《三角形中的几何计算 》公开课教学设计【高中数学必修5（北师大版）】

1/5教材分析《三角形中的几何计算》教学设计教材分析本节课是继学习了正弦定理、余弦定理之后安排的一节课，可以说是对正弦定理、余弦定理的应用进行的小结课或习题课，为后面的实际应用举例奠定基础，因此本节课的学习具有承上启下的桥梁作用．在本节课的教学中，要用方程的思想作统帅，具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。在本节课中，首先帮助学生回忆并用文字语言复述出正弦定理和余弦定理，并指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然。但解题的时候，应有最佳选择。教学过程中，我们应指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析，以提高学生的思维层次。本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形。而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题的状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．在教学中还要让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路。在练习与变式例题中同样牢牢抓住正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，用方程的思想指导思路。正弦定理、余弦定理可以解决四类有关三角形的问题．为了把它们融入到学生的认知结构中，设计了变式例题，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理进行边角转化，转化的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决。一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于根据条件，结合图形，准确判断解的情况、灵活选用定理及公式。教学目标教学目标【知识与能力目标】通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形。【过程与方法目标】善于利用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终。【情感态度价值观目标】通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神。教学重难点教学重难点【教学重点】灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算。【教学难点】课前准备利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用。课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程教学过程新课导入①回忆正弦定理、余弦定理的表达式，并用文字语言叙述其内容。你能写出定理的哪些变式？②解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？二、研探新知，建构概念解斜三角形时可用的定理和公式适用类型备注余弦定理(1)已知三边[来源:Z,xx,k.Com](2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理＝2R(3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解三角形面积公式S＝＝＝(5)已知两边及其夹角三、质疑答辩，发展思维例1、如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长。图1活动：教师与学生一起探究，点拨学生找出相关的三角形。解：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°。由正弦定理，得,因为AD∥BC，ABCD所以∠BADABCD于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，解得BD＝答：BD的长为点评：找出相关的三角形后，关键要根据题目的条件与所求，选定运用哪个定理，达到优化解题过程，灵活解题的目的。变式训练1：在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长。解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°,ADB=60° 在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°， 由正弦定理得, AB=例2、如图2所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆弧上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧。图2(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；[来源:学&科&网](2)求四边形OPDC面积的最大值。活动：四边形OPDC可以分成△OPC与△PCD.S△OPC可用OP·OCsinθ表示；而求△PCD的面积关键在于求出边长PC，在△POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决。解：(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ)＝(2)当，即时，ymax＝2＋答：四边形OPDC面积的最大值为2＋点评：解决本例的关键是利用余弦定理建立三角函数模型．让学生解后反思，在读懂题意的基础上，认真观察图形，从图形中找出数量关系。变式训练2：设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长解：设边长是x，（1<x<3），，则=90°－α在三角形ABP中：由余弦定理得：，同理在△CBP中：，90°得：即有： （*）解*得所求的边长为。说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。例3、在ABC中，求证：（1）（2）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设===k显然k0，所以左边===右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边四、课堂小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。五、作业布置：1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=182：判断满足下列条件的三角形形状，acosA=bcosB（2）sin