有效数字和不确定度

有效数字和不确定度第一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三讲授内容1.物理实验的课程设置及考核办法2.与测量和误差相关的基础知识3.有效数字的概念及运算法则4.测量结果的评定5.常用的数据处理方法第二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三绪论一.为什么开设《大学物理实验》课物理学是许多应用学科的基础物理学本身是一门实验科学如电磁相互作用的发现，电磁波理论的确立。物理实验中应用到的实验知识、方法和技能是其他科学实验的基础。

第三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三二.物理实验课的目的及任务通过物理量测量，应用物理知识，验证理论，加深对物理学原理和规律的认识；学习实验基本知识、基本方法和基本技能（三基），培养科学实验能力（实验方法、测量技能、分析处理数据）；养成实事求是的科学态度，培养创新意识。

达到目的：会使用仪器，提高动手能力，善于总结实验，求实创新。任务：定性观察物理现象；定量测定物理量的大小。第四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三三.物理实验课的安排分二学期完成第一学期为基础实验，共8次，一次理论课（不确定度及数据处理）和7个实验；着重基础实验技能和习惯的培养第二学期为自选题目，分为三个单元：基础性物理实验、综合性物理实验和设计性实验，共几十个题目，同学们可根据自己的学分、专业或兴趣选做。第五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三四.三个教学环节及基本要求三个教学环节:1.课前预习—实验能否取得主动的关键。2.课堂实验。3.课后报告—实验的总结。第六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

课前预习

课前预习

课前认真阅读实验教材，了解实验目的、原理、方法、内容、仪器等，主要预习原理、仪器的调整及注意事项。

要求课前写好预习报告。预习报告①实验名称：②实验目的：通过实验达到的要求。③实验原理和内容：实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导过程。第七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三忌会三条：a.照抄讲义b.只写一个代数式c.无图④实验仪器：列主要仪器的名称、型号、规格等。⑤操作步骤：只写主要的、重要的。

此外，在原始数据记录纸上画好表格。注意：未写预习报告，取消本次实验资格；未画表格，扣部分预习分。第八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三课堂实验带上教材、写好预习的实验报告，还有坐标纸、计算器等。教师先简要讲解。学生调试仪器、测试记录数据（用钢笔、圆珠笔填写，不得随意涂改）。注意遵守实验室规则，了解实验仪器的使用及注意事项。注意：原始数据（用钢笔或中性笔填写）须经教师检查签字后才能离开，离开前应整理实验仪器，打扫卫生。第九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三课后完成实验报告课后报告：⑥实验数据记录老师签字的原始数据附在实验报告上，切忌课后涂改数据⑦数据处理计算平均值、不确定度，写出最后的测量结果，作图。注意：数据计算要求写出中间过程，作图必须用坐标纸⑧结果分析

一定要有实验的结论和对实验结果的讨论、分析、建议或完成思考题。第十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三五.成绩考核办法每次实验报告的成绩平均，即为学期成绩；上课时必须向老师提交预习报告，未预习取消实验资格，成绩记0分；实验必须按时。迟到一分钟扣一分，15分钟以上则取消实验资格，成绩记0分；编造、抄袭原始数据或在报告中涂改原始数据，成绩记0分；预约实验而缺席，成绩记0分；成绩为0分或不及格者，在实验室有空位并获老师同意，给予一次重做机会，成绩按分数的80%计算，但最高不超过75分。迟交报告者，只按照80%记分。学生不按要求操作造成实验仪器损坏者，除按学校规定赔偿外，还可视情况扣除操作分。第十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三实验报告的上交和领取实验报告在实验完成的下一周星期一之前交，分实验投入A座3楼大厅专用实验报告箱内。几周后，可在四楼实验柜中分班级取回；报告至少保存一学期，以备在成绩有误时核对查询。今天课后完成三页题，三周星期一前交到三楼楼道的不确定度报告箱内，以后的实验按实验题目交。实验报告纸到中心办公室323购买，电话85990273第十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

测量不确定度与数据处理一.测量误差1.测量：用实验方法找出物理量的量值叫测量，即把待测量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测量的大小，比较的过程叫测量。实验数据：比较的结果记录下来原始数据（未经计算，须经老师签字）正确记录数据：待测量的名称、大小、单位、准确度如用游标卡尺测量钢球的直径第十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三测量的分类按测量方法分为：直接测量和间接测量如通过测量钢球直径D（直接测量）来计算钢球体积V=πD3/6（间接测量）按测量条件分为：重复性测量（等精度测量）和复现性测量（非等精度测量）按测量次数分为：单次测量和多次测量

