2022年高考数学试题解析08数列

L【2022年全国乙卷】已知等比数列｛aj的前3项和为168,a2-a5=42,则怒=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

设等比数列｛斯｝的公比为q,qH0,易得qWl，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列

的通项即可得解.

解：设等比数列｛斯｝的公比为q,qH0,

若q=l,则口2-。5=3与题意矛盾，

所以q。1,

a

nJai+的+的="1，")=1684z(i=乡

则123l-q,解得J=1

a2~a5=%q_alQ4=42(q—2

所以。6=alQ5=3.

故选：D.

2.【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第

一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

｛九｝：瓦=1+5历=1+点/3=1+不工，…,依此类推,其中以eN\k=1,2,…).则

1«2«2+^

()

A.b]<Z?5B.人3<bgC.Z?6<匕2D.Z?4<b?

【答案】D

根据以GN*(k=1,2,...),再利用数列｛b｝与心的关系判断｛%｝中各项的大小，即可求解.

解:因为以€N*(k=1,2,…)，

所以％<%+丁，得到团>多,

“21a2

同理即+2>%+壬，可得匕2<如比>®

«3

1、1~।1,।1

又因为石>；^工，ai+wRVai+m^,

叮a3M

故/?2<b4,b3>Z)4；

以此类推，可得匕1>历>仇>西>・・・，b7>h8,故A错误；

br>b7>bQ9故B错误;

±>_1

a2a2+—5~，得厉<bs，故C错误；

"+…丽

得<b-j>故D正确.

“七

故选：D.

3.【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如

图是某古建筑物的剖面图，CCi，CCi，BBi，44i是举，ODi，DCi，CBi，B&是相等的步，相邻

桁的举步之比分别为黑=05黑=的,等=&，第=自，若如,伍，心是公差为0」的等差

【答案】D

设ODI=CCI=CBI=B&=1,则可得关于心的方程，求出其解后可得正确的选项.

设ODi=DCi=C&=BAX=1,贝ICG=的,幽=k2,AAx=k3,

依题意，有心-。,2=的阳-。」=初且需耦缺=。.725,

所以0.5+3：3-0.3=0725,故七=0.9,

故选：D

4.【2022年北京】设｛oj是公差不为。的无穷等差数列，则"｛即｝为递增数列"是"存在正整

数No，当zi>No时，0n>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

设等差数列｛%｝的公差为d,贝兔H0,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的

定义判断可得出结论.

设等差数列｛%｝的公差为d,则d#0,记［划为不超过x的最大整数.

若｛册｝为单调递增数列，贝3>0,

若%>0,则当nN2时，an>ax>0；若由<0,则即=%+(九一l)d,

由斯=%+(n—l)d>0可得九>1—半，取N0=[l—引+1,则当n>No时，an>0,

所以，〃｛册｝是递增数歹『n”存在正整数No,当ri>No时，%>0"；

若存在正整数No，当TI>NO时，an>0,取k£N*且k>No，ak>0,

假设d<0,令an=ak+(n—k)dV0可得九>k-半且k-y>fc,

当n>上一引+1时，<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛斯｝是递增数

列.

所以,"｛册｝是递增数列"<="存在正整数No，当n>No时，%>0".

所以，”册｝是递增数列"是"存在正整数No,当n>N()时，斯>0"的充分必要条件.

故选：C.

5.【2022年浙江】已知数列｛aj满足a1=1,即+1=%,-1成(n6N*),则()

5s77

A.2<IOOQJQQV]B.Q<IOOQJQQV3C.3V100QV5D.~V100CZ]QQV4

【答案】B

先通过递推关系式确定｛册｝除去%,其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式变形得到£一

上士>3累加可求出/Q+2)，得出100%0。<3,再利用一冲上<亳=

|(1+47)-累加可求出白-l<1(n-l)+i(i+|+-+：),再次放缩可得出100a100>

o71+1O-n>5o£.onz

:即=1,易得a?=|e(0,1),依次类推可得即G(0,1)

