数值积分和数值微分

数值积分和数值微分第一页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.1NumericalIntegrationBasedonInterpolation

数值积分的基本思想

许多实际问题需要计算定积分。如一块铝合金板，压成波纹板，其截面为正弦曲线，已知波纹板长度，求原材料铝合金板的长度(假设冲压过程铝合金板尺寸不变)，这就是求f(x)=sinx，丛x=0到x=l的曲线弧长L,即第2类椭圆积分

(5.1.1)

另外解微分方程和积分方程也涉及计算定积分。第5章 数值积分和数值微分第二页，共七十页，编辑于2023年，星期三

如果存在被积函数的原函数，则可由

(5.1.2)

计算定积分。 这仅适用于简单的或特殊的场合。大量的定积分中的被积函数，诸如第2类椭圆积分以及sinx2， ， ， ，等等，不存在用初等函数表示的原函数，或原函数在积分区间内有无定义点，以及大部分无穷积分，另外，当f(x)由离散数据给出时，也无法用Newton-Leibniz公式。第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第三页，共七十页，编辑于2023年，星期三

积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b]内存在一点，使得 即底为(b-a)，高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I，f()称为区间[a,b]上f(x)的平均高度。问题是不知道点的具体位置，难以算出f()的准确值。因此，只要对平均高度f()提供一种算法，相应的就有一种求积方法。 如果用积分区间两个端点或中点的函数值f(a)，f(b),或

作为f(x)的近似值，则求积近似公式分别为

(ba)f(a)，(ba)f(b)，(ba)

后者称为中矩形公式。第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第四页，共七十页，编辑于2023年，星期三

如果以区间两端点函数值的算术平均值作为f()的近似值，则求积公式为

(5.2.1)

它是以直线代替曲线，用梯形面积近似曲边梯形面积，故称梯形公式。 一般的，可以在区间[a,b]上适当选取某些节点xk，将f(xk)加权平均得到平均值f()的近似值，如此构造出的求积公式具有如下形式 式中xk为求积节点，Ak为求积系数，即伴随节点xk的权系数。第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第五页，共七十页，编辑于2023年，星期三 这类数值积分的方法通常称作机械求积，其特点是将定积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了Newton-Leibniz公式需要原函数的困难。第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第六页，共七十页，编辑于2023年，星期三

插值型求积公式 设给定一组节点

ax0<x1<<xnb， 且已知函数f(x)在这组节点的值，作Lagrange插值函数

由于代数多项式Ln(x)的原函数易求，用Ln(x)代替f(x)即可得到 的近似值

(5.1.4)第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第七页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(5.2.4)

为插值型求积公式，式中

(5.2.5)

为求积系数。因此，Ak仅与节点xk的选取有关，不依赖于被积函数f(x)的的具体形式。 由插值余项定理，若f(x)Cn+1[a,b]，插值余项为 x[a,b]

x(a,b)

于是插值型求积公式的余项为

(5.2.6)第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式第八页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.2梯形公式和Simpson公式

若取积分区间[a,b]的2个端点(a,f(a))和(b,f(b)作为插值节点，1次Lagrange插值基函数为 代入式(5.2.5)，有 ，代入式(5.2.4)，得

(5.2.1)

称为梯形公式。插值余项为

第5章 数值积分和数值微分第九页，共七十页，编辑于2023年，星期三 代入式(5.2.6)，有 因为(x-a)(x-b)在[a,b]上不变号，由积分中值定理得

(5.2.2)

称为梯形公式的余项，其中h=ba。 若在积分区间[a,b]上取的3个插值节点x0=a， 和x2=b，2次Lagrange插值基函数为 代入式(5.2.5)，有第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十页，共七十页，编辑于2023年，星期三 其中h=(ba)/2。代入式(5.2.4)，有

(5.2.3)

称为Simpson求积公式。插值余项为 代入式(5.2.6)，有 该式不能用积分中值定理。定理5.2.1解决这个问题。

第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十一页，共七十页，编辑于2023年，星期三定理5.2.1