第十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三2.误差概念

误差

有正负大小之分，称绝对误差注意：绝对误差不是误差的绝对值如测g单摆三线摆气垫导轨

ms-2

9.7829.7959.811误差存在于一切实验过程中，并因主观因素的影响，客观条件的干扰及实验技术不同而不同。

第十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三讨论误差目的

对自己的实验结果进行评定，即置信度，置信度越高，测量越准确分析测量中产生误差原因，找寻减小误差的方向，采取措施尽可能减小误差。如合理设计实验、选择仪器、采用一些测量方法（如比较法、复称法）、修正公式、调节仪器等，都是为了减小测量误差。对测量中未能消除的误差作出估计。

第十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三误差分类及来源根据误差性质及产生原因，可将误差分为系统误差和随机误差。系统误差定义：在一定条件下多次测量同一量时，测量结果总向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。

特点：具规律，大小、正负恒定第十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三来源仪器误差：仪器本身缺陷或没按规定使用仪器造成。如仪器零点不准、停表走得快、电表放置方式不对。理论误差：理论公式本身的近似性或实验条件不能达到所规定的要求

如：单摆近似为

光栅dsinθ=kλ要求平行光垂直入射不满足

第十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三观测误差：由观测者本人生理或心理特点造成，如停表计时或读数。方法误差：电流表外接

电流表内接

2个特点：具规律、可减小或消除。系统误差又分：已定系统误差，如千分尺的零差未定系统误差，如给定级别的电表第十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

减小方法校正仪器：如校零或记下零读数修正。改进实验方法：如对称测量减小理论误差：在公式中引入一些修正项，如单摆测g，须考虑摆球的体积大小及空气的浮力及阻力；调试仪器

调试仪器重要→减小系统误差

第二十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三随机误差随机误差又称偶然误差由不可预测的随机因素造成定义：在一定条件下，多次测量同一量时，误差的大小、正负以不可预知的方式变化（时大时小，时正时负，无确定性）。特点：误差出现无规律，不能消除第二十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三来源操作者感官分辨率的不确定仪器性能的波动测量环境的干扰其它偶然因素如电压不稳定，操作读数时的视差影响但当测量次数很多时，大部分随机误差服从一定的统计规律（正态分布），后面讲。可用增加测量次数的方法来减小随机误差，但测量次数不可能无限多，故不能完全消除。第二十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三随机误差：随机性可通过多次测量来减小系统误差：确定性可用特定方法来消除总之，误差的性质不同，来源不同，处理方法不同。有时系统误差与随机误差可以加以区别，有时又难以划分。但实验结果的总误差是随机误差与系统误差。第二十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三误差的几个相关概念精密度：测量数据分布的集中程度，反映随机误差的大小准确度：测量平均值与真值的符合程度，反映系统误差的大小精确度：精密度和准确度的综合反映，精确度高表明测量数据集中分布在真值附近

精密度高准确度高精确度高一般，精度多指精确度第二十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三二.有效数字及其运算法则1.有效数字的概念有效数字就是实验测量中记录的有意义的数字，它在一定程度上表明了测量误差的存在，如用米尺测物体的长度，如图所示。准确读出的是可靠数字，末尾一位是估读出来的，不准确的，叫欠准数（或可疑数），虽欠准，但有意义，使测量值更接近真实值。有效数字＝几个可靠数字+末尾1～2位可疑数字第二十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三物体的长度在22～23之间，可靠数字是22，可疑数字为估读，

0.6或0.7，0.8，测量到物体长度的有效数字为22.6，22.7或22.8。1002001020物体的长度为24，可靠数字是24，可疑数字为0.0，测量到物体长度的有效数字为24.0，末尾的0不能省略。第二十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三6.53769cm，可疑数后的数字无意义，不能在报告中出现；估计数为零，也不能舍去，如6.50cm，不能写成6.5cm。可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝对误差确定。可靠数字在测量仪器的刻度上获得，可疑数字在测量仪器的刻度之间估计读数。例如上页图。第二十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三2.有效位数有效数字：有意义数码的个数。如6.53cm，3位有效数字①