由题意，*=%(一如)，即£=晨石气+士，

__1=1).

—Qn+ian3-an3'

累加可得己-l>j(n-l),即?>彳(九+2),(九N2),

‘谓〈之，("22)，即由00<白1。。。100<詈<3,

又含一；士〈七="1+左)，522),

.111，-1、111,1.11,1，­1、1171，-1、，、“

••石一/=式1+5)，&-石<式1+0，；；一后<式1+7)-，工一=<式1+0,523),

累加可得5-l<i(n-l)+i(i+i+-+i),(n>3),

11111111

/,----1V334—(―+—+0,,+—)<334—(―X44—X94)V39,

。10032399326

即史<4°，•,•即00>3,即10。％00>|；

综上：j<lOOaloo<3.

故选:B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

6.【2022年全国乙卷】记治为等差数列｛%｝的前0项和.若2s3=352+6,则公差d=—

【答案】2

转化条件为2(%+2d)=2%+d+6,即可得解.

由2s3=3s2+6可得2(的+4+。3)=3(。]+。2)+6,化筒得2。3=%+。2+6，

即2(a1+2d)=2al+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

7.[2022年北京】己知数列｛%｝各项均为正数,其前n项和又满足%•Sn=9(n=1,2,…).给

出下列四个结论：

①｛册｝的第2项小于3；②｛斯｝为等比数列；

③｛册｝为递减数列；④｛册｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

推导出即=：-1-，求出内、<12的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调

an斯-1

性的定义可判断③.

由题意可知，VnGN*,an>0,

当九=1时，Q：=9,可得％=3；

aqqQ

当nN2时，由S”=?可得S“_i=」-,两式作差可得斯=2--

anan-lan«n-l

QQQ

所以，~-=---斯，则---做=3,整理可得那+3。2-9=0,

Qn-lan。2N"

因为。2＞。，解得。2=亭＜3,①对；

假设数列入｝为等比数列，设其公比为q,则a”ag,即《?=段，

所以，S；=SiS3,可得山(l+q)2=aRl+q+q2),解得q=0,不合乎题意，

故数列｛斯｝不是等比数列，②错；

当nN2时，册=2---=9((，，1-1~Q，，)＞0,可得即＜%_1，所以，数列｛斯｝为递减数列，

anan-l即为-1

③对；

假设对任意的neN*,即2磊，则Siooooo＞100000x^=1000,

QQ1

所以，由。。。。。=+式高;＜磊，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推

导.

8.【2022年全国甲卷】记Sn为数列｛%｝的前”项和.已知华+n=20n+1.

⑴证明：｛册｝是等差数列；

(2)若CI4,Cl7，a9成等比数列，求Sn的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78.

⑴依题意可得2Sn+/=2na“+n,根据即=1大作差即可得到即一

13rl—J九一1，九二/

an-i=1，从而得证；

(2)由(1)及等比中项的性质求出色,即可得到｛斯｝的通项公式与前n项和，再根据二次

函数的性质计算可得.

(1)

解：因为华+n=2%+l,即2S.+/=2na”+n①，

当几N2时，2sLi+(71-1)2=2(71—l)Qn_i4-(n—1)②，

①一②得，2szi+*—2Sn_i-(ri-1)2=27i(zn+7i-2(n—-(n—1),

=

即2。八+2n-12ncin—2(n—+1,

即2(九一1)即一2(n-1)即_1=2(n—1),所以即一册_1=1,?^Z2且nEN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

⑵

解：由(1)可得@4=%+3,。7=+6,的=。1+8,

又。4,劭，。9成等比数列，所以@72=包•的，

即(％+6)2=Q+3)•(%+8),解得见=-12,

所以即=n—13,所以S?[=-12n+网丁)=|n2=一—等，

所以，当n=12或n=13时(Sn)min=-78.

9.【2022年新高考1卷】记S”为数列&｝的前"项和，已知的=1,｛£｝是公差为，的等差数

列.

