。"一"｝是首项为1,公差为2的等差数列.

可得%=1+2("T)=2"-1,

由②，且4+々=1,故｛""+"｝是首项为1,公比为3的等比数列.

L1

可得2

所以I222.

1111

vn——-----〃+—

故答案为：2-----2.2------2.

五、解答题

17.平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是

学习音乐的必修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性

质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱(和读谱)的方法

是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关

系，即1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(sol),6(la),7(ti),i(do).如图，在钢琴上,一

个八度内白键、黑键共有13个(不计入图中最右侧的半个黑键)，相邻琴键对应的音符频率比相等

且1的频率与i的频率比为2.

rA®"

（1）若两音x"与/的音程关系为一度，求两音的频率比：

（2）利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设1的频率为了,在1的基础上不断

升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于2/的音降一个八度，请你

利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符（无需一一对应）.

参考数据：

n123456789101112

n

2立1.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.892

【答案】（1）2%

（2）对应的音符为1,2,3,5,6

【分析】（1）根据题意即可求解；

2.闵/m3闵/0

（2）结合题意，先求出一组“五声调式"：f,2',z',（2）',将生成的

频率大于2/的音降一个八度，然后根据参考数据即可求解.

【详解】（1）由题可知，若两个音距离一个八度，则频率比为2,

I

所以若两个音的音程为一度，半个音（即相邻琴键）之间的频率比为2丘，

所以两个成一度之间的音符频率比为24.

（2）通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”：

z,支配凯取凯

将其中大于2/的降一个八度，即除以2"：f,2f,A，,Yf,>

根据参考数据可以估计得到，五个音分别为1,5,2,6,3.

因此“宫商角徵羽”对应的音符为1,2,3,5,6.

18.已知抛物线C：『=2px,记其焦点为F.设直线》=4到在直线》左侧的抛物线上的一点

（I）求C的方程；

（2）如图，过焦点尸作两条相互垂直的直线＜£且4的斜率恒大于0.若4分别交/:x=-l于A两点,

4交抛物线于C、D两点,证明：乙4。+//℃为定值.

【答案】⑴步=以

（2）证明见解析

【分析】（I）利用抛物线的定义以及准线方程即可求解；

（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和即可求解.

l'-x=-P

【详解】（1）设抛物线的准线的方程为2,

"+4=5。

则可知2,解得P=2,

所以C的方程为丁=以

（2）作C〃~L/于于/.

由抛物线定义，HC=FC,FD=DI,

又因为乙4/D=NMD=90。,/AHC=NAFC=90°,

所以△应AFC,AFDt

由此，ZIAD=ZFAD,NCAH=ZCAF,

所以24CAD+2ZFAD=180°,ACAD+Z.FAD=ACAD=90°,

所以/力。+44£＞。=180。一90。=90。，为定值

19.如图，三棱锥「一NBC中，PA=PB=后,且平面P48J.平面48C,AB=BC=2,设E为平

面尸8c的重心，尸为平面21c的重心.

（1）棱/8可能垂直于平面P8C吗？若可能，求二面角/-P8-C的正弦值，若不可能，说明理由;

（2）求EF与PC夹角正弦值的最大值.

【答案】（1）不可能，理由见解析

(2)1

【分析】（1）先作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面尸8c的

法向量”=6出仇-cos6,-2sin。），。€（0,兀），假设工8垂直于平面P5C,则有而〃3,得到方程组

J-cos^=0

1-2sin'=0,无解，所以假设不成立，”不可能垂直于平面尸8C；

（2）由重心性质表达出即一丁“一（胃°'°）,且定=（28s£T2sin4-2）,表达出

cosCEF,PC）=0efo,-夕ej',]

''j9-4cos。，分I3」与（3J两种情况，求出E尸与PC夹角余弦值的最小

值，得到£尸与尸C夹角正弦值最大值.

【详解】（1）设中点为°,连接尸。,由于P4=PB,因此「°_L/8,

又因为平面尸/8c平面8/1C,交线为P°u平面尸/金

所以尸01平面Z8C.

因为PA=PB=#,40=08=1,由勾股定理得：°尸=后斤=2,

则4(2,0,0),fi(0,0,0)P(l,0,2)

设ZCBA=0,有对称性可知"€(兀，2兀)和"e(仇兀)情况相同，

不妨设,4°冷,

贝ijC(2cos6,2sin6,0)

所以加二(2,0,0)=(1,0,2)5C=(2cos/9,2sin/9,0)

设平面尸8c的法向量为〃=G，％z),

BPH=(l,0,2)(x,^,z)=x+2z=0

<__

则有BC-n=(2cos6,2sin40)•(x,y,z)=2xcos8+2ysin6=0

所以取x=sin6,则^=-cose,z=-2sin。，贝产=(sin。,一cos。,一2sin6)

f-cos0=O

假设“B垂直于平面P8C,则有0〃3,则1-2sin°=0,无解，所以假设不成立，

不可能垂直于平面尸8C；

PE^^(PB+PC)=-PB+-PC即=1可+1定

(2)由重心的性质，32、733同理，33

EF=PF-PE=-E4+-PC--PB--PC=-PA--PB=-BA=\-,O,O\

所以333333313人

定=(2cos。一1,2sin3-1)则|定卜7(2cos(9-1)2+4sin26>+4=j9-4cos。

^,0,0j-(2cos。一1,2sin6,一2)

cos〈EF,尸(?)=EFPC

2

—xj9-4cos6

所以HR3

—cos夕——

332cos6—1

|xj9-4cos61V9-4cos0

要想求EF与PC夹角正弦值最大值，只需求出EF与PC夹角余弦值的最小值,

COS0€—,1。£0,一rc』PFpr\

当[2人即I3」时，此时即为后尸与PC夹角余弦值,

，/八、2cos0-1_91o

设/⑻令仞，则2cose=］于

Z_l?

