高中数学-数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE2.3.1数学归纳法过渡:师：数学推理中，常用的方法是演绎法和归纳法，归纳推理又可以分为完全归纳法（枚举法）和不完全归纳法，完全归纳法得出结论是可靠的，因为它考察了问题所涉及的所有对象，不完全归纳法得出结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，回想我们以前的学习是不是也遇到过这种猜想得出结论的情形呢？生：数列求通项公式是通过归纳，猜想的（学生可能举不出具体实例）一、创设情境提出问题1、提出问题：已知数列，已知，通过计算，可以猜想通项公式为，这个结论正确吗？生：可以验证代入师：一一验证是行不通的，我们需要探求一种新的方法：通过有限个步骤的推理，来证明取所有的正整数都成立。【设计意图】：以生活实例过渡到数学问题，让学生体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，问题的不断设置，激发学生反思，在反思中领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”2、展示目标知识与能力：（1）知道数学归纳法.（2）理解数学归纳法的原理.（3）掌握数学归纳法证题的有关步骤.（4）能应用数学归纳法证明相关问题情感态度价值观：类比多米诺骨牌游戏得出数学归纳法的原理，养成探索发现、提出问题的习惯，提高分析、解决问题的能力.过程与方法：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，感受数学内在美，激发学热情.【设计意图】：通过目标展示，让学生带着目标去学习，明确本节课要学习的方向，有的放矢。二、自主合作解决问题1.独学（自主学习）；（6分钟）内容：课本P92-95，问题：1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 2.你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？2.组议.（解决疑惑，交流方法）.（3分钟）【设计意图】：通过学生自主学习和小组合作，调动学生思维，突出学生主体地位。三、展示汇报反馈点拨（一）实例展示，播放多米诺骨牌游戏视频问题：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？生1：最后一块的前面那块倒下，生2：任意相邻的骨牌前面的那个得倒下，生2：如果第块骨牌倒下，则第块骨牌会倒下，如果要使第块骨牌倒下，则需要第块骨牌倒下，而要使第块骨牌倒下，则需要第块骨牌倒下，，最后递推到第一块骨牌必须倒下。师生一起归纳所有多诺米骨牌倒下满足条件：第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下定导致后一块倒下。师：多米诺骨牌效应是由点到面的一种运动过程，生活中多米诺骨牌效应很多（摆放的自行车推倒，美国911世贸中心的坍塌是由于上层楼板坍塌冲击下一层楼板，导致一层一层的崩溃），你能类比多米诺骨牌游戏证明数列通项公式为这一猜想吗？【设计意图】：通过录像展示，让学生直观感受“归纳递推”的关系，进一步激发探究新知的欲望。推导数学归纳法师：你认为证明数列的通项公式是与多米诺骨牌游戏有相似性吗？生：独立思考，再合作交流探究．师：引导学生类比。（1）第一块骨牌倒下（2）第（1）第一块骨牌倒下（2）第块骨牌倒下，则第块骨牌倒下（2）如果时猜想成立即那么（2）如果时猜想成立即那么时猜想成立即（1）（1）猜想成立第一项成立第一项成立第第项成立，则第项也成立教师解读的证明：如果，【设计意图】：通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，形成对数学归纳法证明命题的认识。师：根据刚才的理解，你能不能给出这个命题的完整证明？生：自主讨论，合作交流师投影：证明：（1）当时，，所以结论成立。假设当时，结论成立，即则当时，代入假设已知代入假设已知结论成立（）结论成立即当时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数都有成立．师生归纳：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设当时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．【设计意图】：由多米诺骨牌倒下的两个条件探究数学归纳法证明命题的两个步骤，问题逐层设置使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，完成由归纳假设到归纳递推的过渡。（三）理解新知师：数学归纳法进行证明时第一步的从等于几开始？第一步可否省略？生1：从1开始，可以省略生2：从0开始，不可以省略，如若设成立，则当时命题也成立，但是时不成立，因此对任何该式是不成立的。师：（1）数学归纳法进行证明时第一步一般地如果要证明的命题是对全体正整数都成立，则要从开始；如果要证明的命题是对不小于的全体正整数都成立，则要从开始；如果要证明的命题是对全体自然数（包括0）都成立，则要从开始。数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．用数学归纳法证明命题第二步要合理运用归纳假设，即以时命题成立为条件，结合其他数学知识，证明当时命题成立。切忌不适用归纳假设直接得出结论。数学归纳法一般适用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题。[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.（四）应用新知例1.