⑴求｛即｝的通项公式：

111

(2)证明:-+-+-+-<2.

【答案】(1)册=智

(2)见解析

(1)利用等差数列的通项公式求得今=1+95-1)=牛，得到%=誓包，利用和与项

的关系得到当7122时，%,=S“一S-1=如普-处鲁，进而得：工=丝|,利用累乘法

求得玛=也罗，检验对于n=l也成立，得到｛时｝的通项公式0fl=辿罗；

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到工+工+…+!=2(1-士)，进而证得.

Q1ctn\n+1/

⑴

=1,.，.Si=Cl]=1,.，.含=1,

又•••倒是公差为弱等差数列,

吟=1+2-1)=等,.』=

当n22时，S-i=妇誓1,

._cc_S+2)a”(八+1)即一1

•*an~~^n-l->

整理得：(几-1)0n=(n+l)an_lz

即工=号

fln-1n-r

.・.册=%X也X担X...X—X—

ala2an-2an-l

显然对于九=1也成立，

.♦•｛M｝的通项公式耙=妁井；

⑵

上=」一=20——

ann(n+l)\nn+17

W+F+…+：2[(1_£)+(*)+…(:总]=20_m<2

10.[2022年新高考2卷】已知｛册｝为等差数列,｛bn｝是公比为2的等比数列，且a2-^=。3-

b3=b4—a4.

⑴证明：<21=如

⑵求集合伏|瓦=a„,+%,1<m<500｝中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)9.

(1)设数列｛即｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

(2)根据题意化简可得m=2"-2,即可解出.

(1)

设数列小｝的公差为d,所以，一?蓝1+不UM即可解得，外=%=

+d—2bl=8bl—(即4-3a)2

所以原命题得证.

(2)

由(1)知，瓦=%=p所以瓦=a„,+%Q儿x2k-1=a1+(m—l)d+即=2m,

亦即m=2^2e[1,500],解得2<kW10,所以满足等式的解k=2,3,4,…,10,故集合

(k\bk=am+alll<m<500｝中的元素个数为10-2+1=9.

11.【2022年北京】已知…，4为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的

[1,2,-,mJ,在Q中存在的%+1，七+2,>0),使得为+af+1+ai+2+-+ai+j=n,

则称Q为m-连续可表数列.

⑴判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

⑵若Q:%,a2,…,以为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(3)若Q①。2,…,以为20-连续可表数列,且上+。2+…+<20,求证：k>7.

【答案】⑴是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

(2)证明见解析.

⑶证明见解析.

(1)直接利用定义验证即可；

(2)先考虑kS3不符合，再列举一个k=4合题即可：

(3)kW5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k=6时，由%+(12+…+&6<20可

知里面必然有负数，再确定负数只能是-1，然后分类讨论验证不行即可.

(1)

=1，%=2,。1+。2=3,a3-4,a2+a3=5.所以Q是5-连续可表数列；易知，不

a

存在i,/使得6+ai+i+…+i+j~6,所以Q不是6—连续可表数列.

⑵

若kW3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c,6个数字，没有8个，矛盾；

当k-4时，数列Q:1,4,1,2,满足臼=1,CI4=2,=3,=4,%+a2=5,%+a2+

=6,a2+&3+=7,a1+a2+=8,•••kmin=4.

⑶

Q:%,a2,…,秋，若i=j最多有忆种，若■/，最多有废种，所以最多有1+低=妁衿种，

若k<5,则％,。2,…,取至多可表=15个数,矛盾，

从而若k<7,则k=6,a,b,c,d,e,/至多可表列罗=21个数，

而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有负的，从而(1,£>,(:,4,6,/'可表1~20及那个负数(恰