“0”在有效数字中中间或末尾的“0”应算有效位数如2.008cm4位3.6120Kg5位8.0200×103g5位注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”。数学6.42=6.420=6.4200物理实验6.42≠6.420≠6.4200第二十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三②有效数字前面的“0”不算有效位数0.0089m2位0.0375cm3位③单位换算有效位数不变5.03cm=0.0503m=50.3mm仍3位注意：大换小易出问题5.03cm≠50300μm数据过大或过小时，常用科学计数法（数量级表示法）□·□……×10n单位12.3m=1.23×104mm电阻值为30000保留3位有效数字时写成3.00×104④

数显仪器所显示的数字，全部属于有效数字。第二十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三⑤有效位数与测量工具精度及被测物大小有关对同一被测物：高精度仪器，测量有效位数多低精度仪器，测量有效位数少如测量同一个长约2㎝的物体用mm刻度的米尺测得数据为2.01㎝

3位用20分度的游标卡尺测得数据为2.020㎝4位对同一精度仪器：被测物体大，有效位数多被测物体小，有效位数少第三十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三3.直接测量的有效数字记录读数的一般规则：读至仪器误差所在位置。例：米尺测长度当物体长度在35mm与36mm之间时，读数为35.＊mm；当读数正好为35mm时，读数为35.0mm。例：用0.1级量程为100mA电流表测电流

当指针在82mA与83mA之间时，读为82.＊mA；当指针正好为82mA时，读为82.0mA。第三十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三对于1.0级量程为100mA电流表当指针在82mA与83mA之间时，读为82mA或83mA；当指针正好为82mA时，读为82mA。第三十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三注意要点测量数据的末位是欠准数，并与仪器误差位对齐，即使估读的是“0”也必须记下，仪器误差在哪一位发生，欠准位数记录到哪一位，不能多记，也不能少记。如用米尺测某一物体长度3.00cm不同仪器测量，误差位不同，对同一物理量，有效位数越多，表明测量结果越精确连续可读仪器：要估读→误差位一般在估读位

非连续可读仪器：不估读→误差位一般在最小刻度位

数字仪器：全部读第三十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三4.有效数字的运算法则近似计算①加减法

间接测量的计算结果也只能保留1～2欠准数，物理实验通常只取1位例12.53+0.3421=12.8721=12.87结论：和或差的结果的欠准位置（即末位）与参与运算的各量中欠准位置最高者相同。例32.1+26.65－3.926=54.8推论：和差计算时，选择具有同等精度的仪器最为合理第三十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三②

乘除法例4.118×11.2=46.1

2

1

2=46.1结论：积或商的结果的有效位数一般与参与运算的各量中有效位数最少者相同例5.348×20.5÷37643=0.00291推论：各量参与乘除运算时，应按使测量值有效位数相同的原则来选择仪器。如测载玻片体积V=abc厚2mm宽20mm长：200mm第三十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三③

乘方、开方一般与其底的有效位数相同9.863=959=3.676④

自然数（1，2，3……）、无理数π，，等可看成无穷多位计算时取的值应比最少位数多取1位，这样使结果更准确。第三十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三⑤其他函数（如三角函数）的运算结果，则要用误差来确定有效位数。运算过程中，可以比上述规则多取一位，等计算出不确定度以后，再根据不确定度的所在位来确定最后结果的可疑位。第三十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三⑥

有效数字的修约四舍六入五凑偶补充：数字修约的国家标准规定：要修约的数大于5时入，小于5时舍，正好等于5时则视拟保留的最后一位是奇数时入，偶数时舍。第三十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三⑦

四则混合运算按运算规则分级进行，每进行一级运算，按规定取舍注意：不能按完计算器再取例：①524.5÷0.05=②101.44×1.00+20.02×π=第四十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三①524.5÷0.05=1×104②101.44×1.00+20.02×π=101+1.26×103=0.101×103+1.26×103=1.36×103第四十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三三.测量结果的不确定度不确定度的概念及其估算方法测量结果的表达各种测量结果的评定第四十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三1.不确定度的概念

在真值未知因而误差也未知的条件下，根据测量数据和测量条件按一定的理论方法对测量可能的误差范围作出判断。不确定度：测量的可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度。由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度。是指测量值（近真值）附近的一个小范围，是被测量真值在某个量值范围内的评定。是测量质量的表征，不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。第四十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三不确定度比以前评定方法更科学、更全面标准偏差：只包含统计误差不确定度：除包含统计误差，还包含非统计误差分类：A类不确定度：统计方法估算