用数学归纳法证明证明：（1）当时，左边=，右边=，等式成立假设当时等式成立，即那么即当时等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何都成立[设计意图]使学生熟悉数学归纳法证明数学命题的过程及表述规范性，使学生理解数学归纳法证明命题的两个步骤的关系，完成第一步、第二步，必须下结论，格式为：根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。四、巩固训练，拓展提升尝试练习：.已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.解：可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为于是可以猜想证明：（1）当时，左边=，右边=，等式成立（2）假设当时等式成立，即那么即当时猜想也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立错例辨析下面是两位同学用数学归纳法证明命题的过程，看一下是否正确1、用数学归纳法证明证明：假设n=k时，等式成立，即则n=k+1时即n=k+1时等式也成立，所以对任何等式都成立2、用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立（2）假设时等式成立，即那么当即当时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立[设计意图]使学生经历一次数学研究及发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法，特别是要注意如何利用时等式成立这个假设验当时命题成立。五、课堂小结达标检测教师提问：本节课我们学习了哪些知识，你有什么收获？学生作答：数学归纳法的原理数学归纳法证明命题的两个步骤．3.类比思想．教师总结:归纳推理可以提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．数学归纳法一般用于证明某些与正整数(取无限多个值)有关的数学命题，应用数学归纳法解决问题的关键是由时等式成立推出当时命题成立。[设计意图]使学生对本节知识系统归纳与回顾，点出本节易错点和关键点，强化学生对数学归纳法应用的记忆。达标检测1．用数学归纳法证明“”时，第一步应验证不等式（）2．首项是,公差为d的等差数列，用数学归纳法证明（1）数列的通项公式（2）数列前n项和公式：六、布置作业1．必做题：P95练习2.P97习题2.3A组1.（1）、（2），（3）选做题：课本P96B组1，2[设计意图]：必做题使学生加深理解用数学归纳法证明命题的原理和步骤，规范解题过程，针对不同层次的学生需求，分层设置作业，因材施教。七、教后反思1.本教案的亮点是从生活实际出发引入数学问题的探究，并借助多米诺骨牌游戏激发学生学习兴趣，探究归纳数学归纳法的步骤，注重了由“假设成立，推理成立的递推关系验证，避免了纯知识的反复练习，使学生不断思考，不断寻求突破。．2.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，探究过程费时较多，以至于在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并诊断分析。.八、板书设计2．3．1数学归纳法引例:已知数列，，通过计算，猜想通项公式为，这个结论正确吗？类比类比多米诺骨牌原理数学归纳法数学归纳法：原理、步骤例1：练习：小结：《数学归纳法》学情分析知识方面：学生在此之前，已经学习了推理与证明，推理中学习了合情推理，初步了解了归纳与类比推理，证明也学习了直接证明的综合法和分析法，以及间接证明的反证法，但是由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.即学习数学归纳法，另外学生在必修五也初步学习了数列的有关内容，加之数学归纳法形式较为固定，看似简单易懂，在学习中能够较快的掌握。但是考虑到学生虽然了解数学归纳法的一般步骤，但只是生硬的记忆和牵强的套用，而难以理解其实质，特别是数学归纳法证明命题时第二步，递推步骤中归纳假设的利用，不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。因此在教学过程中精心设计几个问题，让学生在类比的基础上理解数学归纳法的原理，从而深刻的理解数学归纳法的步骤，特别注意启发引导教学。能力方面：学生具有一定的计算能力，有利于在此基础上提高运用数学思想方法解决实际问题的能力。《数学归纳法》效果分析通过本节课教学使学生在类比多米诺骨牌游戏过程中得出数学归纳法的原理，养成探索发现、提出问题的习惯，让学生知道数学归纳法，理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的有关步骤，能应用数学归纳法证明相关问题。重点是借助实例了解数学归纳法的基本思想，理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤，难点是运用数学归纳法时，如何根据归纳假设作出证明即由n=k时命题成立证明当时命题成立。多米诺骨牌游戏视频，激发了学生的求知欲，对课堂新知充满浓厚的兴趣，从而积极主动的去思考问题；渗透类比的数学思想。自主学习阶段独学体现学生的自主探究，合作交流培养学生合作精神，有效的解决本课难点，通过展示汇报环节教师有效的追问引起学生的注意，让学生认识到这两个条件的重要性。而类比的思想方法，则能够完善解题步骤，升华知识体系，从而突破重点内容。通过例题的算-猜-证，既考察了数列基本知识，又考验了学生的归纳猜想能力，最后检验了学生对数学归纳法的掌握程度，让学生既进一步理解数学归纳法证明命题的步骤，又规范了解题过程，起到了示范的效果，错例分析和巩固训练提升了学生对知识的理解和应用，最后的小结与达标检测，要求学生自主完成PPT上的三道题目。