21个)，这表明a~f中仅一个负的，没有0,且这个负的在a〜/中绝对值最小，同时a〜/中

没有两数相同，设那个负数为-m(m21)，

则所有数之和2m+l+zn+2+…+m+5—m=4m+15,4m+15W19nm=1,

.••{a,b,c,d,e"}={—1,2,3,456},再考虑排序，排序中不能有和相同,否则不足20个,

v1=-1+2(仅一种方式)，

1与2相邻，

若-1不在两端，则”工，—1,2,一一形式，

若久=6,则5=6+(-1)(有2种结果相同，方式矛盾)，

:■x*6,同理x75,4,3，故一1在一端，不妨为"-1,2,A,B,形式,

若4=3,则5=2+3(有2种结果相同，矛盾)，4=4同理不行，

4=5,贝6=—1+2+5(有2种结果相同，矛盾)，从而A=6,

由于7=—1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能一126,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

这2种情形，

对①：9=6+3=54-4,矛盾，

对②：8=2+6=54-3,也矛盾，综上/CR6

■■k>7.

【点睛】

关键点睛，先理解题意，是否为僧-可表数列核心就是是否存在连续的几项(可以是一项)

之和能表示从1到m中间的任意一个值.本题第二问k<3时，通过和值可能个数否定k<3：

第三问先通过和值的可能个数否定kW5,再验证k=6时，数列中的几项如果符合必然是

｛-1,2,3,4,5,6｝的一个排序，可验证这组数不合题.

12.[2022年浙江】已知等差数列｛斯｝的首项由=—1,公差d>1.记｛即｝的前n项和为6

N*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求S”：

(2)若对于每个neN*,存在实数C",使%+c”,a”+i+4呢,%+2+15cn成等比数列，求d的

取值范围.

【答案】⑴%=当空5€2)

(2)1<d<2

(1)利用等差数列通项公式及前几项和公式化简条件，求出d,再求九；

⑵由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.

(1)

因为—2a2a3+6=0,%=—1»

所以—4+6d—2(—1+d)(—1+2d)+6=0,

所以—3d=0,又d>1,

所以d=3,

所以册=3n-4,

所以回皿=让空，

⑵

因为册+cn,an+1+4cn,an+2+15金成等比数列，

所以(％+1+4c”)2=(ctn+Cn)(a»+2+15cn)>

(nd.-1+4cn)2=(—i+nd—d+cn)(—1+nd+d+15cn),

2

Cn+(14d-8nd+8)cn+d=0,

2

由已知方程*+(14d-8nd+8)cn+d=0的判别式大于等于0,

所以△=(14d-8nd+8)2-4d2>0,

所以(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)>0对于任意的nGN*恒成立,

所以K兀-2)d—l][(2n-3)d-2]20对于任意的neN*恒成立,

当n=1时，[(n-2)d-l][(2n-3)d—2]=(d+l)(d+2)>0,

当n=2时，由(2d-2d-l)(4d-3d-2)20,可得d42

当n23时，[(n—2)d—l][(2n-3)d—2]>(n-3)(2n—5)>0>

又d>1

所以1<dW2

2022年高考模拟试题

1.（2022・河南•通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列｛6｝中，%=5,5+?=?，

则qq=（）

C.10D.12

【答案】B

将已知等式变形，由等差数列下标和计算即可得到结果.

故选：B.

2.（2022•福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，若S,=28,则

%+%+%的值为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

根据等差数列的求和公式，求得知=4,结合等差数列的性质，化简得到〃2+《+%=344,

即可求解.

因为$7=28,由等差数列的性质和求和公式得=7%=28,即q=4,

则4+%+%=3q+9d=3(q+3t7)=3q=12.

故选：C.