B类不确定度：非统计方法估算如天平称质量：天平的变动性为A类不确定度（随机误差），砝码的准确性、标尺刻度的准确性为B类不确定度（仪器误差）。第四十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三国际标准化组织（ISO）1993《测量不确定度表示指南》中国国家技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》第四十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三2.A、B类不确定度及合成不确定度

A类不确定度如随机误差，可通过统计方法估算出，设对某物理量进行了n次重复测量，可证算术平均值是的最佳估计值，即近真值

对有限次，具随机性，当测量次数n无限多时，结果服从一定的统计规律——正态分布，如图

第四十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三x代表某一物理量的实测值；p(x)为测量值的概率分布；μ为数学期望值，横轴上任一点x-μ即为测量值相应的随机误差分量；标准差σ决定全部测量值的离散程度。图中阴影区域（μ-σ，μ+σ）的面积是随机误差在±σ范围内的概率即测量误差落在该区间内的概率：p＝68.3％第四十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三正态分布特点：单峰性：小误差出现概率比大误差出现的概率大对称性：以μ为对称轴。具有抵偿性，取多次测量的平均值有利于消减随机误差归一性：p(x)函数具有归一性。σ值越大，曲线越扁平。无论σ的值是多少，在区间（μ-σ，μ+σ）对p(x)积分的值等于0.683，即x值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为68.3%。第四十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

的不确定度：

贝塞尔公式

实验标准差表测量结果的分散性

式中偏差

偏差不等于误差，但同样反映误差；误差不可计算，但偏差可计算，用偏差代替误差。第四十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三多次测量的平均值比单次测量更准确

的不确定度（即A类不确定度）：

为平均值的实验标准差。时，n应充分多，一般n＞5，对学生实验n≥3记为第五十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三B类不确定度不能用统计方法估算，一般由系统效应导致，它的来源比较多。要完整、准确评定B类不确定度相当复杂，由于某些仪器是非标准仪器，没定期校正、没在规定条件下使用、同学们的经验所限等，定量评定B类不确定度很困难。对一些简单实验，仪器误差视为B类不确定度的主要来源。从仪器的极限误差估计B类不确定度第五十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三学生实验仪器未按规定按期校验，误差可能大于出厂误差，而且误差要从最不利情况考虑，作为近似取K=1K：1～3

第五十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三仪器误差的确定

由仪器的准确度表示如数字仪器，测量周期0.01s由仪器的准确度级别来计算（电学仪器）指针式电表：

Am：量程a：准确度级别

电阻箱：

：测量值

例：电流表（0.5级）

电压表（0.1级）

第五十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三未给出仪器误差时（非电表）连续可读仪器：最小分度非连续可读仪器：最小分度例：温度计：最小分度=1℃，米尺：最小分度=1mm，千分尺：最小分度=0.01mm，游标卡尺：50分度最小分度=0.02mm

电子秒表：最小分度=0.01s，第五十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三合成不确定度

A、B两类不确定度互不相关标准不确定度

形式为方和根反映测量结果的可信赖程度第五十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三3.测量结果的表达测量某物体体积V=242.6cm3

按国家标准，测量结果可表示为：aV=242.6cm3,

bV=242.6（5）cm3cV=242.6（0.5）cm3dV=（242.6±0.5）cm3国内物理学界习惯用d种表达方式本课规定实验报告一律采用d种方式

单位第五十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三注意意义：测量结果的标准表达式，给出了一个范围～，表示待测量的真值落在～之间的概率为68.3%，不要误认为真值为或，也不要误认为真值一定在～之间。近真值、不确定度、单位三要素缺一不可第五十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三规定只取1位或2位有效位数。（学生实验只取1位即可，多余位数按四舍五入）如与的三个一致：单位一致、数量级一致，近真值与不确定度的末位一致（即近真值与不确定度二者的末位对齐）

所以的末位数由决定取第五十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三例子L=76.240mm=2mmL=（76±2）mm改错：第五十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三或第六十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三相对不确定度

常用于比较不同测量结果的好坏，E越小测量结果质量越好。规定：取2位有效数注意：不带单位，常用百分数表示评价测量结果好坏，只能看相对不确定度的大小第六十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三单纯从、不能衡量测量结果好坏的测量质量较好。

