2022-2023学年南京九年级下期数学期初测试

2022-2023学年南京求真中学九下期初测试

一.选择题（共6小题，每题4分，共24分）

1.在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是（）

4433

A.-B.-C.-D.-

5354

2.如图，在AABC中，ZC=90°,设N4,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,则下列

选项中正确的是（）

C.cosA=—D.tanA=—

ca

3.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与皮）相交于点O,

则MBO的面积与\CDO的面积的比为（）

C.1:4D.V2:4

4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标

为（0,3）,tanZABO=,则菱形的周长为（）

C.12>/3D.8石

5.如图，在AABC中，CD平分NACB,交AB于点D,过。作3c的平行线交AC于M,

若BC=3,AC=2,则£>M=()

A

D/\M

6

5

6.已知等边AA8C,点。、点E分别是边BC,AC上的动点，BD=CE,则图中相似的

三角形的对数是（）

BD

A.3对B.4对C.5对D.6对

二.填空题（共10小题，每题3分，共30分）

7.已知二=1,则①

34y-x

8.如图，。是AA8C的边8c上一点，AB=4,AD=2,NDAC=NB,如果AABZ）的面

积为15,那么A4CD的面积为一.

9.如图，△HB'C'是AABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，若△A'3'C'的

面积与AABC的面积比是4:9,则等于.

10.如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、5在同一条直线上，DE上AC,BCJ.AC,

垂足分别为E、C.若测得=DE=l.5m,CE=5m,则楼高3c为m.

II.在RtAABC中，ZC=90°,NA、ZB、NC的对边分别为a、b、c,且c=3a,贝UtanA

的值为—.

12.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么NB4C的正

弦值为一.

13.若ZA为锐角，化简yJsin2A-2sinA+l=.

14.在AABC中，ZC=90°,tanA=2,则sinA+cosA=.

15.如图，RtAAOB中，ZAOB=90°,顶点A,3分别在反比例函数y=1(x>0)与

X

y=—匚(x<0)的图象上，则N8AO的度数为.

16.如图，点A在半径为6的O内，。4=26,P为O上一动点，当NOPA取最大值

时，外的长等于

/L

三.解答题(共5小题，共46分)

17.(10分)已知a，b,c是AABC的三边，a,b,c满足等式/=(c+a)(c-a)，且56-4c=0，

求sinA+sinB的值.

18.(4+4+4=12分)如图，AABC的顶点坐标分别为B(2,3),C(3,0).

(1)画出AA8C绕点O逆时针旋转90。后得到的ADEF；

(2)以点O为位似中心，在第三象限内把AABC按相似比2:1放大(即所画APQR与AABC

的相似比为2:1).

(3)在(2)的条件下，若为AABC边上的任意一点，则APQR的边上与点M对应

NC=90。，AC=3,BC=4,NABC的平分线交

2DE,连接AE.

(1)求线段8的长;

(2)求AADE的面积.

20.(4+4+4=12分)如图，已知：AC是。。的直径，PA_LAC,连接OP,弦C3//OP,

直线P5交直线AC于O,BD=2PA.

（1）证明：直线总是Oo的切线；

（2）探究线段尸。与线段BC之间的数量关系，并加以证明;

（3）求sin/OE的值.

2022-2023学年南京求真中学九下期初测试

参考答案与试题解析

选择题（共6小题）

1.在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是（）

4433

A.-B.-C.-D.-

5354

【解答】解：ZC=90°,AB=5,BC=3,

・•.AC7AB2-BC?=5/52-32=4,

4BC3

..tanA==一,

AC4

故选：D.

2.如图，在AA8C中，ZC=90°,设N4,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,则下列

选项中正确的是（）

c4b

A.sinA=—B.a=csinBC.cosA=-0.tanA=—

ba

【解答】解：在RtAABC中，

A.sinA=—,故A错误；

c

B.a=csinA,故8错误；

C.cosA=—,故C正确；

c

D.tanA=—,故。错误；

b

故选：C.