3.(2022•北京•北大附中三模)已知数列｛%｝满足。勺％…%：/，其中”=123,…，则数

列也｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

求得数列｛七｝的通项公式，再分析数列的单调性即可

依题意，因为qa2a3…%="?，其中”=1,2,3,…，当”=1时，a,=12=1,

当"22时，qa2a3…%t=("-以,2a3…a,,两式相除有

an=",=fl+—>1,n>2,易得知随着”的增大而减小，故”“4”2=4,且=

In-\)

故最小项为=1,最大项为“2=4

故选：A

4.(2022•辽宁实验中学模拟预测)己知数列｛a,｝(〃€N)是首项为1的正项等差数列，公差

不为0,若4、数列｛出“｝的第2项、数列｛纥J的第5项恰好构成等比数列，则数列｛““｝的

通项公式为()

A.an=2n-\B.an=2w+1C.an=n-\D.an=n+l

【答案】A

根据题意设4"=1+(〃-1"，所以牝“=1+(2〃-1"，*=1+(〃2-1“，所以1,1+3(/,1+24"

构成等比数列，即(l+3d)2=1x0+24”),求出d即可求解.

设等差数列｛《｝的公差为d(d>0),所以/=1+(〃-1”，所以%,=1+(2〃-1”，

勺=1+(〃2-1”，又《、数列｛%,｝的第2项、数列｛q｝的第5项恰好构成等比数歹U，

即1,l+3t/,l+24d构成等比数列，所以（l+3d『=1x（1+243）,

解得d=2,d=0（舍去），所以—

故选：A.

5.（2022•四川•绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且q=l,

《产°，若存在实数2使｛%｝是等差数列，则｛%｝的公差为（）

A.1B.2C.-D.A

2

【答案】B

利用5,-$.1=°.（〃22）得｛勺｝的递推关系，从而求得，与公差d的关系，再由。2-4="求

得d.

设公差为d,

因为“M,+i=2S,-1,所以“22时，=2S“T-1,

两式相减得：%①用一%）=几⑸-S“T）=2a,,

因为”,尸0，所以《,+1-a“T=2=2d,

由a/=2S|—1=2dq—1得4=2d—I.从而4―q=24—I—1=6/,d=2,

故选:B.

6.（2022•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列｛%｝满足%=%+为1，若存在

14

*、。“，使得=16a；,则一+一的最小值为（）

mn

8_113

A.-B.16C.—D.—

342

【答案】D

设等比数列｛%｝的公比为q,则4>o,根据已知条件求出4的值，由已知条件可得出〃?+W=6,

14114

将代数式上+上与;"?+〃）相乘，利用基本不等式可求得上+2的最小值.

mn6mn

设等比数列｛凡｝的公比为/则4>0,由%=%+羽可得dr-2=0,解得夕二2,

a

因为%,n=16。：,则a；・2m-1-2"T=16a：,:.m+n-2=4,可得加+〃=6,

启・141zJI4}4mn

由已知机、??eN，所rrr以I，一+—=—[m+n)\—+—=—5+---F—

加〃6n)oknm,

当且仅当〃=2加=4时，等号成立，

因此，，+上的最小值为

mn2

故选：D.

7.（2022•浙江•三模）设数列｛6,｝满足见“=片-2对+（（〃€"）吗=2,记数歹的

前。项的和为S“，则（）

A.a101<27B.存在无eN*,使4=%

C.5101<2D.数列｛乐｝不具有单调性

【答案】C

根据题意求得4〃进而得到。向与同号，结合作差法比较法，可判定B、D错

误；由明.「氏=（见-2）（%-1）+：,得到%利用叠加法，可判定A错误；化简

111

得到'―r=―rr,利用裂项法求和，可判定c正确.

%一]%—

由于=（见一+;2'%=2,则%',

又由即+1一:=。：-2。，+；=（a,一；），则。“+|一1与%同号.

又由4=2,则>T，可得。"+i-a"=d-3a“+；=[a“—>0,

所以数列｛4｝单调递增，故B、D错误；

又因为-%=（%-2）（勺-1）+：，

由数列｛%｝单调递增，且q=2,所以a“-2>0,a“—1>0,所以4川-死2：,

累力口得。刈-42岑=25,所以《（„227,故A错误；

91__1_______

由a.+i=a：-2a„+:可得133，

4a„-2a„-2。""一？

G_______]，]一,

因为。“>4=2,所以“血一333一”，故C正确.