设插值节点距离h=(ba)/n，有求积公式

(1) 若n为偶数，f(x)Cn+2[a,b]，则存在(a,b)，使

(5.2.7)

(2) 若n为奇数，f(x)Cn+1[a,b]，则存在(a,b)，使

(5.2.8)

由式(5.2.8)，令n=1，得到梯形公式的余项(5.2.2)； 由式(5.2.7)，令n=2，得到Simpson公式的余项 余项可以衡量数值求积公式的精确度。衡量数值求积公式精度的另一个概念是代数精确度。 第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十二页，共七十页，编辑于2023年，星期三 数值求积方法是近似方法，如用插值多项式代替被积函数，为保证精度，希望求积公式能对‘尽可能多的’函数准确成立。这就提出了代数精确度的概念。

定义5.2.1

如果定积分I(f)的某个近似求积公式In(f)对于一切不高于m次的代数多项式Pm准确成立，即I(Pm)=In(Pm)，而对于某个m+1次多项式并不准确成立，即I(Pm+1)In(Pm+1)，则说近似求积公式In(f)具有m次代数精确度。 根据定理5.2.1，当n为偶数时，Pn+1的n+2阶导数为0,因此求积公式对不超过n+1次的多项式准确成立；当n为奇数时，求积公式的代数精确度为n。 易验证梯形公式的代数精确度为1，Simpson的为3。第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十三页，共七十页，编辑于2023年，星期三 例5.2.1 求积公式 已知其余项的表达式为R(f)=kf(),(0,1)，试确定系数A0，A1，B0使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数。 解 分别令f(x)=1,x,x2，代入求积公式，有

f(x) In(f) = I(f) R(f) f(0) f(1) f(0) 1 A0+A1 = 1 0 1 1 0

x

A1+B0 = ½ 0 0 1 1

x2

A1 = ⅓ 0 0 1 0

x3

⅓

⅟₄ 6k

0 1 0第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十四页，共七十页，编辑于2023年，星期三 解方程组得A1=⅓，A0=⅔，B0=1/6，于是有 然后验证f(x)=x3时求积公式是否准确成立，见上页表底行，显然不准确成立，代数精确度是2。 同时得到6k=1/4

⅓=1/12，余项 一般的，欲使求积公式具有m次代数精确度，令其对于f(x)=1,x,x2,,xm都能准确成立，这就是m+1个方程。若正好有m+1个待定参数，则由此解出这m+1个待定参数所得之求积公式至少具有m次代数精确度。若对f(x)=xm+1仍准确成立，但对f(x)=xm+2不准确成立，则具有m+1次代数精确度。第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十五页，共七十页，编辑于2023年，星期三

eg.Problem5.1(2)。此时令f(x)=1,x,x2,,xm+1所得m+2个方程不是矛盾方程组。若是，则无解，代数精确度小于m+1次。

由定理5.2.1，n越大(h越小)，插值型求积公式的余项越小，代数精确度越高。但是，由于高阶插值会出现Lunge现象，因此高阶插值型求积公式存在不稳定问题。所以，当积分区间大时，通常不用高阶求积公式，而是将区间分段，在每一段上用低阶求积公式，称为复化求积公式。第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十六页，共七十页，编辑于2023年，星期三

复化梯形公式和复化Simpson公式

将[a,b]等分成n个子区间：a=x0<x1<<xn=b。 每个子区间的长度h=hk=(ba)/n，分点的坐标为xk=a+kh，k=0,1,2,,n，则 在每个子区间上，用梯形公式，则有

(5.2.9)

称Tn(f)为复化梯形公式。其余项为第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十七页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(5.2.10)

将[a,b]等分成n个子区间： a=x0<x2<x4<<x2n=b

每个子区间[x2k,x2k+2]的长度为2h，h=(ba)/2n，子区间端点的坐标为x2k=a+2kh，k=0,1,2,,n，子区间中点的坐标为

x2k+1=a+(2k+1)h，k=0,1,2,,n1，则 在每个子区间上，用Simpson公式，则有第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十八页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(5.2.11)

