数学物理方法第四章留数定理

数学物理方法第四章留数定理1第一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

Laurent展式中项的系数,称作f(z)在孤立奇点

z0

的留数(Residue)

。第二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三1、l内有n个孤立奇点n个孤立奇点,这里画了其中4个第三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三留数定理

设函数在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则第四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。以上讨论都限于有限远点，我们还可以将这种讨论推广到无限远点计算绕无穷远（路左）的正向积分将f(z)在无穷远邻域展开即使无限远点不是奇点，也可以不为零。第五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三+||同一函数，同一环路向的两个积分和为0.

第六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三计算留数的公式：

一、一阶极点留数的计算：设z0

是f(z)的一阶极点，因此 特殊情形： 第七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三二、m(m2)阶极点留数的计算：设z0是f(z)的m阶极点,两边乘,得到：函数极点价数m的判据第八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三为了求a-1,对上式求m-1阶导数：因此,已知m后：第九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例1：求在处的留数。解：另解m?第十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三 例3：求在其奇点的留数。解：单极点2i,三阶极点0例2：求在其奇点的留数。解：一价极点z=n第十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例4：求积分解：

第十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三15第十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三§4.2应用留数理论计算实变函数定积分

实变函数积分复变函数的回路积分基本思想:将在区间l1=[a,b]的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来,可以看做复变函数线积分的特例,即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。第十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三方法：如果补充线段

l2,并且延拓函数到整个复平面，可构成围路积分：左边积分和右边第二个积分则可以利用复变函数理论求出,然后再求出I。xyoabl1l2l=l1+

l2b1b3b2bmbkl第十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三类型一：其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx的有理式；（2）积分区间是[0,2]；(3)在区间[0,2]内，无奇点。第十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

如果令z=1·

eix=cosx+isinx,则积分路径变成单位圆的围路积分。因为dz=d(eix)=ieixdx=iz

dxy原积分变成xo02x

z平面(1,0)映射第十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题1计算积分解：第二十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题2计算积分dz=

iz

dx1/i=-iz=eix第二十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三被积函数有单极点由留数定理得第二十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三类型二：其中：(1)积分区间是(-,+); (2)复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析； (3)当z在上半平面和实轴上时，一致的|zf(z)|0；

如果f(x)是有理分式，则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。第二十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三积分主值概念：反常积分定义为

当R1=R2时，称为I的积分主值

一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！

第二十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三计算积分主值

补充围路如图,作线积分由留数定理：当R,左边的第一个积分即是要求的，第二个积分可证明当f(z)满足条件（3）[z,

|zf(z)|0]时为零。-R•+RxyCR•bkoR第二十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第二十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题3求积分

解：单极点只需考虑上半平面极点+i第二十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题4求积分 第二十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三-n-(n-2)-n-(n-1)29第二十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三因此积分为例题5求积分第三十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三类型三：

其中:（1）积分区间；(2)偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；(3)当z在上半平面和实轴上时，一致地F(z),G(z)0；第三十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三在第二积分中，同理偶函数F(-y)=F(y)第三十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三奇函数-G(-y)=G(y)yx33第三十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三约当引理

如m为正数，是以原点为圆心而位于上半平面得半圆周，又设当z在上半平面及实轴上时，f(z)一致地0,则-R•+RxyCRoR第三十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三证：z

,F(z)0。约当引理要求第三十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三右第二项中第三十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三如果m<0,应改为下半平面计算oy1第三十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第三十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题6：求积分39第三十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题7：求积分第四十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三类型四：实轴上有单极点的积分其中：(1)函数f(z)在实轴上有单极点a，上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；(2)当z在上半平面和实轴上时，一致地|zf(z)|0；或满足第三类型的条件。第四十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

先考虑只有一个单极点(m=1)

由于的存在，作如图围路。在围路内如有有限个奇点，则•CRC-RRO第四十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三 当R时第3部分积分为零。

因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。•

Cx第四十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三事实上注意：如果是二阶以上的极点，第一项当0时，发散！第四十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

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99个人小广告：45第四十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三因此原积分为如果实轴上有多个单极点。注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。否则，积分（极点情形）或不存在（本性奇点情形）。第四十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例题8：求积分解：利用函数的奇偶性，原积分可化成被积函数仅仅在实轴上有单极点z=0,因此据第四十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三由此还可以推论，对于正的m,对于负的m,第四十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三*§4.3

计算定积分的补充例题例1第四十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三xyCCRl2l1=0=050第五十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三51第五十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三52第五十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三xyCCRK2K1+1半径例2“-”的由来同上一例题53第五十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三54第五十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三55第五十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例356第五十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三a+i2xyii3-a+i2-aal1l2l3l457第五十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三58第五十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三59第五十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例4计算菲涅耳积分xyolRCR/460第六十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三61第六十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三62第六十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三63第六十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三本章基本要求：1.了解留数的意义。2．熟练掌握求留数的方法。3．熟练掌握利用留数定理计算