数学物理方程分离变量法介绍

数学物理方程分离变量法介绍第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期三Clearly,x,t是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比只能为一常数！由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：和B.(1)的解：第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期三(2)(3)非零解：本征值：本征函数：本征值方程C2是积分常数。第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期三C.A、B是积分常数。D.由初始条件：第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期三小结分离变量：边值确定本征值函数：初值确定叠加系数：注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本。第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期三（二）例例1磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。自由：振动传递给外界A.分离变量：和B.第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期三C.D.由初始条件：第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期三固定自由自由自由自由固定固定固定一、二类边界条件决定的驻波第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期三例2:单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。求本征振动。不需要初始条件。A.分离变量：和和第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期三B.和和C.K=0：基频。K>0：谐频第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期三例3细杆热传导。初始均匀温度为，保持一端温度不变，另一端有恒定热流流入。解：第一类边界条件第二类边界条件非齐次（不为零）边界条件。无法直接根据边界条件确定本征函数。解＝齐次边界条件的通解＋非齐次边界条件的特解A.非齐次边界条件的特解：齐次边界条件的通解:设解：则第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期三初始条件：B.分离变量和C.与上题同D.*第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期三E.“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留k=0项。第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期三例4如图，散热片横截面为矩形。温度满足。求稳定温度分布。解：稳定分布温度满足拉氏方程：边界条件：从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界条件，但可将其一视为初始条件。令：显然，A.分离变量：第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期三和B.C.第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期三第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期三例7:求电场强度解：建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。导线无限长导线的情况，可将电场看作沿z方向不变。只需要研究x-y平面的状态平面问题。导线的存在，如何改变电场？第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期三真空静电势满足拉普拉斯方程：或边界条件方程云、地、导线。导线的表面是等势面，取其为电势零点：a为导线半径云、地在无穷远处，由定义，可得，地：无穷远处电场强度。云：根据导线的边界条件，本题应取平面极座标，座标原点在导线中心。第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期三分离变量自然周期边界条件或第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期三定解第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期三电场强度第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期三讨论：电场中，第一项是无导线时的均匀电场。第二项为平面上圆型电荷的电场，即导线所带电荷的影响。第三项为导线的影响。当导线上无电荷时，A点与B