称Sn(f)为复化Simpson公式。其余项为

(5.2.12)

例5.2.2分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算 使误差不超过210-5，问分别需取若干个节点？第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第十九页，共七十页，编辑于2023年，星期三

解 分别由复化梯形公式和复化Simpson公式的余项从理论上作事前估计：{f()=-sin

，f(4)()=sin}

因此，复化梯形公式需取361个节点(即须计算361次函数值)，复化Simpson公式需取19个节点。第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第二十页，共七十页，编辑于2023年，星期三

复化求积公式的收敛性和收敛阶

定义5.2.2

若 ，则称求积公式In是p阶收敛的。 显然，复化梯形公式是2阶收敛的，复化Simpson公式是4阶收敛的(根据余项I(f)In中的h方次)。

定理5.2.2 设f(x)在[a,b]上黎曼可积，则当分点无限增多，即n且h0时，复化梯形公式和复化Simpson公式收敛到积分 。

证 对于复化梯形公式(5.2.9)，可表示为第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第二十一页，共七十页，编辑于2023年，星期三 因为f(x)在[a,b]上黎曼可积，并注意到，当n时，由于h=(ba)/n，有h=(xk+1xk)=x0，所以 这就证明了复化梯形公式的收敛性。 用同样的方法证明复化Simpson公式的收敛性(Note：h=x/2)

第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式第二十二页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.3Gauss求积公式 前面构造的插值型求积公式中，如梯形公式，由于求积节点x0、x1给定为区间端点a、b，因而只有2个待定参数A0、A1

，对应2个方程，代数精确度只有1。 若x0、x1、A0、A1

这4个参数皆由f(x)=1,x,x2,x3对应的4个方程确定，则至少可达3次代数精确度。

例5.3.1

第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十三页，共七十页，编辑于2023年，星期三 一般的，带权定积分

(5.3.1)

其中(x)0为权函数。当(x)=1时，即是普通积分。 若以n阶多项式近似被积函数，则有n+1个求积节点和n+1个求积系数，共有2n+2个参数待定。利用代数精确度的概念，可建立2n+2个方程，即令f(x)=1,x,x2,,x2n+1，使求积公式

(5.3.2)

成立。从而可使求积公式至少达到2n+1次代数精确度，这种求积公式称为Gauss型的。与等距插值节点的一般插值型求积公式至少有n次代数精确度相比，其代数精确度次数大幅提高第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十四页，共七十页，编辑于2023年，星期三

定义5.3.1 选互异节点x0,x1,,xn，使插值型求积公式(5.3.2)的代数精确度为2n+1，则称该求积公式为Gauss型的。称这些节点为Gauss点。 如果像例5.3.1那样直接利用代数精确度的概念列出2n+2个非线性方程组联立求解得到n+1个求积节点和n+1个求积系数，虽然方程组是可解的，但当n稍大，就非常困难。 由于Gauss型求积公式是插值型求积公式，只要Gauss点确定了，利用插值原理就可确定求积系数

(5.3.3)

其中lk(x)是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十五页，共七十页，编辑于2023年，星期三

这就得到了插值型Gauss求积公式

(5.3.4)

因此，构造Gauss型求积公式的关键是求Gauss点。

定理5.3.1及其推论给出了求Gauss点的方法：利用正交多项式

5.3.1Gauss点与正交多项式零点的关系

定理

5.3.1

对于插值型求积公式(5.3.4)，其节点x0,x1,,xn是Gauss点的充分必要条件是wn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)与任意不超过n次的多项式P(x)带权正交，即第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十六页，共七十页，编辑于2023年，星期三

证 先证必要性，即

x0,x1,,xn是Gauss点

因为x0,x1,,xn是Gauss点，由Gauss点的定义，它们使求积公式

(5.3.4)具有2n+1次代数精确度。因此，对于不超过2n+1次的多项式P(x)wn+1(x)，求积公式(5.3.4)准确成立，即

右边和式中wn+1(xk)=0(k=0,1,2,,n)