-

a「3aio2-22

故选：C.

8.(2022•吉林•东北师大附中模拟预测(理))数列｛《,｝为等差数列，前〃项的和为S,,,若

(210||<0,即)||+。|0|2>°，则当S,<0时，〃的最大值为()

A.1011B.1012C.2021D.2022

【答案】C

分析数列｛%｝的单调性，计算$2必、尾值，即可得出结论.

>0

因为«10|1+«1012»则4012>0，故数列｛凡｝为递增数列，

因为邑⑼=2°21sL)=202%u<0，S2022=2022(;+限).>。，

且当〃21012时，a„>am2>0,所以，当〃22022时，S„>S2022>0,

所以，满足当S,,<0时，〃的最大值为2021.

故选：C.

9.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)已知等差数列｛。,,｝的前n项和为S,,且满

足2sin3+2)-3%-5=0,2sin(«20l8+2)-3«20|8-7=0,则下列结论正确的是()

A.52022=2022,%>“2018B.$2022=—2022,JlL牝<“2018

C.$2022=-4044,且%>々018D.$2022=4044,且%<电018

【答案】C

根据题意构造函数/a)=2sinx-3x,确定函数的奇偶性及单调性，进而根据

/(a5+2),/(a2018+2)的关系即可确定答案.

设函数〃x)=2sinx-3x,则/(x)为奇函数，且/'(x)=2cosx-3<0,所以/⑴在R上递减,

由已知可得2sin(as+2)-3(%+2)=—1,2sin(a20]8+2)—3(a2018+2)=1,有/(。5+2)=-1,

〃峻+2)=1,所以，(％+2)</@~+2),且/(%+2)=-/(。女+2),所以

“5+2>。2018+2=>>〃2018，且〃5+2=-（%018+2），所以牝+“2018=，

邑6=2022（『22）=]0]1（牝+a2018）=-4044.

故选：C.

10.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛叫满足对任意的〃eN',总存在机eNL使得S“=%,

则明可能等于（）

,2022

A.2022"B.2022nC.2022/D.----

n

【答案】B

A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令”=2时，得到2022"i=2023,m不存在，A

错误；B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程1011〃（"+1）=2022"，取m=坐附

即可，C选项，利用平方和公式得到“〃+1）（2〃+°=/,当"=2时，"/=5,m不存在;

6

D选项，当〃=2时，1+[=,，m不存在.

2m

对于选项A：当%=2022〃时，则｛%｝是等比数列，因为S〃=%

所以2022（2022"7）=2022%当。=2时，2022"一=2023,m不存在，A错误；

2021—

对于选项B：当。“=2022〃时，｛%｝是等差数列，因为5“=品，则

S“=2022=101〃+1）=2022m，取二="'；+'）即可，B正确；

对于选项C：当。“=2022〃2时・，S„=am,则

S„=2022X（1L2+22H---卜〃？）=2022义“（"+?（2"+1）=2022/,当n=2时，”「=5,m不存

在，C错误：

对于选项D：当%=公20空22时，S〃=%,则2022（1+彳1+1丁+…+—1A=2——022,当〃=2时，

nV23nJtn

l+7=->m不存在，D错误.

2m

故选：B.

11.（2022•江苏・南京外国语学校模拟预测）已知数列｛%｝各项都不为0,%=1,%=3且满足

44+1=4S“-1,

⑴求S,,｝的通项公式；

7一1门

（2）若4=、^，曲,｝的前n项和为7；,求。取得最小值时的n的值.

【答案】（1）&=2〃-1；

（2）«=7.

