等比数列讲义

PAGEPAGE1等比数列讲义第一篇：等比数列讲义等比数列一知识点回顾1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于_______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数列叫做等比数列的________,用字母________表示(q≠0)(1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成__________,则称G为a,b的等比中项.(2)若G是a,b的等比中项,则a,G,b满足_________,即G=ab4.等比数列的常见性质(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得数列仍是等比数列,公比仍为q;(2)若m+n=p+q,m,n,p,q∈N+,则am·an=ap·aq；(3)若等比数列{an}的公比为q,则{1an}是以1q为公比的等比数列;(4)一组等比数列{an}中,下标成等差数列的项依次构成等比数列;(5)若{an}与{bn}均为等比数列,则{anbn}也为等比数列.5.等比数列前n项和公式设有等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为：等比数列前n项和公式的推导一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an。根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1。①①式两边乖q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn。②①的两边分别减去②的两边，得（1-q）Sn=a1-a1qn。当q≠1时，等比数列前n项和公式因为a1qn=（a1qn-1）q=anq，所以上面的公式还可以写成当q=1时，数列{an}变为a1，a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn=na1。二例题精讲题型一等比数列的概念及通项公式1.下列数列中,一定是等比数列的有几个()①-1,12,-14，-81116②m,m,m,…m；1③1，3，9，27，81④a，a2，a3，…，anA．1B.2C.3D.42.已知等比数列的{bn}的通项公式为bn=（-2）n，则它的公比为（）A．2B.1C.-2D.-13.已知一个等比数列{an}的第2项为2，第3项与第4项的和为4，则a6=（）A.2B.32C.2或32D.-2或-324．已知等比数列{an}中，a3=6，a4=18，则a1+a2等于（）A．43B.13C.38D.835.已知数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{an+1-an}是()A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.是等比数列,但公比不为qD.不一定是等比数列6等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于()A.4B.8C.16D.327在等比数列{an}中，a6-a4=24，a3·a5=64，求an。题型二等比数列的判定例2已知数列{an}的前n项和Sn，Sn=（an-1）（n∈N+）。31（1）求a1，a2；（2）求证：数列{an}是等比数列。变式训练1.已知数列{an}是等差数列，c为常数，且c≠0，bn=can，求证：数列{bn}是等比数列。2..已知数列{an}中,a1=2,an+1=anan3,数列{bn}满足bn=1an12,(1)证明数列{bn}是等比数列;(2)求an.题型三等比中项问题例1若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值.例2.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230，求a2·a5·a8·…·a29的值。题型四等比数列求和问题1、错位相减法求和例1求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n项和。方法点拨：（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法。（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。（3）应用等比数列求和公式，必须注意公比q≠1这一前提条件。如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查。2、分组求和法例2求和：(x方法点拨：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差数列或等比数列，该数列的前n项和可考虑用拆项法求解。变式训练1求数列{2n+2n}的前n项和。一、裂项法求和2121y)(x21y)(x2n1yn)(x0,x1,y1)例4求131214121n12(n2)的和。3方法点拨：常见的拆项公式有：（1）11.(11（2）)；1n1n。n(nk)knnkn1n题型五用等比数列的性质解题例1在等比数列{an}中，a1+an=66，a2·an-1=128，Sn=126，求n和q。例2已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20XX和S20XX0，求S301、设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）A、2B、4C、D、2、在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为（）A、2-B、2-C、2-D、2-3、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（A、16B、26C、30D、80）4第二篇：等比数列20XX等比数列1．