，所以

第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十七页，共七十页，编辑于2023年，星期三 再证充分性，即

x0,x1,,xn是Gauss点

由Gauss点的定义(定义5.3.1)，Gauss点是使求积公式

(5.3.4)具有2n+1次代数精确度的点，而要说明求积公式具有2n+1次代数精确度，只要证明在条件 成立时，当f(x)是任意不超过2n+1次的多项式时，求积公式准确成立。 设f(x)是任意不超过2n+1次的多项式，用wn+1(x)除f(x)，其商为P(x)，余项为Q(x)，即

(5.3.5)

其中P(x)和Q(x)均是不超过n次的多项式。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十八页，共七十页，编辑于2023年，星期三 对上式带权积分：

由定理条件，等式右端第1个积分等于0。 对于(n+1)插值节点的插值型求积公式，根据定义5.2.1和定理5.2.1(代数精确度)，至少具有n次代数精确度，所以，对于不超过n次的多项式Q(x)，求积公式准确成立： 由于wn+1(xk)=0(k=0,1,2,,n)， 所以第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第二十九页，共七十页，编辑于2023年，星期三 即，对于不超过2n+1次的多项式f(x)，求积公式

(5.3.4)准确成立，x0,x1,,xn是Gauss点。 定理得证

推论

5.3.1 [a,b]上带权(x)的正交多项式n+1(x)的零点就是Gauss点。

(1) 根据定理4.5.2(P.140)的第2个结论，正交多项式n+1(x)与比其次数低的任意多项式P(x)均正交。

(2) 根据定理4.5.3(P.143)，n+1次正交多项式n+1(x)正好有n+1个互异的实的单根，且都在[a,b]

内。

所以推论成立。

例

5.3.2第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.3.2常用的Gauss型求积公式

0．常用于Gauss型求积公式的正交多项式

Legendre多项式

Legendre多项式是在区间[-1,1]上权函数为(x)=1的正交多项式，由式(4.5.23)定义

(4.5.23)

三项递推公式

(4.5.24)第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十一页，共七十页，编辑于2023年，星期三 前几个Legendre多项式

(4.5.26)

正交关系是

(4.5.25)

它们的根都是单根，在区间(-1,1)内，并且对称于原点。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十二页，共七十页，编辑于2023年，星期三 求出它们的根，根据推论5.3.1，就分别得到n=0,1,2,的Gauss点，用于构造Gauss-Legendre求积公式。

Chebyshev多项式

Chebyshev多项式是由

Tn(x)=cos(narccosx), n=0,1,2, (4.5.18)

定义的，在区间[-1,1]上权函数为 的正交多项式， 并且有三项递推公式

(4.5.19)

令=arccosx(x=-1,=；x=1,=0)，则Tn(x)=cos(n)，于是有第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十三页，共七十页，编辑于2023年，星期三

由三角函数的正交性得

(4.5.20)

另一方面，由三角函数和差与积的关系

2coscos(n)=cos(n+1)+cos(n-1)

(x) (Tn(x))

(Tn+1(x)) (Tn-1(x))

得到三项递推公式(4.5.19)。 前几个Chebyshev多项式 第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十四页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(4.5.21)

它们的根都是单根，在区间(-1,1)内，并且对称于原点。求出它们的根，就分别得到n=0,1,2,的Gauss点，用于构造Gauss-Chebyshev求积公式。 由Tn(x)=cos(n)和x=cos

很容易得到Tn(x)的n个根为

(4.5.22)

使用时要注意权函数(x)匹配。n=/2,3/2,=(k1/2),k=1,2,,n第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十五页，共七十页，编辑于2023年，星期三

1．Gauss-Legendre求积公式。

p2(x)=(3x2-1)/2的零点 是n=1时的Gauss点，由求积系数公式式(5.3.3)或式(5.2.5)有

其中， ，求得A0=A1=1，构造出2点Gauss-Legendre求积公式

(5.3.9)

