四川省宜宾市五星中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

四川省宜宾市五星中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是一个简单组合体的三视图，其中正视图、侧视图都是由一个等边三角形和一个正方形组成，且俯视图是一个带有对角线的正方形，则该简单几何体的体积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.复数z=2-3i对应的点z在复平面的A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略3.命题“存在，”的否定是（

）（A）不存在，

（B）存在，（C）对任意的，

（D）对任意的，参考答案：C4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125π D．都不对参考答案：B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【专题】计算题．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选B．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．5.在等比数列{an}中，已知a4=3a3，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a4=3a3，可得q=3，可得+++…+=q+q2+q3+…+qn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a4=3a3，∴q=3，∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===．故选：D．6.直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】直线y=kx﹣k+1恒过点（1，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系．【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）∵∴（1，1）在椭圆的内部∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交故选A．7.已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（） A．B．C．D．参考答案：C【考点】直线的斜率． 【专题】计算题；转化思想；分析法；直线与圆． 【分析】直接利用直线倾斜角的范围求得其正切值的范围得答案． 【解答】解：∵60°＜α≤135°， ∴tanα或tanα≤﹣1， 又α为直线l的倾斜角， ∴k∈（﹣∞，﹣1]∪（）． 故选：C． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题． 8.数列满足，，则数列的通项公式为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（

）A、总体是240

B

个体是每一个学生C、样本是40名学生

D

样本容量是40参考答案：D10.定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为A．9

B．14

C．18

D．21参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一组数据xi(1≤i≤8)从小到大的茎叶图为：4|01334

678，在如图所示的流程图中是这8个数据的平均数，则输出的s2的值为________．参考答案：7无12.已知数列{an}满足条件a1=–2,an+1=2+,则a5=

参考答案：

13.（5分）若曲线y=1+，x∈[﹣2，2]与直线y=k（x﹣2）+4有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，]因为y=1+，所以x2+（y﹣1）2=4，此时表示为圆心M（0，1），半径r=2的圆．因为x∈[﹣2，2]，y=1+≥1，所以表示为圆的上部分．直线y=k（x﹣2）+4表示过定点P（2，4）的直线，当直线与圆相切时，有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得．当直线经过点B（﹣2，1）时，直线PB的斜率为．所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有＜k≤．即实数k的取值范围是（，]．故答案为：（，]．14.已知且,现给出如下结论;①;②;③;④;⑤其中正确结论的序号是

.参考答案：③④⑤.15.已知数列的前n项和，则通项=___________．参考答案：略16.在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________参考答案：1017.已知样本9,19,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝

。参考答案：96；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校统计了高一年级两个重点班的所有学生期中考试数学成绩，根据考试分数，学生成绩在[90，150]范围内，得结果如表：甲班：分组[90，105）[105，120）[120，135）[135，150）频数1025105乙班：分组[90，105）[105，120）[120，130）[135，150）频数3172010（1）规定分数120分以上的为学生为优秀学生，分别估计两个班的优秀学生率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．（参考9题数据）参考答案：【考点】BP：回归分析．【分析】（1）求出甲、乙班人数和优秀人数，计算优秀率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）甲班人数是10+25+10+5=50，优秀人数是10+5=15，优秀率是=30%；乙班人数是3+17+20+10=50，优秀人数是20+10=30，优秀率是=60%；（2）由以上统计数据填写2×2列联表如下，

非优秀学生优秀学生总计甲班351550乙班203050总计5545100根据表中数据，计算K2=≈9.091＞6.635，对照临界值得出，能有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．19.已知函数，,令.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数m的最小值；（3）若，且正实数满足，求证：．参考答案：（1）（0，1）；（2）2；（3）详见解析.【分析】（1）先求得函数的定义域，然后利用导数求出函数的单调递增区间.（2）构造函数，利用导数求得的最大值，这个最大值恒为非负数，由此求得整数的最小值.（3）当时，，化简，利用构造函数法以及导数求其最小值，证得【详解】解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）x，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．（1）F（x）＝f（x）+g（x）＝lnxmx2+x，x＞0，令G（x）＝F（x）﹣（mx﹣1）＝lnxmx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）mx+（1﹣m），①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）＝ln1m×12+（1﹣m）+1m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x），令G′（x）＝0，因为x＞0，得x，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）＝lnm（1﹣m）1lnm，令h（m）lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）0，h（2）ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．（3）m＝﹣1时，F（x）＝lnxx2+x，x＞0，由F（x1）＝﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）＝0，即lnx1x1+lnx2x2＝0，整理得：（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1?x2＞0，则由φ（t）＝t﹣lnt，得：φ′（t），可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）＝1，所以（x1+x2）≥1，解得：x1+x21，或x1+x21，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x21成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.20.（本题满分15分）在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”．

（1）当时，记，求的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求的概率．参考答案：（1）的取值为1，3，又；

故，．所以ξ的分布列为：13且

=1×+3×=；（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题．

此时的概率为．略21.过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2﹣c2求得b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由⊥得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．

②将①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圆x2+y2=满足条件．当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆Γ的方程，得=，满足．综上所述，存在圆心在原点