[20XX·北京卷]若等比数列{an}满足a2＋a4＝20XX3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．2．[20XX·江西卷]等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．243．[20XX·新课标全国卷Ⅱ]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，1111A.B．－339914．[20XX·江苏卷]在正项等比数列{an}中，a5a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋2an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．5、[20XX·辽宁卷]已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是2方程x－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．46．[20XX·全国卷]已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于3()A．－6(1－3－10110)B.(1－3)9－10C．3(1－3)D．3(1＋3)7．D3[20XX·陕西卷]设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．8．[20XX·湖北卷]已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；9．[20XX·江苏卷]设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的nSn*和．记bn＝N，其中c为实数．n＋c(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝nSk(k，n∈N)；2*－101．22－2[解析]∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，3nn＋1∴40＝20XXq＝2，又∵a2＋a4＝a1q＋a1q＝20XXa1＝2，∴an＝2，∴Sn＝2－2.22．A[解析](3x＋3)＝x(6x＋6)得x＝－1或x＝－3.当x＝－1时，x，3x＋3，6x＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x＝－3时，x，3x＋3，6x＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.223．C[解析]S3＝a2＋10a1a1＋a2＋a3＝a2＋10a1a3＝9a1q＝9，a5＝9a3q＝9a31a3＝1a1＝，故选C.q91124．12[解析]设{an}的公比为q.由a5＝及a5(q＋q)＝3得q＝2，所以a1＝，所以232111767a6＝1，a1a2…a11＝a6＝1，此时a1＋a2＋…＋a11>1.又a1＋a2＋…＋a12＝2－，a1a2…a12＝2<232111867588－所以a1a2…a12>a1a2…a12，但a1＋a2＋…＋a13＝2a1a2…a13＝2·2＝2·2>2－，323232所以a1＋a2＋…＋a131×（1－2）a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，所以S6＝＝63.1－2an＋116．C[解析]由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且，所以数列{an}是公比an36n＋11104×1－－13110－为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝3×1－＝3(1－33131＋310)．7．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝na1；2n－12n当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q，①qSn＝a1q＋a1q＋…＋a1q，②na1，q＝1，na（1－q）1n①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1q，∴Sn＝n＝a1（1－qn）1－q1－q2(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，222kkk－1k＋1k－1k＋1即ak＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，即a1q＋2a1q＝a1q·a1q＋a1q＋a1q，kk－1k＋12∵a1≠0，∴2q＝q＋q.∵q≠0，∴q－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．533a1＝a1q＝125，38．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得2|a1q－a1q|＝10，q＝3，a1＝－5，5n－1n－1或故an3或an＝－5·(－1).3q＝－1.n（n－1）Snn－19．解：由题设，Sn＝na＋d.(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又因为b1，b2，2n2b4成等比数列，所以b2＝b1b4，2d32即a＝aa＋，化简得d－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.22因此，对于所有的m∈N，有Sm＝ma.