与例5.3.1结果相同，所以代数精确度为3=2n+1。得到Gauss点后，也可利用代数精确度的概念，分别令f(x)=1,x，代入下式

(5.3.8)第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十六页，共七十页，编辑于2023年，星期三 使它准确成立，同样得到A0=A1=1。再分别令f(x)=x2,x3，代入式(5.3.8)，该式准确成立，代数精确度的确不小于3。

p3(x)=(5x3-3x)/2的零点 ，是n=2时的Gauss点，用与n=1时同样的方法求出求积系数A0=A2=5/9，A1=8/9，构造出代数精确度为5的3点Gauss-Legendre求积公式

(5.3.10)

当n=3,4,5,可求出相应的xk和Ak。为便于应用，可将其制成表，如表5-1。只要查表就可方便地写出n+1点的Gauss-Legendre求积公式。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十七页，共七十页，编辑于2023年，星期三 由于Gauss-Legendre求积公式的积分区间固定为[-1,1]，因此，对于任意区间[a,b]上的积分，套用Gauss-Legendre求积公式时,需要作变量置换

x=(a+b)/2+(ba)t/2

使x[a,b]时，t[-1,1]，于是有

(5.3.11)

式中tk是Gauss点，Ak是求积系数，用表5-1中相应的值。

例5.3.3第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十八页，共七十页，编辑于2023年，星期三

复化Gauss-Legendre求积公式 将积分区间[a,b]等分为n个子区间[xk,xk+1]，每个子区间长度为h=(ba)/n，分点为xk=a+kh(k=0,1,2,,n)，在每个子区间上，用2点Gauss-Legendre求积公式

在区间[a,b]上的复化积分公式为

第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第三十九页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(5.3.12)

称为复化Gauss-LegendreI型求积公式。

将[a,b]等分成n个子区间：a=x0<x2<x4<<x2n=b。每个子区间[x2k,x2k+2]的长度为2h，h=(ba)/2n，子区间端点的坐标为x2k=a+2kh，k=0,1,2,,n，子区间中点的坐标为x2k+1=a+(2k+1)h,k=0,1,2,,n1，在每个子区间上用3点Gauss-Legendre公式第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十页，共七十页，编辑于2023年，星期三 在区间[a,b]上的复化积分公式为

(5.3.13)

称为复化Gauss-LegendreII型求积公式。

例

5.3.4 给定积分 ，分别用

3段复化梯形公式， 2段复化Simpson公式

4点Gauss-Legendre公式， 2段Gauss-LegendreI型公式 计算，并比较计算结果。

解

(1) 3段4点复化梯形公式：h=/6,x0=0,x1=/6,x2=/3,x3=/2第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十一页，共七十页，编辑于2023年，星期三

1位有效数字。

(2) 2段5点复化Simpson公式：h=/8,x0=0,x1=/8,x2=/4,

x3=3/8,x4=/2

2位有效数字。0.0005108第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十二页，共七十页，编辑于2023年，星期三

(3)4点Gauss-Legendre公式：x=(1+t)/4，dx=(/4)dt；由表5-1-t0=t3=0.861136,t2=-t1=0.339981,A0,3=0.34758，A1,2=0.652145

4位有效数字。0.0000279 (4)2段复化Gauss-LegendreI型公式：h=/4,A0=A1=1,t1=-t0=

x0=0，x1+h/2=/4+/8，x2=/2，代入式(5.3.12)第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十三页，共七十页，编辑于2023年，星期三

3位有效数字。0.00034

显然，Gauss求积公式精度最高，特别是4点Gauss公式。

2．Gauss-Chebyshev求积公式

Chebyshev多项式

Tn(x)=cos(narccosx), n=0,1,2, (4.5.18)

的零点，式(4.5.22)，重现于此

可证明相应的求积系数

(5.3.14)

其中，lk(x)是关于所选Gauss点的Lagrange插值基函数。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十四页，共七十页，编辑于2023年，星期三

Gauss-Chebyshev求积公式

(5.3.15)