/（'）=—=9T令-2J,仞，

/（，1）_/（，2）=工一」4--+—t-_（7+伍）（）-G）

""2r,2'2，

则2t22/也

因为他＞0-2-4

所以2）＞°,即/"J〉/I）,

又因为4＜G,所以/（"）在（"'*]上是减函数，

当"⑺时，/（'"[“=/g）=°,此时E尸与PC夹角正弦值的最大值为1,

当3可七〔产卜,兀）时，此时-cos（"F,尸。即为万尸与pc夹角余弦值,

设/⑻=j9-4cos。,令t=F时即后）,则2cos6=5F,

1Z2_7

为）=1令…「「eg,旧），

/（0-/02）=-^-—+—--^2=（7+能）（心＜）

则八〃2'2/,2f②2-2他，

因为%＞0,%-2＜。,

所以/O/6）＜。，即/（%）＜/6）,

又因为4＜如所以./（。在S，后）上是增函数，

故/（/）＞/（、万）=°,此时不存在最值，

综上，E尸与PC夹角正弦值的最大值为1.

20.在平面直角坐标系、伽中，存在两定点“（7'°）,N（L°）与一动点4己知直线M4与直线

Mi的斜率之积为3.

（I）求，的轨迹「；

（2）记「的左、右焦点分别为耳、用.过定点（°』）的直线’交「于「、。两点.若尸、。两点满足

回+至）@+配）=216,求/的方程.

X2?=1（"±1）

【答案】⑴

幽X+1-3+1

y=

⑵51或.51

【分析】（1）设,（X/）,表示出直线•与直线的斜率，由题可得力的轨迹「；

（2）设过定点（°」）的直线/方程为卜=丘+1,将其与“一行=|"'±"联立，后由

伟+尸6）@+）=216及韦达定理可得答案.

“、上•上=3i_亡=1

【详解】（1）设"5刀，由题意x+1x-l,化简可得3

x2—=1（XW±1）

所以4的轨迹为3’.

（2）由题设过定点（°」）的直线/方程为＞=丘+1，将其与“一?一1"*土"

y=kx+\

2

xg=U±l）,消去,得：（3_公『2…=0

联立有:

因/交「于尸、°两点，则

:工，今「中，肛（"。伊2）

2k

设尸（玉,乂），°（”2）,则由韦达定理有：*+“-3-公'中2-3"

又4（-2.0），g（20）,则两=（-2-玉，一切）,丽=（2-苦-必），

QF、=（-2-x2,-y2）,QF2=（2-3-%）,

则回+而）密+砒）=216=4a七+%%）=216

3—3左2

乂乃=（必+1）（生+1）=k&x2+&（西+々）+1=-7F

又DM

4+必%）=216=三去=54'=土，163

7T

1163.[163.

则/的方程为：-'51或.V51

21.完成下面两题

(1)如图，一个半径为。的圆在一条直线上无滑动地滚动，与x轴的切点为A,设圆上一点尸,

CA顺时针旋转到CP所转过的角为夕，

②在①的条件下，用题中所给字母表示而，并以〔y=y(")的形式写出「运动轨迹的方程；

(2)如图，设点。在空间直角坐标系内从"("’0’0)开始，以。的角速度绕着Z轴作圆周运动，

同时沿着平行于Z轴向上作线速度为b切的匀速直线运动,运动的时间为f,用题中所给字母表示Q的

运动轨迹的方程.

x=acoscot

<y=asincot

z=hcot

【分析】(1)①由弧长公式结合向量加法公式，表示向量就；@OP=OC+CP,再用基地表示

向量而，并结合①用基底表示而，即可求得参数方程；

(2)根据物理知识，用基底表示即可求得参数方程，并消参后求得普通方程.

【详解】(1)①反=刀+冠=-aOi+aj

②由题，OP=OC+CP,

—.CP=acos\--+0\i+asin\~—+0\j-

。户可以分解为V2)V2)=asin6i-acos

所以OP=a(-0+sin+a(1—cos9)j

x=〃(-e+sin。)

<

因此p的运动轨迹可以表示为U="i-c°se)

(2)设该坐标系的基底为g'"}.

设。在平面°中内的投影为火,

向量「逆时针旋转到向量方所转过的角为0t，卜。卜.

由题设，可以将O0记作。。=OR+R0=hcos3t+jasincot+kbcot

x=acos(ot

<y=asin切

因此类似(1)②中可以表示。的轨迹为卜=6切

记两焦点分别为E,6,且忻司=2月.

(1)求C的方程;

(2)设C上有三点Q、R、S,直线"、2s分别过6,玛，连接AS.

①若0(0,1),求△0RS的面积：

②证明：当AORS面积最大时，AOKS必定经过C的某个顶点.

X22,

—+/=1

【答案】(1)4-

646

（2）©-49-.②证明见解析

【分析】（1）由定义求得参数即可得方程：

（2）①求出直线0及、QS,分别联立椭圆方程求得R、S坐标，即可求得面积；

②设直线。火和直线QS的方程为x=〃"X=，沙+石，设。（X。,外），R&,必），S（w，%）,

A%

分别联立椭圆方程结合韦达定理得必，外,

SqQRS=幽・|QS|=-一乂.%一%

由疆照|。々1。周盟儿,结合号Gy：）,即可化简整理得

S.RS-/（歹0）-、]

‘°+48,最后证明/（/）=0）即可.

【详解】（1）可知2c=26，c=6所以/=62+°2=1+3=4＞，因此。=2.所以C的方程为

2

—X+V2=11

4*

=