3.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与8。相交于点O

则AABO的面积与tsCDO的面积的比为（

C.1:4D.72:4

【解答】解：设小方格的边长为1,

由图可知，ABHCD,

且A3=0,CD=20,

'''SMKOSUCDO=（A8:CD）-，

^AABO-S&CDO~（近-2后了=1：4,

故选：C.

4.如图，在平面直角坐标系中，菱形MCZ)的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标

为(0,3),tanZABO=y/3,则菱形ABC。的周长为()

A.6B.6下)C.1273D.8石

【解答】解：点A的坐标为(0,3),

AO=3,

tanZA8O=6,

募小

5s

BO=g,

AAO3是直角三角形，

AB=ylAO1+BO2=j32+(^)2=y/n=2y/3，

.菱形的四条边相等，

菱形ABCD的周长为26x4=86.

故选：D.

5.如图，在AA8C中，CD平分NACB,交于点。，过。作8C的平行线交AC于M,

若3C=3,AC=2,则0M=()

【解答】解：CD平分NAC8,

:.ZACD=ZDCB,

DM//CB,

：.ZMDC=ZDCB,

:.AMDC=ZACD,

:.MD=MC,

DM/IBC,

：.ZADM=ZB,ZAMD=ZACB,

:./SADM^^ABC，

.DM_AM

~BC~~\C"

DM2-DM

=,

3------2

:.DM=-,

5

故选：B.

6.已知等边AABC,点。、点E分别是边3C,AC上的动点,BD=CE,则图中相似的

三角形的对数是()

A

D.6对

【解答】解：A4BC是等边三角形，

:.AB=BC,ZAB£)=NC=60°,

又BD=CE,

^ABDsMCE(SAS),

/.AABZa&BCE且ZDBF=ZBAD,ZBDF=ZBEC,

又，ZBDF=ZADB,ZDBF=NEBC,

:.ABDFs^ADB,MiDFsgEC；

ZBAD=Z.CBE,ZBAC=ZABC,

:.ZABE=ZCAD,

又，AB=CA,ZBAE=ZC,

:.^ABE^\CAD{SAS),

MBE^ACAD且ZAEF=ZADC,

又ZEAF=ZDAC,

AAEF^/^ADC,

ZEAF^ZABE,ZAEF=ZBEA,

AAEF^ABEA,

综上所述，图中相似的三角形的对数是6对.

故选：D.

二.填空题(共10小题)

7.已知2=2,则上包=11.

34y-x

【解答】解：设'M

34

.\x=3k,y=44，

x+2y3Z+8Z1\k..

二.-------=--------=-----=11,

y-x4k-3kk

故答案为：11.

8.如图，。是AABC的边BC上一点，45=4,A£)=2,ZZMC=ZB,如果A4BD的面

积为15,那么AACD的面积为5.

【解答】解：[Ztt4c=N8,NC=NC,

.-.MCD^ABCA,

.Sgco_（A。）2_[

・二一罚"4

...-S-^-C-D—_—1

q3

.•.AAC£＞的面积=,xAAB。的面积=5,

3

故答案为：5.

9.如图，是AABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，若△A'3'C'的

面积与AABC的面积比是4:9,则。笈：O8等于_2:3_.

【解答】解：△A'8'U是M8C以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形,

△A'B'C'sAABC,B'C/ZBC,

△A'B'C的面积与MBC的面积比是4:9,

B'C2

---=—，

BC3

BCHBC,

,△OECSXOBC,

■.OB':OB=B'C:BC=2:3,

故答案为：2:3.

10.如图，利用标杆QE测量楼高，点A、。、B在同一条直线上，DE1AC,BCLAC,

垂足分别为E、C.若测得AE=lm,DE=].5m,CE=5m,则楼高8c为9m.

B

【解答】解：DE1.AC,BC1AC,

DEIIBC,

.-.AADE^AABC,

.AEDE

~AC~~BC"

1_1.5

1+5'

BC=9(m),

答：楼高BC是9m.

故答案为：9.