例：第六十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三可从E求：评价测量结果，有时用百分偏差表示B：规定取2位有效位数、不带单位、百分数。表示测量值偏离公认值的程度，B越小，测量的准确度越高。：已知的准确度较高的公认值，如第六十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三3.各种测量结果的估计方法

单次测量有些测量较准确，随机效应影响很小或最终结果中该物理量影响较小，上述情况只需进行单次测量，以仪器误差作为测量的不确定度例：用20分度的游标卡尺单次测量某物的长L，测量值为3.750cm。此单次测量的结果应写为： L=（3.750±0.005）cm

单位第六十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三多次直接测量①计算近真值：

中间过程可多保留一位②A类不确定度：

可简写为

第六十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三③B类不确定度：④标准不确定度：⑤测量结果的表达式：

可简写为

可简写为

单位第六十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三例子例1用毫米刻度的米尺，测某物体长度5次，其测量值分别为：L（cm）=53.27，53.23，53.29，53.24，53.21，试计算合成不确定度，并写出测量结果。解：①计算

②计算A类不确定度第六十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

③计算B类不确定度

④标准不确定度

⑤测量结果L=（53.25±0.05）cm

例2书P19例子第六十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三间接测量函数关系N=F（x，y，z）其中x，y，z为已测得的数据间接测量的与由直接测量结果通过函数式计算出来①计算并写出各直接测定量的测量结果②计算间接测量的近真值第六十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三③间接测量的标准不确定度上式为不确定度的传播公式，各直接测量的u乘函数对各自变量的偏导，再求方和根。注意：最基本式子，可计算所有,方和根形式偏导数的求法：例第七十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三当函数式为积商（或含和差的积商形式）或较复杂的函数，为运算方便，也可先求相对不确定度测量结果：单位第七十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三例子例1已知电阻，，求它们的串联电阻R及合成不确定度解：

R=（200.0±0.7）Ω

第七十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三例2：已知m=（27.06±0.02）g

m0=（17.03±0.02）g

ρ0=（0.9997±0.0003）g/cm3利用下列函数关系求ρ的测量结果。解：①

计算ρ的平均值②

计算ρ的不确定度第七十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三③

写出ρ的测量结果ρ=（2.697±0.006）g/cm3

第七十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三例3用物距象距法求凸透镜的焦距已知：求：

解：

若用传播基本公式，数学计算相当复杂，先对函数取自然对数第七十五页，共九十三页，编辑于2023年，星期三第七十六页，共九十三页，编辑于2023年，星期三复现性测量复现性测量：改变测量条件所做的多次测量例：已测得同一电阻两端施加不同电压U时产生的电流I，求电阻的阻值R（R=U/I）。可求各次测量对应的，再求。复现性测量是改变测量条件做的多次测量，其A类不确定度已经包含某些未定系统误差测量结果

第七十七页，共九十三页，编辑于2023年，星期三注意：复现性测量不须考虑如复摆为复现性测量

第七十八页，共九十三页，编辑于2023年，星期三

例子

例：用伏安法测电阻，得出以下数据，求测量结果次数1234V（v）1.502.002.503.00I（A）0.1560.1980.2440.311

计算R值：R1=R2=R3=R4=第七十九页，共九十三页，编辑于2023年，星期三近真值：

=9.91ΩA类不确定度：SR=0.2Ω测量结果：R=(9.9±0.2)Ω第八十页，共九十三页，编辑于2023年，星期三各种实际测量中不确定度的计算或估算单次直接测量：只估算B类不确定度多次直接测量：u按照合成不确定度计算间接测量：通过计算解析式的全微分方和根求得复现性测量：只算A类不确定度第八十一页，共九十三页，编辑于2023年，星期三四.常用数据处理方法物理实验中常用的数据处理方法有：列表法、作图法、图解法、最小二乘法等。见P26列表法：要求：要把原始数据和必要的中间运算过程的结果列入表中；必须标明每个符号所代表的物理意义，并写明单位；表中的数据要正确的反映测量结果的有效数字第八十二页，共九十三页，编辑于2023年，星期三第八十三页，共九十三页，编辑于2023年，星期三作图法：作图规则：作图一定用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。标明坐标轴和图名标点连线：光滑，注意剔除“坏点”第八十四页，共九十三页，编辑于2023年，星期三霍耳电压与工作电流的关系第八十五页，共九十三页，编辑于20