⑴由a,,%=4S“一1得〃22时，an_xan=①-②得an+l-a,,.,=4,分奇偶项即

可求出

（2）由三得"=誓刍，当〃47时，bn<0,当〃>7时，b”>0

。〃一142〃一15

当〃=7时，4取得最小值

⑴

.•,%%=4S“-1①

当心2时，4T%=4S“T-1②

①一②=>a,4+i-ka,=4an

•.«尸0

二%一%=4

•••｛«„）的奇数项和偶数项各自成等差数列且4=1,%=3

a2»-i=1+4（"-1）=4“-3=2（2"-1）-1,二。”=2"-1（〃为奇数）,

a2n=3+4（〃-1）=4〃—1=2・2〃—=2n—\（n为偶数）,an=2〃-1

⑵

,2n-2।13

bn=------=1+----------

〃2n-l52/1-15

当〃<7时，bn<0,

当〃>7时，b”>0

二当〃=7时，。取得最小值

12.（2022•福建,厦门双十中学模拟预测）等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，已知％=9,%为

整数,且S.4ss.

⑴求｛4“｝的通项公式;

（2）设b„=六一，求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】⑴氏=11-2〃

T=〃

⑵”―9（9-2加）

（1）根据题意得公差d为整数，且%±0,分析求出d即可；（2）

a厂--11，再利用裂项相消法求和即可•

2<9-2/?\\-2n）

⑴

由％=9,出为整数知I，等差数列｛%｝的公差d为整数.

又S,4邑，故牝20,a6<0.

99

于是9+4d20,9+5d«0,解得—Wd<—,

45

因此d=-2,故数列｛«„｝的通项公式为《,=11-2n.

⑵

b=_______i_______up_______

"（ll-2n）（9-2n）2（9-2〃U-2n/

于是北=4+4+…+a=-+…+

9-2〃11-2〃

-2（9-2n-9j-9（9-2n）,

13.（2022•宁夏•银川一中模拟预测（理））已知数列｛““｝是等差数列，｛4｝是等比数列，且

b2=2,b｝=4,q=々，as+\=bs.

（1）求数列｛/｝、他｝的通项公式;

⑵设却=产，数列匕,｝的前〃项和为S”，若不等式/1<S“+3对任意的〃eN*恒成立，

求实数2的取值范围.

【答案】⑴bn=2"-'t

(2)(-8,2).

(I)利用等差数列%=%+(〃7)",等比数列，=M"T代入计算；

(2)利用错位相减法可得S,=4-崇，令［=4-白，由｛cj为递增数列，结合恒成立

思想可得答案.

⑴

zx「仇=b,q=2(b.=1

解：因为数列也｝是等比数列，则可得|=";=4'解得|夕=2'

所以a=2—

因为数列｛4“｝是等差数列，且4=4=1,4+1=6+71+1=16,则公差d=2,

所以/=1+2(〃-1)=2"-1.

故a,=2”-1,hn=2'-'；

(2)

数列｛c.｝的前n项和为S,=1+,+9'**---h①

g、i1c123n-\n小

所以5s”=5+尹+齐+…+尸+下②

山①一②得：=l+J+!+…+白-£=2-,

所以S,=4-〃宾+2•

不等式义<S“+言恒成立，化为不等式/<4-白恒成立，

令%=4-9且｛%｝为递增数列，即转化为义<(g)min

当”=1时,(c“)mM=4-击=2,所以/<2.

综上可得：实数4的取值范围是(-8,2).

14.(2022•湖北•襄阳四中模拟预测)已知等差数列｛%｝满足4=1,且前四项和为28,数列

他,｝的前“项和S“满足2S“=3bn-32(2eR).

⑴求数列｛%｝的通项公式，并判断抄,,｝是否为等比数列；

⑵对于集合A,B,定义集合=且x任8｝.若4=1,设数列｛%｝和帆｝中的所有项

分别构成集合A,B,将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列匕,｝,求

数列｛q,｝的前30项和％.

【答案】⑴4=4〃-3,判断答案见解析

(2)1926

(1)根据等数列的前n项和公式和通项公式可求出｛%｝的通项公式，根据等比数列的定义

可判断｛a｝是否为等比数列；

(2)结合等差数列的前n项和，等差数列与等比数列