数列极限的基本性质_第1页
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数列极限的基本性质第一页，共十六页，编辑于2023年，星期三三、收敛数列的性质.

1.唯一性定理1.1

(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.第二页，共十六页，编辑于2023年，星期三(用反证法)及且取因

N1

N+,使当n>N1时,假设即当n>N1

时,从而使当n>N1

时,证法1第三页，共十六页，编辑于2023年，星期三同理,因故

N2

N+,使当n>N2时,有从而使当n>N2

时,有从而使当n>N1

时,则当n>N

时,矛盾！故假设不真!第四页，共十六页，编辑于2023年，星期三2.有界性例如:有界无界第五页，共十六页，编辑于2023年，星期三即若使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.第六页，共十六页，编辑于2023年，星期三证设取则当时,从而有取则有即收敛数列必有界.有第七页，共十六页，编辑于2023年，星期三注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.

收敛有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.第八页，共十六页，编辑于2023年，星期三使当n>N时，恒有(1)若时,有3.保号性、保序性第九页，共十六页，编辑于2023年，星期三证（1）：取因故存在N1,

使当n>N1

时,从而当n>N1

时,第十页，共十六页，编辑于2023年，星期三从而同理,因故存在

N2,使当n>N2

时,有则当n>N

时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当n>N1

时,第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期三推论：(收敛数列的保号性)(1)若则使当n>N

时，(<)(<)(2)若则a0.(<)()恒有且第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期三对a>0,取证(1)(2)

用反证法证明.注如：第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期三4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列{xn}的一个子数列(或子列)。第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期三例如,

从数列中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是组成的数列：第十五页，共十六页，编辑于2023年，星期三(

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