线性代数教学课件第六章

非零m·n型齐次线性方程组Ax=0 r=5-

m·n型齐次线性方程组Ax

r=r<r 2 5 1

x+5x=

2 0

x2

-3x3= 3 0 若A为m·n型矩阵并且r=m，则Ax=0只有零解。若A为m·n型矩阵并且mn，则Ax=0有非零解。 3

1

3

1

3

1 3x=3 3x=3

3x=3 0 2

1 2

0 0 1

1

1 3 3 3 2 2

0 rA,b>r)r,b)=r=

,<

唯一 无穷多m·nAxbA,b=m·nAxbA,b>m·nAxbA,b==m·nAxbA,b=<m·nAxbA,b=< Ax=0有非零解A,b==

Axb

um·nAxbA,b==A,b Ax=b有唯一 5-设Axb是m·n(1)Axb(2)Axb有唯一

A,b=A,b==r>r时，Axb无解r=r=nAxb有唯一解rA,b=rA<nAxb.若r>r，则用初等行变换将,b)化为行阶梯阵,c)时，B的非零行个数小于的非零行个数. c1 c 2 c3 0 11,220x1+0x2+0x3+0x4=kx1+x2-x3=x+kx+x=1

+

-kx3= k

k,=

1 r1«

1 k k

k- k

1-k 1-

k2- k-k2

k- k 1-k k2+ 1-k2 k- k

k k2+ 1-k2 k2+k„0,k-1„ k„0,k„k=- k=

k=1

0

k02 0200 00

0011 0011

0000 0000A,b==

A,b=无

A,b==方法1：系数矩阵行列式AA,b== a21x+a22y+a23z=

a13x b1 y=b ax+ y+az=

23 2

3

A,b=

A,b=A,b==2例例kx1+x2-x3=x+kx+x=1 x+x-kx= k ,= 1 k- k 1-k k k2+ 1-k2 k2+k„0,k-1„k=-

k0k1有唯一解，k= k

0

k02 0200 00

0011 0011

0000 0000A,b==

A,b=

A,b==ax+ y+az=

a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3

A,b=A,b=且A

A,b=A=25.2若uAx0v为Axb的解，则uv为Axb的解.非齐次线性方程组Ax= 的两个解u1和u2的u1-u2为Ax0+若v1,v2 ,vs为Ax=+,也为Ax=0的解，其中k1,k2,若u1,u2 ,us 为非齐次线性方程组Ax=

+ksus为Axb

ki②ku+ku++k

为Ax0

ki=5-

Ax0的解集S(即,若已知Ax=0的基础解系为v1,v2,,Ax0的通解++,其中1,k2 ,A的行最简形为B

B˛Rr·(n-rAx0Bx0

O

-BBYO

Y=

En-rS为Ax0

rS‡rY=n-r

vs为Ax0的基础解系V

)AV=,r+rV-n£rV=,rV£n-rrS=rV£n-r

rS=n-r5-))n为未知数的个数，即A的列数．向量组v1,v2 ,vs为m·型齐次线性方程组Ax=0基础解v1,v2 vs是Ax0的线性无关解且snrT=Au= ATAu=ATAv= vTATAv= Av=Av=v1,v2v3为齐次线性方程组Ax0的基础解系，证明：u12v1,u23v1v2,u32v2+3v3也是Ax0u1,u2,u3为解、线性无关、个数为Au=2Av=

0 u,u,u=v,v,v 2Au=3Av+Av=

3Au3=2Av2+3Av3=

60u1,u2u3vAxbuAxb

uvAx0

vs为Ax0++u=k1v1+k2v2++ksvs+5-1v2,vn-r为Ax0的基础解系，则Axb的通解为+kn-+kn-1, ,kn-r为任意常数A34=1, 为非齐次线性方程组Ax=的解u+ ,2

2uu,-2T

Ax= Au1=Axb

A2u2=u1+u2 =,

2u2+

2=,0,

3u+u+

+u) = ,-,0 u+u-u+

= Ax03Axb3

3u1u

,,1,1T,⽅⽅法 x1-2x2-x3-x4=-x+2x+2x+ =

-

+

+8x4= 4

21 31 8

0 x2= x4=

2

1 0

x=k1 x1-2x2+2x4=x+ =

0

其中k1k2其余的未知数为自由未知数. 2

2

03 03 0

1 10

0 001 01

x1-2x2-x3-x4=-x+2x+2x+ x-2x+2x+8x = 5,=

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