当n=1时，Gauss点为2次Chebyshev多项式T2(x)=2x21的零点

由式(5.3.14)，A0=A1=/2，得到2点Gauss-Chebyshev求积公式

(5.3.16)

当n=2时，可用同样方法构造出3点Gauss-Chebyshev求积公式

(5.3.17)

n=1,2,3,4,5,,Chebyshev多项式的零点如表5-2.第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十五页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.3.3Gauss型求积公式的余项

定理

5.3.2 设f(x)C2n+2[a,b]，则Gauss求积公式 的余项是

(4.5.18)

证 因为Gauss求积公式也是插值型的，可用插值原理证明。 由于Gauss点是使求积公式达到2n+1次代数精确度的点，因此构造在Gauss点满足插值条件

H(xk)=f(xk)，H(xk)=f(xk)，k=0,1,2,,

n

的不超过2n+1次的Hermite插值多项式H(x)，其插值余项是第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十六页，共七十页，编辑于2023年，星期三

代入定积分则有

(5.3.19)

根据Gauss求积公式的定义和插值条件有

(5.3.20)

另一方面， 在[a,b]内保号且可积，因此对于(5.3.19)式右端项积分利用积分中值定理有

(5.3.21)

将(5.3.20)式和(5.3.21)式代入(5.3.19)式，即得(5.3.18)式。 定理得证第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十七页，共七十页，编辑于2023年，星期三 例如，2点Gauss-Legendre求积公式，Gauss点 代入(5.3.18)式，得到n=1的Gauss-Legendre求积公式的余项

n=1的Gauss-Chebyshev求积公式，Gauss点 代入(5.3.18)式，得到2点Gauss-Chebyshev求积公式的余项

其中积分第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十八页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.3.4Gauss型求积公式的数值稳定性和收敛性 如果在求积公式 中函数有舍入误差 令 ，并记求积公式的误差 。

定义

5.3.2 如果C，其中C是与无关的常数， 则说求积公式是数值稳定的。 由于Gauss求积公式的稳定性与Gauss求积系数密切相关(见定理5.3.3的证明过程)，首先研究Gauss求积系数的性质。 由表5-1和式(5.3.14)可知Gauss-Legendre求积公式和Gauss-Chebyshev求积公式的Ak都大于零，且Ak都有界，分别为2和。事实上，Gauss求积公式Ak大于零和Ak有界不是特例。第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第四十九页，共七十页，编辑于2023年，星期三 一般的，Gauss求积系数公式(5.3.3)中lk(x)(k=0,1,2,,n)是关于Gauss点xi(i=0,1,2,,n)的n次Lagrange插值基函数，根据Gauss型求积公式的定义，n+1个点的Gauss型求积公式对2n次多项 准确成立，即 其中第2个等号的根据是式(4.2.5)lk(x)=ik。由于积分>0，所以Ak>0，即Gauss求积系数都是正的。

定理

5.3.3 Gauss求积公式 是数值稳定的。

证 因为Gauss求积系数Ak>0，显然第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第五十页，共七十页，编辑于2023年，星期三 其中C是常数，倒数第2个等号根据式(4.2.7)

。所以 根据求积公式稳定性定义5.3.2，Gauss型求积公式是数值稳定的。

定理

5.3.4 设fC

[a,b]，则Gauss求积公式收敛，即

(证明略)第5章 数值积分和数值微分Gauss求积公式第五十一页，共七十页，编辑于2023年，星期三

5.5外推技巧和自适应技术

自动变步长的Simpson方法

对于插值型求积公式(非Gauss型)，n=1，是梯形公式，n=2，是Simpson公式，n还可以继续增加，但是若n8，则由于求积系数Ak有正有负，导致稳定性得不到保证。因此一般不用n8的求积方法，而是采用复化求积方法，如复化Simpson公式，即把积分区间[a,

b]等分为n份，在每一小区间上用Simpson公式，于是 (xk+1=a+(k+1)2h)

第5章 数值积分和数值微分第五十二页，共七十页，编辑于2023年，星期三 由复化Simpson求积公式的余项，有事前误差估计式

(5.2.12)