从而对于所有的k，n∈N，有Snk＝(nk)a＝nka＝nSk.*2*22222第三篇：等比数列等比数列和等比数列的前n项和今天，我们来一起认识另一个特殊的数列^^课本的四个例子，观察数列，你发现了这些数列有什么共同点？模仿等差数列的定义，尝试自己给等比数列下一个定义什么是等比中项？a,G,b构成简单的等比数列，如何用a,b表示G？推出等比数列的通项公式累乘法推出公式思考：an与am有什么关系呢？例1观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：1，3，9，27，„„1，-2，4，-8，„„-1，-1，-1，-1，„„1，0，1，0，„„思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？②公比q=1是什么数列？③q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。例2已知数列｛an｝是等比数列，a3=-2,a8=-64求a14的值。例3若｛an｝为等比数列，a1=2,公比为3（1）a3×a6=a4×a5吗？（2）a5²=a3乘以a7吗？（3）如果m+n=p+q那么am*an=ap*aq吗？看课本例4课堂总结接下来，我们一起探究下等比数列的前n项和观察课本趣味小故事，探究等比数列的前n项和例1求下列等比数列前八项的和（1）1/2，1/4，1/8…….（2）a1=27,a9=1/243,q<0.思考课堂总结第四篇：等差数列和等比数列一．等差数列的概念1.等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那这个数列就叫做等差数列。2.数学符号表示：an+1-an=d（n∈N+），d为常数，称为公差。或an-an-1=d（n≥2）。3.如果d＞0，则数列为递增数列；如果d=0，则数列为常数列；如果d＜0，则数列为递减数列。4.判断一个数列是不是等差数列：a.定义法证明。b.等差中项法。c.通项公式结构。二．等差数列的等差中项1.定义：如果a，A，b成等差数列，那么A则称作a与b的等差中项。2.数学符号表达：A=（a+b）/2，2A=a+b，b-A=A-a，2an+1=an+an+2。3.等差中项是对含有3项以及3项以上的等差数列提出来的。三．等差数列的通项公式1.通项公式：an=a1+（n-1）d，a1为首项，d为公差。2.推导：⑴归纳法a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d„„an=a1+（n-1）d。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。⑵迭加法an-an-1=d,an-1-an-2=d,„„a3-a2=d,a2-a1=d,以上各式两边分别相加，得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d。⑶迭代法an=an-1+d=an-2+2d=an-3+3d=„„a1+(n-1)d，即an=a1+（n-1）d。⑷逐差法an=an-an-1+an，an-1=an-1-an-2+an+2，„„a2=a2-a1+a1，则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+„„+（a2-a1）+a1=a1+（n-1）d。3.通项公式的变形：ap-aq=（p-q）d。4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等差数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等差数列中的任意两项，就可以其他任意一项。四．等差数列的函数结构及图像1.函数结构：an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），令k=d，b=a1-d，则an=kn+b，即结构是关于n的一次形式。（线性结构）2.图像：是直线an=kn+b上的均匀分布的离散点列。五，等差数列的性质1.下标和性质（中项性质）若p+q=m+n，则ap+aq=am+an。特别的，若p+q=2b，则ap+aq=2ab。2.定距抽取性质等差数列每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列。六．等差数列的前n项和1.公式：Sn=n(a1+an)/2。2.推导：（反序相加求和法）Sn=a1+a2+a3+„„+an，Sn=an+an-1+an-2+„„+a2+a1，故2Sn=n(a1+an)，即Sn=n(a1+an)/2。还可以得到Sn=na1+n(n-1)d/2。（Sn仍由两个基本量决定）七．an与Sn的关系当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1。（分段）八．等差数列前n项和的函数结构及图像221.函数结构：Sn=na1+n(n-1)d/2，即Sn=d/2n+(a1-d/2)n，令A=d/2，B=(a1-d/2)，则Sn=An+Bn，即结构是关于n的一元二次形式（无常数项）。（待定系数法）22.图像：是抛物线Sn=An+Bn上的一群离散点列。九．等差数列前n项和的性质1.中项性质的拓展若（1+n）/2是正整数，则Sn=na中；若（1+n）/2不是正整数，则Sn=n（an/2+an/2+1）/2。22.只要{an}的前n项和Sn的结构符合Sn=An+Bn，则{an}为等差数列。证明：当n=1时，a1=s1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，检验：当n=1时，a1=a+b，所以符合。则an为等差数列。3.依次k项和（连续片段和）2Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等差数列，且公差为原公差的k倍。