2022年山东省临沂市大岭乡中学高三数学文期末试卷含解析

2022年山东省临沂市大岭乡中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f（x）是定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜1，下面不等式正确的是(

)A．f（x2）＜f（x﹣1） B．（x﹣1）f（x）＜xf（x+1） C．f（x）＞x﹣1 D．f（x）＜0参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），得到g（x）在R上单调递减，根据g（1）=0，得到x＞1时：f（x）＜0，从而求出答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），∴f′（x）＞0，∵+x＜1，∴（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，设g（x）=（x﹣1）f（x），∴g′（x）=（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减，∵g（1）=0，∴当x＞1时：g（x）=（x﹣1）f（x）＜g（1）=0，∴x＞1时：f（x）＜0，又f（x）是定义在R上的增函数，∴当x≤1时：必有f（x）＜0，综上可知f（x）＜0，x∈R，故选：D．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），根据x＞1时得到f（x）＜0是解题的关键，本题是一道中档题．2.若复数z=（a2+2a－3）+（a－l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为

A．－3

B．－3或1

C．3或－1

D．1参考答案：A略3.已知直线与圆相切，其中，且，则满足条件的有序实数对共有的个数为

(

).（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：D4.一个体积为12的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A．12 B．8 C．8 D．6参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为2，∴底面三角形的边长为=4，∴三棱柱的体积为V三棱柱=×4×2h=12，三棱柱的高为h=3；∴侧视图的面积为S侧视图=2×3=6．故选：D．5.抛物线的准线方程是（

）A. B. C. D.参考答案：D抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.6.2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种参考答案：C【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析队长，由题意易得其站法数目，②、甲、乙两人必须相邻，用捆绑法将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，③、将甲乙整体与其余3人进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②、甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22=2种情况；③、将甲乙整体与其余3人进行全排列，有A44=24种情况，则满足要求的排法有2×2×24=96种；故选：C．7.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2－x，则f（1）=

A．3

B．-1

C．1

D．-3参考答案：8.在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：9.已知是虚数单位，则等于A. B. C. D.参考答案：A，选A.10.设向量=（3，2），=（3，﹣4），=（0，2），则（）A．∥B．∥ C．∥ D．∥参考答案：D【分析】根据题意，依次分析选项中所给的向量是否平行，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、=﹣=（﹣3，﹣2），=（3，﹣4），有（﹣3）×（﹣4）≠（﹣2）×3，则与不平行，故A错误，对于B、=﹣=（﹣3，﹣2），=（0，2），有（﹣3）×2≠（﹣2）×0，则与不平行，故B错误，对于C、=（3，﹣4），=﹣=（0，﹣6），有3×（﹣6）≠（﹣4）×0，则与不平行，故C错误，对于D、=﹣=（0，﹣6），=（0，2），有=3，则与平行，故D正确；故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象为，则如下结论中正确的序号是______________。①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位长度可以得到图象．参考答案：①②略12.在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为

.参考答案：

13.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同。三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象。刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚，②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹，③高家铭自然不会研究莎士比亚，”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句。据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是_________.（A莎士比亚、B雨果、C曹雪芹，按顺序填写字母即可。）参考答案：C,A,B14.如图，A，B是圆O上的两点，且为OA的中点，连接BC并延长BC交圆O于点D，则CD=______________。参考答案：略15.从高三年级随机抽取200名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为．参考答案：60【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求成绩在[130，140）内的频率，再根据频数=频率×样本容量求的学生数．【解答】解：成绩在[130，140）内的频率为1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴成绩在[130，140）内的学生人数为200×0.3=60．故答案为60．16.已知动点满足，则的最小值为

▲

．参考答案：17.函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．参考答案：[﹣2，1]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.参考答案：（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）连结AC，因为正方形ABCD中F是BD的中点，则是的中点，又E是PC的中点，在△中，EF∥PA…………3分

且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD………6分（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，

…………………8分又PA平面PAD，∴CD⊥PA，因为EF//PA，∴CD⊥EF……10分又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD又EF//PA，∴PD⊥EF

………………13分而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC………14分考点：线面平行判定定理，线线垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）；高一年级77.588.59

高二年级78910111213

高三年级66.578.51113.51718.5（Ⅰ）试估计该校高三年级的教师人数；（Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（Ⅲ）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，能求出高三年级的教师共有多少人．（Ⅱ）从高一、高二年级分别抽取一人，共有35种基本结果，利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数，由此能求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率．（Ⅲ）利用平均数定义能判断与的大小．【解答】解：（Ⅰ）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有300×=120（人）．（Ⅱ）从高一、高二年级分别抽取一人，共有35种基本结果，其中甲该周备课时间比乙长的结果有：（7.5，7），（8，7），（8.5，7），（8.5，8），（9，7），（9，8），共6种，故该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有35﹣6=29种，∴该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率p=．（Ⅲ）．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）已知△ABC外接圆半径，且，求△ABC的周长．参考答案：（1）；（2）．（1），，即，，又，．（2），，，∴由余弦定理可得，，∴，∵，所以得，∴周长．21.椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（1）求椭圆E的方程；（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．参考答案：(1)；(2)见解析．【分析】（1）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（2）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整理得．故椭圆的方程为．由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）由题意得直线的方程为．由消去整理得，其中．设，的中点则，所以∴，∴点C的坐标为．假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．①当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则得．若，则，∴．若，则，∴．②当时，则有．综上可得．所以存在点满足条件,且m的取值范围是.【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形