也可以事后估计误差。分别把[a,b]分为n份和2n份(即步长分别为h和h/2)，用复化Simpson公式计算定积分的值Sn和S2n，并进行比较，看是否满足|SnS2n|

。若不满足，则不断折半步长，直到满足|SnS2n|

。 变步长的过程中Simpson法的计算规律： 将[a,b]分为n

个子区间用复化Simpson求积公式，需计算2n+1个函数值；hn折半为h2n，即将[a,b]分为2n

个子区间，则原子区间端点仍是端点，则原子区间中点也成为端点，第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十三页，共七十页，编辑于2023年，星期三

hn折半前这些点的函数值均已计算出 新的中点为

记 于是，变步长的复化Simpson公式计算定积分的方法： 为什么可以用|SnS2n|是否小于判断是否达到要求的精度？ 本来是要求|RSn|=|I(f)Sn|

或|RS2n|=|I(f)S2n|

。第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十四页，共七十页，编辑于2023年，星期三

若 ，则有 24(I(f)S2n)(I(f)Sn)

I(f)S2n I(f)S2n |SnS2n|

|I(f)

S2n|

第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十五页，共七十页，编辑于2023年，星期三

数值积分的Romberg算法、Richardson外推加速算法 自动变步长的方法也可用于T型法，而且更简便。 将[a,b]分为n

个子区间，步长hn=(ba)/n，复化T型求积公式 将[a,b]分为2n

个子区间，步长h2n=(ba)/2n，

即hn折半为h2n，计算T2n时只需将Tn折半，再加上新增节点函数值之和乘以hn/2，即h2n即可。第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十六页，共七十页，编辑于2023年，星期三

T2n，Tn与Sn的关系： 记 则 而

3Sn-4T2n

3Sn4T2n=Tn

即 由例5.2.2知道 由T2n和Tn的线性组合即可成为Sn，大大提高了计算精度。

S2n和Sn的线性组合能否继续提高计算精度？ 答案是肯定的。其根据是Richardson外推法。第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十七页，共七十页，编辑于2023年，星期三 微分定义 令 ，则 即 f(x0)是F(h)当h

0时的极限值。Taylor展开

(5.4.1)

(5.5.1)

h折半h/2，有 (5.5.2)

(5.5.3)第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十八页，共七十页，编辑于2023年，星期三 其中b2，b3显然与h无关。 算法F1(h)的截断误差是O(h2)，F(h)的截断误差是O(h)，外推一次精度提高了。这就是外推法的基本思想。重复以上过程,不断折半步长，再线性组合，得到序列{Fk(h)}，随着k增加，Fk(h)的截断误差的阶越来越高，计算精度越来越好。 一般的，设F

(h)是计算F(0)的一种近似算法，其截断误差为

F(h)F(0)=aphpO(hs)， sp

其中ap与h无关，用h和h/q(q1)两种步长分别计算F，有

F(h)=F(0)

aphpO(hs) (5.5.4) F(h/q)=F(0)

ap(h/q)pO(hs) (5.5.5)第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第五十九页，共七十页，编辑于2023年，星期三 削去了截断误差的主项，得到新算法

(5.5.6)

这就是Richardson外推法。定理5.5.1是关于Richardson外推法的定理，用归纳法证明。由T2n，TnSn是q=2，p=2的特例。这个过程继续下去，构成相应的计算定积分的外推算法称为Romberg算法。

记复化T型公式序列 其余项(由Euler-Maclaurin公式)表示为

(5.5.14)

其中，B2k为Bernoulli常数，B2=6，B4=30，。第5章 数值积分和数值微分外推技巧和自适应技术第六十页，共七十页，编辑于2023年，星期三 只要 就可以构造新序列

h折半，h2项出现系数22，22T1(h/2l+1)T1(h/2l)，削去了余项中的h2项，使误差阶由O(h2)O(h4)

h再折半，h4项出现系数24，同理有 误差阶为O(h6)。h再折半，h6项出现系数26，于是

误差阶为O(h