之后找学生交流思路和答案，并针对其出现问题进行点拨和纠正，让学生通过自评互评，能够更加清晰本节课的所学和不足，而达标检测则会让进一步体会用数学归纳法解决问题的巧妙，此过程中小组合作答疑解惑，教师点拨，可规范解题步骤，最终做到堂堂清。《数学归纳法》教材分析本节内容选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节。学生在此之前已经初步学习了推理与证明的有关内容，了解了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，而不完全归纳法得出的结论不一定正确，因此当解决与正整数有关的命题时，需要引入新的证明方法，即数学归纳法。它贯穿整个高中代数的几大知识点：数列、不等式、二项式等，是高中代数中的一个重点和难点内容，同时又是一种重要的数学方法，它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想，具有及其重要的地位。数学归纳法名为归纳法，实质上是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题可靠性.数学归纳法一方面是数列知识的深入与扩展；另一方面它用“有限”的步骤证明了“无限”的问题，是关于某些与正整数有关的数学命题的直接证法，对不完全归纳法做了充分严谨的补充．本节的教学目标分三个层面知识与技能上要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题，进一步发展猜想归纳能力和创新能力，体会类比的数学思想；过程与方法上努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生体会由猜想到证明的数学方法；情感、态度价值观上让学生进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。根据本节教材内容教法上采取问题引领法和引导发现法，学法上通过小组自主学习和小组合作进行指导学生学会学习。变式练习：已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.错例辨析：下面是两位同学用数学归纳法证明命题的过程，看一下是否正确1、用数学归纳法证明证明：假设n=k时，等式成立，即则n=k+1时即n=k+1时等式也成立，所以对任何等式都成立2、用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立（2）假设时等式成立，即那么当即当时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立达标检测：1．用数学归纳法证明“”时，第一步应验证不等式（）2．首项是,公差为d的等差数列，用数学归纳法证明（1）数列的通项公式（2）数列前n项和公式：数学归纳法教学反思本节课内容节选自人教A版选修2-2《数学归纳法》属于新授课，课堂教学采取“激、学、导、练”教学模式，分为创设情境，提出问题；自主合作，解决问题；展示汇报，反馈点拨；巩固训练，课堂提升；课堂小结，达标检测五个环节，课堂教学设计符合学生认知规律，整个流程清晰完整。反思本节课教学可以从以下两个方面来总结：一．成功之处：1.教学设计首先从生活实际出发引入数学问题的探究，展示学习目标，并借助多米诺骨牌游戏激发学生学习兴趣，渗透类比思想解决问题，通过学生自主学习-独学与小组合作学习探究归纳数学归纳法的步骤，注重了由“假设成立，推理成立的递推关系验证，既突出了本节重点内容，也突破难点由归纳假设证明命题成立。其次通过学生的展示汇报，教师的针对性点拨，不停的追问，剖析数学归纳法的两个步骤—归纳奠基和归纳递推，让学生理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法的原理，从而掌握用数学归纳法证明于正整数有关的数学命题的证明方法，使知识得到迁移应用，个别例题由学生进行尝试分析，在独立思考的基础上与他人合作、交流，修正错误，优化解题方法，完善解题步骤。充分发挥学生动脑，动手能力，参与课堂学习，积极思考能力，对典型例题进行变式训练，延伸拓展，使学生进一步巩固本考点知识应用的主要题型，强化解题方法，规范解题步骤。通过学生练习，展示修正，最后总结解题方法与规律，升华提高。最后对本节知识进行达标检测，限时完成，以此来强化落实对本节知识、方法的理解、应用，提高了学生解决问题的能力。2.多媒体辅助教学，有利于学生自主化学习，展现了教学的开放性与交互性，使资源利用最大化，另一方面，突破了传统教学模式中的单一教育资源，大大提高学生的学习兴趣和学习效率。二．不足之处：1、本节课教学主要是针对数学归纳法的原理、概念、步骤应用进行探究，课堂上由于每个环节设置内容较多，没有充分暴露学生的思维过程，并诊断分析，以至于学生虽然直观感知了数学归纳法的原理，但是对于应用数学归纳法证明的第二步骤，利用归纳假设n=k成立，来证明n=k+1时命题成立，理解上不透彻。2、数学归纳法作为一种证明数学命题的方法，理论性较强，课堂上缺少充分的举例让学生理解数学归纳法，如生活中一些有趣的问题生活推砖游戏，社会家族姓氏问题，主妇养鸡问题，来说明归纳奠基和归纳递推两个步骤缺一不可，，另外对于数学归纳法的应用挖掘不够，设计习题难度不够，部分优秀生的发散思维和创新思维能力未能够在本节课中得到更好的培养。因此以后再上这节课我将会考虑设计一些有难度的目标，保证优秀生的求知热情。总体上说本节课还是比较成功的，大多数学生对于本节课展示的目标能够实现，对于本节课体现的方法类比的思想—归纳方法能够理解并会应用，对于应用数学归纳法证明简单与正整数有关的数学命题能够熟练运用，产生较好的课堂效果，但是如果能够在今后的教学中解决以上提出的不足，将会使我的课堂更加精彩。今后的教学我将会不断努力，探索以便让更多的学生在课堂上有更大的收获。《数学归纳法》课标解读高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然