应用前提：⑴条件结论均为和。⑵下标成倍数（或则有公倍数）。十．等差数列前n项Sn的最值法一：Sn的通项公式是关于n的一元二次函数，利用函数观点来解决，要注意定义域的特殊性。法二：从an的符号分析——转折项（临界项）⑴a1＞0，d＞0，则S1最小，无最大值；⑵a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，无最小；（令an≥0，an+1≤0）⑶a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，无最大值；（令an≤0，an+1≥0）⑷a1＜0，d＜0，则S1最大，无最小值。一．等比数列的概念1.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那这个数列就叫做等比数列。2.数学符号表示：an+1/an=q（n∈N+），q为常数，称为公比。或an/an-1=q（n≥2）。3.注意：⑴公比不能为0，若公比中含有未知数，则要分类讨论。且等比数列的每一项都不能为0，存在为0的项的数列一定不是等比数列。⑵常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。4.判断一个数列是不是等比数列：二．等差数列的等差中项1.定义：如果a，G，b成等比数列，那么G则称作a与b的等比中项。22.数学符号表达：G=ab，b/G=G/a，an+12=anan+2，G=±√a+b（只有同号的两项才有等比中项，即相隔项符号一定相同。）3.等比中项是对含有3项以及3项以上的等比数列提出来的。4.当a，b同号时，G值有两个；当a，b异号时，G不存在。三．等比数列的通项公式n-11.公式：an=a1*q（q不为0）。2.推导：⑴归纳法23n-1a2=a1q，a3=a1q，a4=a1q„„an=a1q。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。⑵累积法n-1n-1a2/a1=q，a3/a2=q，a4/a3=q，„„an/an-1=q，以上各式两边分别相乘，得an/a1=q，即an=a1*q。⑶迭代法23n-1n-1an=an-1q=an-2q=an-3q=„„a1q，即an=a1+q。m-n3.通项公式的变形：am/an=q。4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等比数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等比数列中的任意两项，就可以其他任意一项。四．等比数列的函数结构及图像n-1nn1.函数结构：an=a1*q=（a1/q）q，令k=（a1/q），an=kq，则即结构是关于n的指数形式。n2.图像：是指数函数an=（a1/q）q上的一群离散点列。五，等比数列的性质1.下标和性质（中项性质）2若p+q=m+n，则apaq=aman。特别的，若p+q=2b，则apaq=ab。2.等比数列的增减性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q=1，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动列。六．等比数列的前n项和1.公式：Sn1+an)/2，q≠1；（分段）n1（1-q）/1-q，q=1。2.推导：（错位对齐相减法）23n-1Sn=a1+a2+a3+„„+an，即Sn=a1+a1q+a1q+a1q+„„+a1q，①23n-1nqSn=a1q+a1q+a1q+„„+a1q+a1q，②nn①-②，得（1-q）Sn=a1-a1q，当q≠1时，Sn=a1（1-q）/1-q；当q=1时，Sn=na1。还可以得到Sn=（a1-anq）/1-q。（Sn仍由两个基本量决定）七．等差数列前n项和的性质1.依次k项和mSk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等比数列，且公比为原公比的q倍。2.前n项积Tn与中项的关系：Tn=a中n一．等差与等比的转换等差取指数变为等比，等比取对数变为等差。二．数列应用题1.设题。2.增加具体数值——等差数列；增加比率（百分比、增长率）——等比数列。三．数列构造（加减乘除）1.等差数列{an}、{bn}{an±bn}——等差；{an*bn}——基本不是等差，除非是c*bn（c为常数）；{an/bn}——基本不是等差，除非是bn/c（c为常数）。（一次加一次还是一次）2.等比数列{an}、{bn}{an±bn}——基本不是等差，除非公比相等；{an*bn}——等比数列；{an/bn}——等比数列。四．一般数列{an}1.已知an求Sn——数列求和①等差±等比——各自求和，再求总和。②等比±等比——各自求和，再求总和。③等差*等比——错位对齐相减法。（a.乘公比，对齐；b.相减，中间对齐为等比，注意首项能否合并；c.整理；d.检验）。22+22④等差*等差——公式法1+23+„„+n=n(n+1)(2n+1)/6。⑤分式且分母为二次（分母为两个等差相乘）——裂项求和。2.已知Sn求an——已知和求通项利用an与Sn的关系，注意“分段”求解。3.an与Sn混合①消去Sn转化为an的递推公式方法：降标两式相减，消去Sn，一定要注意n≥2。②消去an转化为Sn的递推公式方法：带入an=Sn-Sn-1，一定要注意n≥2。4.由递推公式求通项公式①基本数列的递推a．等差数列：递推结构：一次函数且k=1，即y=x+d。b．等比数列：递推结构：一次函数，且常数项为0，即y=kx。②差数列（等差数列的推广）递推结构：an-an-1=f(n)（n≥2）——迭加法。商数列（等比数列的推广）递推结构：an/an-1=f(n)（n≥2）——迭乘法。③一阶线性递推——一阶：一项只有前一项决定，线性：一次。法一：迭代法法二：常数项分解