11.在RtAABC中，ZC=90°,NA、ZB、NC的对边分别为a、b、c,且c=3a,则tanA

的值为变.

-4-

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,c=3a,

b=\]c2—a2=yj(3a)2—a2=2亚a,

.aa\/2

tanA=-=—7=-=—,

b2y[2a4

故答案为：正.

4

12.如图，A、3、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么0C的正

弦值为—.

-2-

【解答】解：连接BC,如图,

CB=Vl2+22=>/5,AC=\112+22=y/5,AB=Vl2+32=V10,

/.CB2+CA2=AB2,

.•.AAC8为直角三角形，ZACB=90°,

BC后历

sinZ.BAC=而一看一彳

即N8AC的正弦值为名.

2

13.若ZA为锐角，化简ylsin2A-2sinA+l-_1-sinA

【解答】解：原式=J(sinA_I)2

=|sinA-l|,

NA为锐角,

/.0<sinA<1,

/.原式=1一sinA.

故答案为1—sinA.

3y

14.在AA8C中，ZC=90°,tan/4=2,则sin4+cosA=_---

.•.设=贝ijBC=2x,

AC=々+(2x)2=&

一人BCAB213V5

则有:sinA4-cosA=+=—+—j==-----

ACAC也加5

故答案为：遗.

5

15.如图，RtAAOB中，NAO8=90。，顶点A,3分别在反比例函数y=1(x>0)与

X

y=-^(x<0)的图象上，则N8AO的度数为_60。_.

X

【解答】解：过A作AC_Lx轴于点C,过3作8£>_1_犬轴于。，

则N8r>O=NACO=90。，

顶点A,8分别在反比例函数y=』(x>0)与y=-』(x<0)的图象上,

XX

,•口MiDO~-3，s^AAOC-_1,

408:90。，

/.NBOD+ZDBO=ZBOD+ZAOC=90°，

:.ZDBO=ZAOC,

ABDO^AOCA，

=3，

A

tanZBAO=—=>/3,

OA

/.ZBAO=60°,

故答案为：60°.

0A=2百，P为。上一动点，当NO/%取最大值

时，a的长等于_2#_.

如图:

OP

.•.当OH最大时，即OH=OA=2G时，NOR4最大,

此时PA=y/OP2-OA2="62一（2一4=2n,

2G为半径的圆（图中小圆。）,

当R4与小圆。相切时，NO%最大,

此时PA=ylOP2-OA2=J62-(2A/3)2=2A/6.

故答案为：2痴.

三.解答题(共5小题)

17.已知〃，b,c是AABC的三边，a，b»。满足等式从=(c+〃)(c-a),且5b—4c=0,

求sinA+sin3的值.

【解答】解：b2=(c+a)(c-a),

:.b2=c2-a2,

222

即：a+b=cf

AABC是以c为斜边的RtAABC，

h4

5Z?-4c=0,

c5

设。=4%,则c=5左，

.•.AABC中，a=3A,

.”.ab3k4k341

sinA+sm8n=—+—=—+—=—+—=—•

cc5k5k555

18.如图，A48C的顶点坐标分别为4(1,1),8(2,3),C(3,0).

(1)画出AABC绕点O逆时针旋转90°后得到的ADEF；

(2)以点O为位似中心，在第三象限内把AABC按相似比2:1放大(即所画APQR与AABC

的相似比为2:1).

(3)在(2)的条件下，若为AA8C边上的任意一点，则APQR的边上与点M对应

的点M'的坐标为_(-2兄-26)

【解答】解：(1)如图所示，ADEF即为所求;

(2)如图所示，APQR即为所求;

(3)由图可得，APQR的边上与点M对应的点的坐标为(-2凡-3),

故答案为：(—2a,—2b).

19.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,NABC的平分线交边AC于点。，

延长3。至点E,且BD=2DE,连接AE.

(1)求线段8的长；

(2)求AADE的面积.

【解答】解：（1）过点。作。”_LM,垂足为点H,

友）平分ZABC,NC=90。，

:.DH=DC=x,

则A